Aula 5 e 6-2022 1

Estatística I UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO – UFMA Fundação instituída nos termos da Lei nº 5.152, de 21/10/1966 – São Luís – Maranhão. CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA - CCET DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – DEMAT afonso.filho@ufma.br CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS RECURSOS DIDÁTICOS PROCEDIMENTOS AVALIATIVOS PROBABILIDADE Explicar experimentos aleatórios -Explicar espaços amostrais -Explicar tipos de eventos -Explicar conceitos de probabilidade Metodologia dialética Atividade Síncrona: Aula online de forma remota e dialógicas Notebook Plataforma online google meet. Link: Apresentação de slides Será numa perspectiva processual através de critérios qualitativos (frequência, interação, participação, interesse, compromisso, habilidade, atitude e competência comunicativa). Na abordagem diagnóstica: sondar os níveis de aprendizado dos alunos através da interação e competência comunicativa. Na abordagem formativa: acompanhar mediando o processo ensino- aprendizagem. Na abordagem somativa: atribuir critérios quantitativos (aspectos da cientificidade, compreensão, análise e síntese dos conteúdos) a partir das atividades assíncronas. Plano de Aula REFERÊNCIA: BUSSAB, Wlton de O.; MORETTIN, Pedro de A. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2010, p. 103-122. STEVENSON JR., William D. Estatistica aplicada a administracao. Sao Paulo: Harper & Row do Brasil, 1981. p. 53-91.  Hoje os governos, as empresas, as organizações profissionais incorporam a teoria das probabilidades em seus processo diários de deliberações.  A utilização das probabilidades indica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento futuro.  Assim é que, em muitos casos, pode ser virtualmente impossível afirmar por antecipação o que ocorrerá; mas é possível dizer o que pode ocorrer. Probabilidade  Há numerosos exemplos de tais situações no campo dos negócio e do governo. A previsão da procura de um produto novo, o cálculo dos custos de produção, a previsão de safra, a compra de apólices de seguro, a contratação de um novo empregado, o preparo de um orçamento, a avaliação da reação de governos estrangeiros a uma mudança em nossa politica de defesa, a avaliação do impacto de uma redução de impostos sobre a inflação – tudo isso contém algum elemento ao acaso. Probabilidade  As probabilidades são úteis porque auxiliam a desenvolver estratégias.  Assim é que alguns investidores sentem-se mais inclinados a aplicar seu dinheiro se as probabilidades de lucro são boas; uma empresa pode sentir-se inclinada a negociar seriamente com um sindicato quando há forte ameaça de greve, mais inclinada a investir em novo equipamento se há uma boa possibilidade de recuperar o dinheiro, ou de contratar um novo funcionário, etc.  O ponto central em todas as situações é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado evento. Probabilidade Probabilidade  Experimento Aleatório (ξ):  Um experimento é dito aleatório quando o seu resultado não for previsível no sentido comum antes de sua realização, ou seja, é um experimento cujos resultados estão sujeitos unicamente ao acaso. Para modelar e analisar ξ , temos que entender:  Espaço Amostral (Ω): ▪ É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. ▪ Um espaço amostral é usualmente definido baseado nos objetivos da análise. Probabilidade: Espaço Amostral Probabilidade: Espaço Amostral  Exemplo: ξ = selecionar uma peça plástica moldada e medir sua espessura. X = espessura • Qualquer espessura: a) Entre 10 e 11 mm b) Obedece as especificações c) Se baixa, média ou alta d) Números peças conformes Ω = 𝑥ȁ𝑥 > 0 Ω = 𝑥ȁ10 < 𝑋 < 11 Ω = sim, não Ω = 0,1 Ω = 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎, 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑎  Um espaço amostral pode ser :  Espaços Amostrais Discretos  Um espaço amostral é discreto se ele consiste em um conjunto finito ou infinito contável de resultados.  Espaços Amostrais Contínuos  Um espaço amostral é contínuo se ele contém um intervalo (tanto finito como infinito) de números reais. Probabilidade: Espaço Amostral  Espaços amostrais podem também ser descritos graficamente com diagramas em forma de árvore.  Quando o espaço amostral puder ser construído em várias etapas ou estágios, podemos representar cada uma das 𝑛1 maneiras de completar a primeira etapa, como um ramo de uma árvore. Cada uma das maneiras de completar a segunda etapa pode ser representada por 𝑛2 ramos, começando das extremidades dos ramos originais e assim por diante.  