Aula 1-2022 1

Estatística II UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO – UFMA Fundação instituída nos termos da Lei nº 5.152, de 21/10/1966 – São Luís – Maranhão. CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA - CCET DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – DEMAT afonso.filho@ufma.br CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS RECURSOS DIDÁTICOS PROCEDIMENTOS AVALIATIVOS - ESTIMAÇÃO Definir o processo de Estimação; Explicar tipos de Estimação; Explicar Nível de Confiança e Nível de Significância; Explicar Intervalos de Confiança (IC) para a média populacional com variância (conhecida e desconhecida); Explicar uso de Tabelas z e t. Exemplos e Exercícios. Metodologia dialética Aula presencial de forma dialógicas Notebook Datashow Apresentação de slides Será numa perspectiva processual através de critérios qualitativos (frequência, interação, participação, interesse, compromisso, habilidade, atitude e competência comunicativa). Na abordagem diagnóstica: sondar os níveis de aprendizado dos alunos através da interação e competência comunicativa. Na abordagem formativa: acompanhar mediando o processo ensino- aprendizagem. Na abordagem somativa: atribuir critérios quantitativos (aspectos da cientificidade, compreensão, análise e síntese dos conteúdos) a partir das atividades assíncronas. PLANO DE AULA REFERÊNCIA: FONSECA, Jairo Simon; MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística. São Paulo: Atlas, 1995, p. 184-187. Probabilidade Estatística Descritiva Estatística Inferencial Tratamentos dos dados Resumo os dados Teoremas Variáveis aleatórias Distribuições de probabilidades Estimações Testes de hipóteses Métodos estatísticos: Correlações e Regressões Conclusões sobre a pop. Estimação • É o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar os valores de parâmetros populacionais desconhecidos, ou seja, quando usamos os resultados extraídos da amostra para produzir inferências sobre a população da qual foi extraída aleatoriamente a amostra. TIPOS DE ESTIMAÇÃO Pontual Quando a partir da amostra procuramos obter um único valor de certo parâmetro populacional Intervalar Quando a partir da amostra procuramos construir um intervalo com uma certa probabilidade de conter o verdadeiro parâmetro populacional, denominado de Intervalo de Confiança (I.C.) Intervalos de Confiança (IC)  É uma faixa de possíveis valores em torno da média amostral, e a probabilidade de que esta contenha o valor real da média populacional. Nível