Atividade Extra - Algoritmos Numéricos 2023-2

Universidade Federal do Espírito Santo Centro Universitário Norte do Espírito Santo Atividade extra de Algoritmos Numéricos Prof. Daniel Thomes Fernandes São Mateus, 30 de novembro de 2023 Data de entrega: 14 de dezembro de 2023 Importante: Para os problemas 2 e 3, implemente e use o Método de Euler. Em ecologia, a equação logística dP/dt = rP (1 - P/K) (1) é um modelo matemático simplificado para a evolução do tamanho da população P de uma espécie, com taxa de crescimento r, em um ambiente com capacidade de carga K. Quando K é constante, para P(0) = P0, a solução é conhecida: P(t) = (K P0 e^(rt)) / (K + P0(e^(rt) - 1)). (2) Mas, quando K varia com o tempo, pode ser necessário aproximar a solução numericamente. Problema 1. Analisando somente a equação (1), explique o que acontece com a população quando ela é igual a capacidade de carga do ambiente. E se for menor? E maior? Problema 2. Resolva numericamente a equação logística para 0 ≤ t ≤ 40, com população inicial P(0) = 1000 e para os dados abaixo. Compare cada solução aproximada com a exata correspondente e ajuste o tamanho do passo Δt se necessário. Descreva como a taxa de crescimento e a capacidade de carga afetam a evolução da população. • K = 400 e r = 0.2 • K = 400 e r = 1.0 • K = 400 e r = 4.0 • K = 2000 e r = 0.2 • K = 2000 e r = 1.0 • K = 2000 e r = 4.0 Problema 3. Um caso interessante é quando K(t) é periódica (por exemplo, variando de acordo as estações do ano). Para ilustrar o efeito dessa periodicidade, resolva numericamente a equação logística com K(t) = 1200 + 800 cos t, P(0) = 400 e 0 ≤ t ≤ 24π, para os valores de r dados abaixo. Em cada caso, compare os gráficos de P(t) e K(t) e descreva como a população reage à mudança na capacidade de carga. Se julgar necessário, aumente o intervalo de tempo estudado. • r = 0.1 • r = 0.2 • r = 1.0 • r = 4.0 • r = 8.0 • r = 1.0 P(t) e K(t) P(t) aproximada P(t) exata K(t) • r = 4.0 P(t) e K(t) P(t) aproximada P(t) exata K(t) Graficos • K = 400 e r = 0.2, h = 0.1 • K = 400 e r = 1.0 , h = 0.1 • K = 400 e r = 4.0, h = 0.01 • K = 2000 e r = 0.2, h = 0.1 • K = 2000 e r = 1.0, h = 0.1 • K = 2000 e r = 4.0, h = 0.01 Analisando os gráficos, observamos que a taxa de crescimento r afeta a velocidade do crescimento/decrescimento da população ao longo do tempo. E a capacidade de carga K determina para qual valor a função P(t) converge, ou seja, o tamanho da população tende a K para t suficientemente grande. Problema 3: Código – link Google Colab https://colab.research.google.com/drive/1Okn67_J5WsU5UmvbPcnZEXiHnq1z4bq2#s crollTo=nQyDB3PQIuK7&line=12&uniqifier=1 Graficos • r = 0.1 • r = 0.2 • r = 8.0 Para uma taxa de crescimento r pequena, temos que a amplitude de P(t) é menor que a de K(t). E para uma taxa de crescimento r maior, a amplitude de P(t) fica próxima a de K(t). Porém a frequência das oscilações de P(t) se mantém sempre igual a de K(t) Isto é, a população responde às flutuações em K(t) ajustando seu crescimento de acordo. Em momentos de alta capacidade de carga, a população tende a crescer mais, enquanto em momentos de baixa capacidade de carga, o crescimento é mais limitado.