Aula 7 e 8-2022 1

Estatística I UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO – UFMA Fundação instituída nos termos da Lei nº 5.152, de 21/10/1966 – São Luís – Maranhão. CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA - CCET DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – DEMAT afonso.filho@ufma.br CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS RECURSOS DIDÁTICOS PROCEDIMENTOS AVALIATIVOS -VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Explicar Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas Explicar Distribuições de Probabilidade Discreta e Contínua Principais Parâmetros das Variáveis aleatórias Metodologia dialética Atividade Síncrona: Aula online de forma remota e dialógicas Notebook Plataforma online google meet. Link: Apresentação de slides Será numa perspectiva processual através de critérios qualitativos (frequência, interação, participação, interesse, compromisso, habilidade, atitude e competência comunicativa). Na abordagem diagnóstica: sondar os níveis de aprendizado dos alunos através da interação e competência comunicativa. Na abordagem formativa: acompanhar mediando o processo ensino-aprendizagem. Na abordagem somativa: atribuir critérios quantitativos (aspectos da cientificidade, compreensão, análise e síntese dos conteúdos) a partir das atividades assíncronas. Plano de Aula REFERÊNCIA: DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências, 2006. p.105- 152. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS Podemos considerar funções que associam números reais aos eventos de um espaço amostral. Tais funções são chamadas de "variáveis aleatórias". Espaço Amostral Ω R Variável Aleatória X X(Ω) Definição: Variáveis Aleatórias são funções cujos valores são obtidos por um experimento aleatório e aos quais podemos associar probabilidades. Classificação das Variáveis Aleatórias: a) Discretas (VAD): Uma variável aleatória X é discreta se o número de valores possíveis de X é finito ou infinito enumerável. b) Contínuas (VAC): Uma variável aleatória X é contínua se X tem como valores possíveis qualquer ponto num intervalo da reta real. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Definição: Distribuição de probabilidade é uma distribuição de frequências relativas para os resultados de um espaço amostral; mostra a proporção de vezes em que a variável aleatória tende a assumir cada um dos diversos valores. a) Distribuição de Probabilidade Discreta Seja X uma VAD. A função de probabilidade de X é uma função f(x) que associa a sua probabilidade f(x) = P (X = x) e tem as seguintes propriedades: 1) f(x) ≥ 0 2) Σ f(x) = 1 A função de probabilidade de uma V.A. discreta X assumindo um conjunto finito de valores pode ser representada por uma tabela ou gráfico. O conjunto de pares (xi, p(xi)) é também denominado distribuição de probabilidade de X. Função de Distribuição Acumulada (FDA) ou de Repartição • Definimos como sendo a probabilidade de que X assuma um valor menor ou igual x. Ou seja, a função fornece para qualquer ponto considerado, a probabilidade de que a variável aleatória assuma um valor menor ou igual que o correspondente a esse ponto. ) ( ( ) x P X F x  = Seja X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade associa aos valores x1, x 2, ..... Com suas respectivas probabilidades P(X= x1), P(X= x2),..... Como os valores de X são mutuamente exclusivos, temos que a função de distribuição acumulada é dada por: 𝐹 𝑋 = ෍ 𝑖∈𝐴𝑥 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑐𝑜𝑚 𝐴𝑥 = 𝑖: 𝑥𝑖 ≤ 𝑥 Exemplo: Se o experimento consistir em jogar uma moeda duas vezes e definirmos: X = o nº de “caras” obtidas. Determinar a função de probabilidade e a FDA. P (X = 0) = ¼ P (X = 1) = ¼ + ¼ = ½ P (X = 2) = ¼ A distribuição de probabilidade será dada por: X P(X) F(X) 0 1/4 1/4 1 1/2 3/4 2 1/4 1 ∑ 1 - Se x < 0 → P (X ≤ x) = 0 Se 0 ≤ x ≤ 1 → P (X ≤ x) = P (X = 0) =1/4 Se 1 ≤ x ≤ 2 → P (X ≤ x) = P (X = 0) + P (X = 1) = ¼ + ½ = ¾ Se x ≥ 2 → P (X ≤ x) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X =2) = 1 A função de distribuição acumulada (FDA) correspondente será: X P(X) F(X) 0 1/4 1/4 1 1/2 3/4 2 1/4 1 ∑ 1 - Assim, dada à distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta, conseguimos determinar sua função de distribuição acumulada, ou ainda, dada a função de distribuição acumulada pode determinar a sua distribuição de probabilidade. Para tanto, basta verificar os pontos de descontinuidade da função repartição. b) Distribuição de Probabilidade Contínua Seja X uma VAC se existe uma função 𝑓 𝑥 : 𝑅 → 0, +∞ denominada função densidade de probabilidade (f.d.p.) que satisfaz às seguintes propriedades:     = =  +  b a - b) x f(x) dx P(a ) (f x ) dx 0 2) 1) f(x) 3 1 Exemplo: Se o experimento consiste em verificar as vendas de carne em toneladas de um supermercado que segue uma função dada por:      = em caso contrário 3 x 0 x.k x) (f 0 2 Determinar k de modo que seja uma função densidade de probabilidade. 