de Significância () Probabilidade da média amostral estar fora do IC Nível de confiança (1 - ) Probabilidade da média estar contida no IC Erro máximo absoluto de estimativa ( e ) 𝝁 − 𝒆 ≤ ഥ𝑿 ≤ 𝝁 + 𝒆 IC PARA A ESTIMAÇÃO DA MÉDIA POPULACIONAL (µ) QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL (σ2 ) É CONHECIDA: Utiliza-se a Distribuição Normal, quando: n ≥ 30 (amostra grande) IC PARA A ESTIMAÇÃO DA MÉDIA POPULACIONAL (µ) QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL (σ2 ) É CONHECIDA Tamanho da Amostra 𝑷 ഥ𝑿 − 𝒆 ≤ 𝝁 ≤ ഥ𝑿 + 𝒆 = 𝟏 − 𝜶 População : INFINITA População : FINITA 𝒆 = 𝒁 ൗ 𝜶 𝟐 ⋅ 𝝈 𝒏 𝒆 = 𝒁 ൗ 𝜶 𝟐 ⋅ 𝝈 𝒏 ⋅ 𝑵 − 𝒏 𝑵 − 𝟏 𝒏 = 𝒁 ൗ 𝜶 𝟐 ⋅ 𝝈 𝒆 𝟐 𝒏 = (𝒁 ൗ 𝜶 𝟐)𝟐 ⋅ 𝝈𝟐 ⋅ 𝑵 𝒆 ⋅ (𝑵 − 𝟏) + (𝒁 ൗ 𝜶 𝟐)𝟐 ⋅ 𝝈𝟐 N = nº da população n = nº da amostra µ = média pop. σ = desvio-padrão pop. σ2 = variância pop. X = média amostral 𝑛 𝑁 > 5% 𝒏 𝑵 ≤ 𝟓%  EXEMPLO:  Um auditor toma uma amostra aleatória de 400 de uma população de 2.000 contas a receber.  Suponha que o desvio-padrão populacional dos valores das 2.000 contas a receber é conhecido, R$ 4,28.  Contudo, o valor da média amostral de contas a receber é de R$ 27,33.  Usando IC de 95%, estimar o valor da média populacional e o valor total de contas a receber. População N = 2.000 Amostra n = 400 27,33 X _ = Estatística ou Estimador Parâmetro = 4,28  = ?  IC de 95% 1 − 𝛼 = 0,95 e 1−𝛼 2 = 0,95 2 = 0,4750 𝛼 = 1 − 0,95 = 0,05 𝛼 2 = 0,05 2 = 0,025 𝑛 𝑁 = 400 2.000 = 0,20 = 20% > 5% 𝑃𝑜𝑝. Finita 𝑒 = 𝑍 ൗ 𝛼 2 ⋅ 𝜎 𝑛 ⋅ 𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1 = 1,96 ⋅ 4,28 400 ⋅ 2.000 − 400 2.000 − 1 = 𝑅$ 0,38 0,95 R$ 27,71) (P R$ 26,95 ,0 95 ,0 38) 27,33 ,0 38 27,33 (P 1 ) e _ e _ P( x x =    = +    − −  = +    − 𝑁 = 2.000 ⋅ 𝑅$ 26,95 ≤ 𝜇 ≤ 𝑅$ 27,71 = 𝑅$ 53.900,00 a 𝑅$ 55.420,00 Tabela da Curva Normal Padrão z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 População N =? (Infinita) Amostra n = 48 Parâmetro Construir IC para média populacional com limites assimétricos Sendo µ1 e µ2 onde (µ1 < µ2 ) de forma que seja observada a seguinte especificação:  = 8% (µ < µ1)  = 4% (µ < µ2) Exercício 01 𝜎 = 2 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝜇 =? População N =? (Infinita) Amostra n = 48 Parâmetro Estimador Construir IC para média populacional com limites assimétricos Sendo µ1 e µ2 onde (µ1 < µ2 ) de forma que seja observada a seguinte especificação:  = 8% (µ < µ1)  = 4% (µ < µ2) e = zα/2 · σ / √n eμ1 = -1,40 · 2 / √48 = -0,40 eμ2 = 1,75 · 2 / √48 = 0,50 P( x̄ - e ≤ μ ≤ x̄ + e ) = 1 - α P(11,10 - 0,40 ≤ μ ≤ 