Aula 2-2022 1

Estatística II UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO – UFMA Fundação instituída nos termos da Lei nº 5.152, de 21/10/1966 – São Luís – Maranhão. CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA - CCET DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – DEMAT afonso.filho@ufma.br CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS RECURSOS DIDÁTICOS PROCEDIMENTOS AVALIATIVOS - ESTIMAÇÃO Explicar e exemplificar: Intervalos de Confiança (IC) para a Variância populacional e Desvio- padrão populacional Intervalos de Confiança (IC) para a Proporção populacional Explicar uso de Tabelas Z e Qui-Quadrado Exemplos e Exercícios Metodologia dialética Aula presencial de forma dialógica Notebook Datashow Apresentação de slides Será numa perspectiva processual através de critérios qualitativos (frequência, interação, participação, interesse, compromisso, habilidade, atitude e competência comunicativa). Na abordagem diagnóstica: sondar os níveis de aprendizado dos alunos através da interação e competência comunicativa. Na abordagem formativa: acompanhar mediando o processo ensino- aprendizagem. Na abordagem somativa: atribuir critérios quantitativos (aspectos da cientificidade, compreensão, análise e síntese dos conteúdos). Plano de Aula REFERÊNCIA: FONSECA, Jairo Simon; MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística. São Paulo: Atlas, 1995, p. 184-187. IC PARA A ESTIMAÇÃO DA VARIÂNCIA POPULACIONAL (σ2) E DEVIO-PADRÃO POPULACIONAL (σ) Utiliza-se a Distribuição de Probabilidade Qui-Quadrado Consulta-se a Tabela do Qui-Quadrado com φ = (n - 1) graus de liberdade. ) ( 2 IC PARA A ESTIMAÇÃO DA VARIÂNCIA POPULACIONAL (σ2 ) ( ) ( ) −  =             −      − 1 1 S n 1 S n P 2 erior inf 2 2 2 erior sup 2 n = nº da amostra S2 = variância amostral σ2 = variância populacional 1 -  = nível de confiança IC PARA A ESTIMAÇÃO DO DESVIO-PADRÃO POPULACIONAL (σ ) ( ) ( ) −  =             −      − 1 1 S n 1 S n P 2 erior inf 2 2 erior sup 2 n = nº da amostra S2 = variância amostral σ = desvio-padrão populacional 1 -  = nível de confiança  EXEMPLO:  Para um produto particular, a média de vendas por estabelecimento no último ano, em uma amostra de 16 estabelecimentos foi de R$3.425, 00 com desvio-padrão de R$200,00.  Supõe-se que as vendas por estabelecimento sejam normalmente distribuídas.  Estimar a variância e o desvio-padrão das vendas deste produto em todos os estabelecimentos, no último ano, utilizando um intervalo de confiança de 95%. População N Amostra n = 16 R$ 200,00 S R$ 3.425,00 X _ = = Estatística ou Estimador Parâmetro ? ? 2 =  =  IC de 95% ,0 025 2 05 ,0 2 ,0 05 ,0 95 1 ,0 95 1 = =  = − =   = − 15 graus de liberdade 1 16 1 n = − = − =  ,0 025 2 =  ,0 025 2 =  ,0 95 1  = − 2inf = ,6 23 2sup = 27 5,  ,6 23 ,0 975 ,0 025 1 e 15 27 5, ,0 025 e 15 2 inf 2 2 sup 2 = →  = − = =  = →  = =    Uso da Tabela Qui-Quadrado: 2 Distribuição de χ² ,0 025 2 =  2 inf  2 sup  ,0 975 ,0 025 1 2 = −  = 𝑃 𝑛 − 1 ⋅ 𝑆2 𝜒sup 𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 2 ≤ 𝜎2 ≤ 𝑛 − 1 ⋅ 𝑆2 𝜒inf 𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 2 = 1 − 𝛼 𝑃 16 − 1 ⋅ 2002 27,5 ≤ 𝜎2 ≤ 16 − 1 ⋅ 2002 6,23 = 0,95 𝑃 21.818,2 ≤ 𝜎2 ≤ 96.308,2 = 0,95 IC para a Variância Populacional IC para o Desvio-Padrão Populacional 𝑃 21.812,2 ≤ 𝜎 ≤ 96.308,2 = 0,95 𝑃 𝑅$ 147,70 ≤ 𝜎 ≤ R$310,30 = 0,95 População N =? (Infinita) Amostra n = 24 Parâmetro Construir IC de 99% para o desvio-padrão Exercício 03  = ? População N =? (Infinita) Amostra n = 24 Parâmetro Construir IC de 99% Estimadores  = ? 