9 1 3 27 3 3 3 0 3 3 0 2 1 9 9 3 3 =  =  = = = =  k k k kx dx k k( ) kx Qual a probabilidade de as vendas compreenderem entre 1 e 2 toneladas? =   − = − = =  =   =                             , x dx ) X P( X x Função de Distribuição Acumulada (FDA) ou de Repartição Definimos como sendo a probabilidade de que X assuma um valor menor ou igual x. Ou seja, a função fornece para qualquer ponto considerado, a probabilidade de que a variável aleatória assuma um valor menor ou igual que o correspondente a esse ponto.   − = x f x dx F x ( ) ( ) Assim, dada à distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua, conseguimos determinar sua função de distribuição acumulada, ou ainda, dada a função de distribuição acumulada, pode-se determinar a sua distribuição de probabilidade. Para tanto, a função densidade será obtida por derivação da função repartição, o que é fácil perceber uma vez que F(x) resulta da integração de f(x). dx dF x f x ( ) ( ) = Exemplo: Seja X uma VAC com a seguinte função densidade de probabilidade.    = em caso contrário 0 1 x 2. 0 ( ) x x f Como se vê, f(x) assim definida, é uma função densidade, pois 𝑓 𝑥 ≥ 0 e para todo x ∈ R𝑥 : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 = 1 𝑥 1 1 0 0 −∞ +∞ −∞ Quanto a F(X) tem-se: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0 → 𝐹(𝑥) = 0𝑑𝑥 = 0 𝑥 −∞ 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 < 1 → 𝐹(𝑥) = 0𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑥 𝑥 0 = 𝑥2 0 −∞ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 1 → 𝐹(𝑥) = 0𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑥 1 0 + 0𝑑𝑥 𝑥 1 = 1 0 −∞ PARÂMETROS PARA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA - VAD 1) Média Populacional, Valor Esperado, Expectância, ou Esperança A média é um parâmetro de posição e usada para a caracterização do centro da distribuição. Indica qual seria a média de valores da variável aleatória obtidos a longo prazo. Será denotada por: μ = E(x) = Σ x ⋅ p(x) 2) Variância e Desvio-Padrão Esses parâmetros caracterizam a variabilidade das variáveis aleatórias. a) Variância δ^2 = VAR(x) = E(x^2) – [E(x)]^2 sendo que: E(x^2) = Σ x^2 ⋅ p(x) b) Desvio-Padrão δ = √VAR(x) = √E(x^2) – [E(x)]^2 Exemplo: As probabilidades de um investidor vender uma propriedade com lucro de US$ 2.500, de US$ 1.500, de US$ 500 ou com prejuízo de US$ 500 são 22%, 36%, 28% e 14% respectivamente. Qual o lucro esperado do investidor? E sua variabilidade. μ = E(x) = 2500 · (0,22) + 1500 · (0,36) + 500 · (0,28) − 500 · (0,14) = US$ 1.160 E(x²) = Σ x² · p(x) E(x²) = (2500)² · 0,22 + (1500)² · 0,36 + (500)² · 0,28 − (500)² · 0,14 = 2.220.000 δ² = VAR(x) = 2.220.000 − [1.160]² = 874.400 δ = \(\sqrt{VAR(x)}\) = \(\sqrt{874.400}\) = US$ 935 PARÂMETROS PARA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA – VAC 1) Média Populacional, Valor Esperado, Expectância, ou Esperança Matemática μ = E(x) = \(\int_{-∞}^{+∞} x · f(x)\) dx 2) Variância e Desvio-Padrão a) Variância δ² = VAR(x) = E(x²) − [E(x)]² \(\text{sendo que : } E(x²) = \int_{-∞}^{+∞} x² · f(x)\) dx b) Desvio-Padrão δ = \(\sqrt{VAR(x)}\) = \(\sqrt{E(x²) − [E(x)]²}\) Exemplo: Os serviços de recuperação de uma placa de computador por uma assistência técnica empresa é dada pela função abaixo. Qual o tempo esperado e sua variabilidade. f(x) = \(\{\begin{array}{ll} 6x - 6x² & \text{0 < x < 1 hora} \\ 0 & \text{em caso contrário} \end{array}\) μ = E(x) = \(\int_{0}^{1} x · 6x\) dx − \(\int_{0}^{1} x · 6x²\) dx = \(\int_{0}^{1} 6x²\) dx − \(\int_{0}^{1} 6x³\) dx E(x) = \(\frac{6x³}{3}\) \(\Big|_{0}^{1}\) − \(\frac{6x⁴}{4}\) \(\Big|_{0}^{1}\) = \(\frac{6(1)³}{3}\) − \(\frac{6(1)⁴}{4}\) = 2 − 1,5 = 0,5 h = 30 min E(x²) = \(\int_{0}^{1} x² · 6x\) dx − \(\int_{0}^{1} x² · 6x²\) dx = \(\int_{0}^{1} 6x³\) dx − \(\int_{0}^{1} 6x⁴\) dx E(x²) = \(\frac{6x⁴}{4}\) \(\Big|_{0}^{1}\) − \(\frac{6x⁵}{5}\) \(\Big|_{0}^{1}\) = \(\frac{6(1)⁴}{4}\) − \(\frac{6(1)⁵}{5}\) = 0,3 δ² = VAR(x) = 0,3 − [0,5]² = 0,05 ⇒ δ = \(\sqrt{0,05}\) = 0,22 = 13 min