11,10 + 0,50) = 0,88 P(10,7 ≤ μ ≤ 11,6) = 0,88 z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 A Distribuição “t” sempre supõe a normalidade da variável estudada. Deve-se consultar a Tabela (t) com (n-1) graus de liberdade IC PARA A ESTIMAÇÃO DA MÉDIA POPULACIONAL (µ) QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL (σ2 ) É DESCONHECIDA: Utiliza-se a Distribuição t de Student, quando n < 30 (amostra pequena). IC PARA A ESTIMAÇÃO DA MÉDIA POPULACIONAL (µ) QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL (σ2 ) É DESCONHECIDA Tamanho da Amostra 𝑷 ഥ𝑿 − 𝒆 ≤ 𝝁 ≤ ഥ𝑿 + 𝒆 = 𝟏 − 𝜶 População : INFINITA População : FINITA 𝒆 = 𝒕 ൗ 𝜶 𝟐 ⋅ 𝑺 𝒏 𝒆 = 𝒕 ൗ 𝜶 𝟐 ⋅ 𝑺 𝒏 ⋅ 𝑵 − 𝒏 𝑵 − 𝟏 𝒏 = 𝒕 ൗ 𝜶 𝟐 ⋅ 𝑺 𝒆 𝟐 𝒏 = (𝒕 ൗ 𝜶 𝟐)𝟐 ⋅ 𝑺𝟐 ⋅ 𝑵 𝒆 ⋅ (𝑵 − 𝟏) + (𝒕 ൗ 𝜶 𝟐)𝟐 ⋅ 𝑺𝟐 N = nº da população n = nº da amostra µ = média pop. S = desvio-padrão amostral S2 = variância amostral X = média amostral 𝒏 𝑵 > 𝟓% 𝒏 𝑵 ≤ 𝟓%  EXEMPLO:  Um auditor toma uma amostra aleatória de 25 de uma população de 1000 contas a receber.  Suponha que o desvio-padrão populacional dos valores das 1.000 contas a receber é desconhecido.  Contudo, o valor da média amostral de contas a receber é de R$ 20,00 e desvio-padrão amostral de R$ 1,95.  Usando um intervalo de confiança de 95%, estimar o valor da média da população e o valor total de contas a receber. População N = 1.000 Amostra n = 25 ,195 S 20,00 X _ = = Estatística ou Estimador Parâmetro = ?  IC de 95% 1 − 𝛼 = 0,95 𝛼 = 1 − 0,95 = 0,05 𝛼 2 = 0,05 2 = 0,025 𝑛 𝑁 = 25 1.000 = 0,025 = 2,5% < 5% 𝑃𝑜𝑝. Infinita 𝑒 = 𝑡 ൗ 𝛼 2 ⋅ 𝑆 𝑛 = 2,0639 ⋅ 1,95 25 = 𝑅$ 0,90 0,95 R$ 20,90) 19,10 (P R$ ,0 95 ,0 90) 20,00 ,0 90 20,00 (P 1 ) e _ e _ P( x x =    = +    − −  = +    − 𝑁 = 1.000 ⋅ 𝑅$ 19,10 ≤ 𝜇 ≤ 𝑅$ 20,90 = 𝑅$ 19.100,00 a 𝑅$ 20.900,00 Tabela t : para  = 0,05 e liberdade  = 24 graus de TABELA DA DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT ν \ α 0,50 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 1 1,00000 2,41442 6,3138 12,706 25,542 63,657 127,32 2 0,81650 1,6036 2,9200 4,3027 6,263 9,9248 14,089 3 0,76489 1,4226 2,3534 3,1824 4,1766 5,8409 7,4533 4 0,74070 1,3444 2,1318 2,7764 3,494 4,6041 5,5976 5 0,72668 1,3000 2,0150 2,5706 3,1634 4,0321 4,7733 6 0,71556 1,2733 1,9432 2,4469 2,9687 3,7074 4,3168 7 0,71114 1,2543 1,8946 2,3646 2,8417 3,4995 4,0293 8 0,70639 1,2409 1,8595 2,3060 2,7515 3,3554 3,8325 9 0,70272 1,2297 1,8331 2,2622 2,6856 3,2498 3,6897 10 0,69981 1,2213 1,8125 2,2281 2,6348 3,1693 3,5814 11 0,69745 1,2146 1,7959 2,2010 2,5936 3,1058 3,4966 12 0,69548 