Atividade Extra - Algoritmos Numéricos 2023 2

• r = 1.0 P(t) e K(t) P(t) e K(t) t P(t) Aproximada P(t) Exata K(t) • r = 4.0 P(t) e K(t) P(t) e K(t) t P(t) Aproximada P(t) Exata K(t) Universidade Federal do Espírito Santo Centro Universitário Norte do Espírito Santo Atividade extra de Algoritmos Numéricos Prof. Daniel Thomes Fernandes São Mateus, 30 de novembro de 2023 Data de entrega: 14 de dezembro de 2023 Importante: Para os problemas 2 e 3, implemente e use o Método de Euler. Em ecologia, a equação logística \[ dP/dt = rP \left( 1 - \frac{P}{K} \right) \tag{1} \] é um modelo matemático simplificado para a evolução do tamanho da população P de uma espécie, com taxa de crescimento r, em um ambiente com capacidade de carga K. Quando K é constante, para P(0) = P₀, a solução é conhecida: \[ P(t) = \frac{K P₀ e^{rt}}{K + P₀(e^{rt} - 1)}. \tag{2} \] Mas, quando K varia com o tempo, pode ser necessário aproximar a solução numericamente. Problema 1. Analisando somente a equação (1), explique o que acontece com a população quando ela é igual a capacidade de carga do ambiente. E se for menor? E maior? Problema 2. Resolva numericamente a equação logística para 0 ≤ t ≤ 40, com população inicial P(0) = 1000 e para os dados abaixo. Compare cada solução aproximada com a exata correspondente e ajuste o tamanho do passo Δt se necessário. Descreva como a taxa de crescimento e a capacidade de carga afetam a evolução da população. • K = 400 e r = 0.2 • K = 400 e r = 1.0 • K = 400 e r = 4.0 • K = 2000 e r = 0.2 • K = 2000 e r = 1.0 • K = 2000 e r = 4.0 Problema 3. Um caso interessante é quando K(t) é periódica (por exemplo, variando de acordo as estações do ano). Para ilustrar o efeito dessa periodicidade, resolva numericamente a equação logística com \[ K(t) = 1200 + 800 \cos t, \ P(0) = 400 \ \ \text{0 \ ≤ \ t \ ≤ \ 24\pi,} \] para os valores de r dados abaixo. Em cada caso, compare os gráficos de P(t) e K(t) e descreva como a população reage à mudança na capacidade de carga. Se julgar necessário, aumente o intervalo de tempo estudado. • r = 1.0 • r = 0.2 • r = 1.0 • r = 4.0 • r = 8.0 Graficos • K = 400 e r = 0.2, h = 0.1 • K = 400 e r = 1.0 , h = 0.1 • K = 400 e r = 4.0, h = 0.01 • K = 2000 e r = 0.2, h = 0.1 • K = 2000 e r = 1.0, h = 0.1 • K = 2000 e r = 4.0, h = 0.01 Analisando os gráficos, observamos que a taxa de crescimento r afeta a velocidade do crescimento/decrescimento da população ao longo do tempo. E a capacidade de carga K determina para qual valor a função P(t) converge, ou seja, o tamanho da população tende a K para t suficientemente grande. Problema 3: Código – link Google Colab https://colab.research.google.com/drive/1Okn67_J5WsU5UmvbPcnZEXiHnq1z4bq2#s crollTo=nQyDB3PQIuK7&line=12&uniqifier=1 Graficos • r = 0.1 • r = 0.2 • r = 8.0 Para uma taxa de crescimento r pequena, temos que a amplitude de P(t) é menor que a de K(t). E para uma taxa de crescimento r maior, a amplitude de P(t) fica próxima a de K(t). Porém a frequência das oscilações de P(t) se mantém sempre igual a de K(t) Isto é, a população responde às flutuações em K(t) ajustando seu crescimento de acordo. Em momentos de alta capacidade de carga, a população tende a crescer mais, enquanto em momentos de baixa capacidade de carga, o crescimento é mais limitado.