𝑃 𝑛 − 1 ⋅ 𝑆2 𝜒𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 2 ≤ 𝜎 ≤ 𝑛 − 1 ⋅ 𝑆2 𝜒𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 2 = 1 − 𝛼 𝑃 24 − 1 ⋅ 0.65 44,2 ≤ 𝜎 ≤ 24 − 1 ⋅ 0,65 9,26 = 0,99 𝑃 0,58 ≤ 𝜎 ≤ 1,27 = 0,99 Distribuição de χ² IC PARA A ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL (p) Utiliza-se a Distribuição de Probabilidade Normal quando n ≥ 30 A estimativa de uma proporção, percentagem ou probabilidade populacional é uma proporção amostral , onde x é o número de vezes que um evento correu em n provas. n x f = N n n x f = Estimador Parâmetro p Pop. Amostra IC PARA A ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL (p) Tamanho da Amostra População : INFINITA População : FINITA −  = +   − 1 e ) f p e ( f P n f ) ( 1 f Z 2 e −   =  ( 1 ) N n N n f ) ( 1 f Z 2 e − − −    =  2 e Z f ) f (1 n 2          −  =  f ) f (1 ) ( Z 1) ( N e f ) N f (1 ) Z ( n 2 2 2 2 −   + −   −   =   N = nº da população n = nº da amostra f = proporção amostral 𝑛 𝑁 > 5% 𝒏 𝑵 ≤ 𝟓%  EXEMPLO: Suponha que, em uma auditoria mensal, você selecione 400 faturas de vendas de uma população de 6.000 faturas. Na amostra de 400 faturas de vendas, 20 delas estão violando o controle interno. Caso a taxa de exceção tolerável para esse controle interno seja 7%, o que você deve concluir? Utilize um nível de confiança de 95%. População N = 6.000 Amostra n = 400 0,05 (proporção amostral) f 400 20 n x = = = Estimador Parâmetro ? (proporção pop.) p = IC de 95% 1 − 𝛼 = 0,95 𝛼 = 1 − 0,95 = 0,05 𝛼 2 = 0,05 2 = 0,025 𝑛 𝑁 = 400 6.000 = 0,06 = 6% > 5% Pop. Finita 0,95 7,1%) p P(2,9% 0,95 0,071) p P(0,029 0,95 0,021) 0,05 p 0,021 (0,05 P 1 e ) f p e P( f =   =   = +   − − = +   −  taxa de controle interno é aceitável A ( ) ( ) ,0 021 ,1 96 Z e .000 1 10 .000 400 10 400 ,05 (0,95 ) 0 1 N n N n (1 f ) f 2 =   =   = − −  − − −   z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4494 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 Exercício 04 Uma votação realizada entre 400 eleitores, escolhidos ao acaso entre todos aqueles de um determinado distrito, indicou que 55% deles são a favor do candidato A. Determinar IC de 99% para a proporção de todos os eleitores do distrito favoráveis ao candidato A. Se o número de eleitores fosse 230.000 pessoas, qual seria a votação esperada pelo candidato A? N n Pop. Amostra Parâmetro Estimador 𝒇 =0,55 p IC de 99% 1 − 𝛼 = 0,99 𝛼 = 1 − 0,99 = 0,01 𝛼 2 = 0,01 2 = 0,005 P( 𝑓 − 𝑒 ≤ 𝑝 ≤ 𝑓 + 𝑒) = 1 − 𝛼 𝑃(0,55 − 0,064 ≤ 𝑝 ≤ 0,55 + 0,064) = 0,99 𝑃(0,486 ≤ 𝑝 ≤ 0,614) = 0,99 P(48,6% ≤ p ≤ 61,4%) = 0,99 𝑒 = 𝑍 ൗ 𝛼 2 ⋅ 𝑓 ⋅ 1 − 𝑓 𝑛 e = 2,57⋅ 0,55⋅(0,45) 400 = 0,064 𝑁 = 230.000 48,6% de 230.000 = 111.780 votos a 61,4% de 230.000 = 141.220 votos Tabela da Curva Normal Padrão z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4813 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4986 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 0,4993 0,4994 3,2 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 3,3 0,4996 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,4 0,4998 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,5 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 3,6 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 Exercício 05 Qual o tamanho mínimo que deveria ter uma amostra aleatória para a proporção de clientes que compram a vista e que você não tem elementos para suspeitar sobre essa porcentagem. Admita a população infinita com nível de confiança de 99% e um erro amostral de 10%. N População 𝑓 = 50% = 0,50 e = 10% =0,10 𝑛 = 𝑓 ⋅ 1 − 𝑓 ⋅ 𝑍 ൗ 𝛼 2 𝑒 2 𝑛 = 0,50 ⋅ 1 − 0,50 ⋅ 1,64 0,10 2 𝒏 = 68 Amostra Exercício 06 Uma amostra aleatória n = 100 de uma população N = 5.000 apresenta uma média amostral de 5,5 e desvio-padrão populacional de 5. Qual nível de confiança se afirmaria para um IC para a média populacional seja maior que 5,0 e menor que 6,0? Ou seja:        = −  = +    −      = , ] P[ , ] e _ x e _ P[x ] P[ ( )  = +    =   +      =   −  +       =  −  +  =   = −    = −   −      =  −  −      =  −  −  =       =       =      =     =   =   = , , z , , ) ( , z , z , , e _ x , , z , ) ( , z , z , e _ x , z e z e n z e pop.inf inita % % , N n (1- α) = 0,6826