1,2090 1,7823 2,1788 2,5600 3,0545 3,4284 13 0,69384 1,2041 1,7709 2,1604 2,5326 3,0123 3,3725 14 0,692 1,2001 1,7613 2,1448 2,5100 2,9776 3,3267 15 0,69012 1,1967 1,7530 2,1315 2,4909 2,9467 3,2860 16 0,68813 1,1937 1,7458 2,1199 2,4739 2,9215 3,2520 17 0,68612 1,1910 1,7396 2,1098 2,4582 2,8982 3,2225 18 0,68437 1,1887 1,7341 2,1009 2,4438 2,8784 3,1966 19 0,68306 1,1866 1,7291 2,0930 2,4301 2,8609 3,1737 20 0,68195 1,1848 1,7247 2,0860 2,4176 2,8453 3,1534 21 0,68095 1,1831 1,7207 2,0796 2,4055 2,8314 3,1352 22 0,68010 1,1819 1,7171 2,0739 2,3942 2,8188 3,1194 23 0,67937 1,1801 1,7139 2,0687 2,3836 2,8073 3,1040 24 0,67875 1,1787 1,7109 2,0639 2,374 2,7969 3,0905 25 0,67820 1,1777 1,7081 2,0595 2,3653 2,7874 3,0782 26 0,67780 1,1767 1,7054 2,0555 2,3569 2,7790 3,0673 27 0,67740 1,1759 1,7033 2,0518 2,3494 2,7715 3,0573 28 0,67700 1,1750 1,7011 2,0484 2,3420 2,7640 3,0478 29 0,67672 1,1741 1,6991 2,0452 2,3353 2,7564 3,0389 30 0,67644 1,1733 1,6973 2,0423 2,329 2,7500 3,0304 40 0,67469 1,1637 1,6839 2,0211 2,2510 2,7045 2,9712 50 0,67392 1,1612 1,6766 2,0086 2,2009 2,6778 2,9370 60 0,67357 1,1595 1,6715 2,0003 2,1700 2,6603 2,9146 120 0,67283 1,1560 1,6585 1,9807 2,0930 2,6174 2,8644 ∞ 0,67145 1,1500 1,6449 1,9600 2,0484 2,5758 2,8073 ν \ α 0,50 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 1 1,00000 2,41442 6,3138 12,706 25,542 63,657 127,32 2 0,81650 1,6036 2,9200 4,3027 6,263 9,9248 14,089 3 0,76489 1,4226 2,3534 3,1824 4,1766 5,8409 7,4533 4 0,74070 1,3444 2,1318 2,7764 3,494 4,6041 5,5976 5 0,72668 1,3000 2,0150 2,5706 3,1634 4,0321 4,7733 6 0,71556 1,2733 1,9432 2,4469 2,9687 3,7074 4,3168 7 0,71114 1,2543 1,8946 2,3646 2,8417 3,4995 4,0293 8 0,70639 1,2409 1,8595 2,3060 2,7515 3,3554 3,8325 9 0,70272 1,2297 1,8331 2,2622 2,6856 3,2498 3,6897 10 0,69981 1,2213 1,8125 2,2281 2,6348 3,1693 3,5814 11 0,69745 1,2146 1,7959 2,2010 2,5936 3,1058 3,4966 12 0,69548 1,2090 1,7823 2,1788 2,5600 3,0545 3,4284 13 0,69384 1,2041 1,7709 2,1604 2,5326 3,0123 3,3725 14 0,692 1,2001 1,7613 2,1448 2,5100 2,9776 3,3267 15 0,69012 1,1967 1,7530 2,1315 2,4909 2,9467 3,2860 16 0,68813 1,1937 1,7458 2,1199 2,4739 2,9215 3,2520 17 0,68612 1,1910 1,7396 2,1098 2,4582 2,8982 3,2225 18 0,68437 1,1887 1,7341 2,1009 2,4438 2,8784 3,1966 19 0,68306 1,1866 1,7291 2,0930 2,4301 2,8609 3,1737 20 0,68195 1,1848 1,7247 2,0860 2,4176 2,8453 3,1534 21 0,68095 1,1831 1,7207 2,0796 2,4055 2,8314 3,1352 22 0,68010 1,1819 1,7171 2,0739 2,3942 2,8188 3,1194 23 0,67937 1,1801 1,7139 2,0687 2,3836 2,8073 3,1040 24 0,67875 1,1787 1,7109 2,0639 2,374 2,7969 3,0905 25 0,67820 1,1777 1,7081 2,0595 2,3653 2,7874 3,0782 26 0,67780 1,1767 1,7054 2,0555 2,3569 2,7790 3,0673 27 0,67740 1,1759 1,7033 2,0518 2,3494 2,7715 3,0573 28 0,67700 1,1750 1,7011 2,0484 2,3420 2,7640 3,0478 29 0,67672 1,1741 1,6991 2,0452 2,3353 2,7564 3,0389 30 0,67644 1,1733 1,6973 2,0423 2,329 2,7500 3,0304 40 0,67469 1,1637 1,6839 2,0211 2,2510 2,7045 2,9712 50 0,67392 1,1612 1,6766 2,0086 2,2009 2,6778 2,9370 60 0,67357 1,1595 1,6715 2,0003 2,1700 2,6603 2,9146 120 0,67283 1,1560 1,6585 1,9807 2,0930 2,6174 2,8644 ∞ 0,67145 1,1500 1,6449 1,9600 2,0484 2,5758 2,8073 População N =? (Infinita) Amostra n = 24 Parâmetro Construir IC de 90% para média populacional Exercício 02 População N =? (Infinita) Amostra n = 24 Parâmetro Construir IC de 90% para média populacional Estimadores φ = n-1 = 24-1 = 23 α/2 = 0,05 1 - α = 0,90 -t α/2 = 1,7139 +t α/2 = 1,7139 ε = t α/2 · S / √n ε = 1,7139 · 0,81 / √24 ε = 0,28 P( x̄ - ε ≤ μ ≤ x̄ + ε ) = 1 - α P(11,54 - 0,28 ≤ μ ≤ 11,54 + 0,28) = 0,90 P(11,26 ≤ μ ≤ 11,82 ) = 0,90 ϕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0,60 1,00000 0,81650 0,76498 0,74070 0,72658 0,71756 0,71114 0,70639 0,70272 0,66481 0,69745 0,69536 0,69339 0,692 0,69120 0,69013 0,68910 0,68837 0,68763 0,68696 0,68635 0,68590 0,68551 0,68485 0,25 2,41442 1,96036 1,4226 1,3444 1,3000 1,2733 1,2543 1,2403 1,2297 1,2213 1,2145 1,2044 1,2001 1,1967 1,1937 1,1910 1,1887 1,1866 1,1752 1,1848 1,1831 1,1816 1,1802 1,1792 0,10 6,3138 2,9200 2,3534 2,1318 2,0150 1,9432 1,8946 1,8595 1,8331 1,8125 1,7959 1,779 1,7709 1,7530 1,7458 1,7396 1,7341 1,7291 1,7247 1,7207 1,7170 1,7139 1,7109 1,7081 0,05 12,706 4,30265 3,18245 2,7764 2,5706 2,4469 2,3646 2,3060 2,2622 2,2281 2,2009 2,1788 2,1603 2,1450 2,1315 2,1199 2,1098 2,1009 2,0929 2,0860 2,0796 2,0739 2,0687 2,0639 0,025 25,542 6,2053 4,1766 3,4944 3,1634 2,9861 2,8284 2,7155 2,6391 2,5760 2,528 2,482 2,444 2,409 2,385 2,364 2,345 2,327 2,313 2,293 2,279 2,265 2,251 2,239 0,01 63,657 9,9248 5,8409 4,6041 4,0321 3,7074 3,4995 3,3554 3,2498 3,1693 3,1058 3,0545 3,0123 2,9776 2,9467 2,9208 2,8982 2,8774 2,8609 2,8463 2,8314 2,8188 2,8073 2,797 0,005 127,32 14,088 7,4533 5,5976 4,7733 4,3178 4,0293 3,8965 3,8697 3,5814 3,4956 3,4518 3,3725 3,5006 3,286 3,252 3,2225 3,1966 3,1737 3,1534 3,1352 3,1184 3,104 3,0905 193 n 2 10 ,0 ,0 81 ,1 7139 n 2 e S t n 2 =        =        = =  0,10 e 8 n 2 50 ,0 ,0 81 ,1 7139 n 2 e S t n 2 =        =        = =  0,50 e