Exemplo: Cada mensagem em um sistema digital será classificada conforme seja recebida dentro de um tempo especificado. Se três mensagens forem classificadas, construa o espaço amostral por meio de Diagrama de Árvore de Possibilidades. Probabilidade: Espaço Amostral em tempo em tempo em tempo em tempo em tempo em tempo em tempo atrasado atrasado atrasado atrasado atrasado atrasado atrasado Mensagem 1 Mensagem 2 Mensagem 3 Probabilidade: Espaço Amostral • Eventos: ▪ São quaisquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. ▪ Representa-se pelas letras romanas maiúsculas. ▪ Pelo fato de eventos serem subconjuntos, podemos usar operações básicas de conjuntos.  Operações Com Eventos  Como o espaço amostral Ω e qualquer evento de Ω são conjuntos, todas as operações entre conjuntos podem ser aqui aplicadas. Assim, se A e B são dois eventos de Ω, então: Probabilidade: Eventos a) Evento União: A U B A união de dois eventos é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos em cada um dos dois eventos. Probabilidade: Eventos b) Evento Interseção: A ∩ B A interseção de dois eventos é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos nos dois eventos, simultaneamente. Probabilidade: Eventos c) Evento Complementar: Ā, A’ ou AC O complemento de um evento em um espaço amostral é o conjunto dos resultados no espaço amostral que não estão no evento. Ω Ā Probabilidade: Eventos d) Evento Diferença: A – B O evento A - B ocorre quando: Ocorre o evento A mas não ocorre B. Probabilidade: Eventos 1. Ocorrência de A e não ocorrência de B e C: A ∩ B’ ∩ C’ 2. Ocorrência de pelo menos um destes eventos: A U B U C 3. Ocorrência de exatamente um destes eventos : ( A ∩ B’ ∩ C’ ) U ( A’ ∩ B ∩ C’ ) U ( A’ ∩ B’ ∩ C ) 4. Ocorrência de nenhum destes eventos : A’ ∩ B’ ∩ C’ 5. Ocorrência de exatamente dois destes eventos: (A ∩ B ∩ C’ ) U ( A ∩ B’ ∩ C ) U ( A’ ∩ B ∩ C ) Exemplo: Sejam A, B e C eventos quaisquer de Ω. Usando as operações de união, interseção e complementar, podemos descrever alguns eventos tais como: Probabilidade: Eventos  Algumas Propriedades Operatórias: • Comutativas: A U B = B U A A ∩ B = B ∩A • Associativas: A U (B U C) = (A U B) U C = (A U C) U B = A U B U C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ B = A ∩ B ∩ C • Leis De Morgan: (A U B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’ = A’ U B’ • Distributivas: A U ( B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) Probabilidade: Eventos MÉTODO OBJETIVO CLÁSSICO QUANDO O ESPAÇO AMOSTRAL TEM RESULTADOS IGUALMENTE PROVÁVEIS EMPÍRICO BASEIA-SE NA FREQUÊNCIA RELATIVA DE OCORRÊNCIA DE UM EVENTO NUM GRANDE NÚMERO DE PROVAS REPETIDAS SUBJETIVO ASSOCIA PROBABILIDADES BASEADO EM INFORMAÇÕES ANTERIORES E EM OPINIÃO PESSOAL A RESPEITO DO EVENTO EM QUESTÃO NUM CERTO GRAU DE COERÊNCIA Probabilidade: Métodos • Seja ξ e Ω um espaço amostral associado a ξ. • Suponha que Ω seja finito e que todos os resultados de Ω sejam igualmente prováveis. • Considere um evento A de Ω, isto é A  Ω . • Conceito Clássico: Se nΩ e nA são, respectivamente, o nº de elementos de Ω e o nº de elementos de A, a probabilidade de ocorrência do evento A, P(A) , é o nº real definido por: 𝑃(𝐴) = 𝑛𝐴 𝑛Ω Probabilidade: Método Objetivo Clássico 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo A. 2) P(Ω) =1 4) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então: P(A U B) = P(A) + P(B) 5) Se A1 , A2, ... , An , ... é uma sequência de eventos mutuamente exclusivos, então: 3) P(Ø) =0 Probabilidade: Axiomas • Conceito Empírico ou Estatístico: A probabilidade da ocorrência do evento “A”, é dado pelo limite da frequência relativa deste evento, quando o número de repetições tende ao infinito. Probabilidade: Método Objetivo Empírico ou Estatístico 𝑃 𝐴 = lim 𝑛→∞ 𝑓𝑟𝑖 Exemplo: Ocorrência do evento “cara” no lançamento de uma moeda. Probabilidade: Conceito Empírico ou Estatístico  A chance a favor de ocorrência de um evento é dada pela razão de probabilidade de sua ocorrência para a probabilidade de sua não- ocorrência. 𝑎 𝑏 = 𝑝 1 − 𝑝  A chance contra de ocorrência de um evento é dada pela razão de probabilidade de sua não-ocorrência para a probabilidade de sua ocorrência. 𝑎 𝑏 = 1 − 𝑝 𝑝 Relação entre Probabilidade e Chance Exemplo: Qual a chance de ocorrência de um evento cuja ? 9 = 5 p 𝑎 𝑏 = 𝑝 1 − 𝑝 = 5 9 1 − 5 9 = 5 9 4 9 = 5 9 ⋅ 9 4 = 5 4 ou 5:4 ou 5 para 4 : 4 5 Chance a favor Chance contra : b  a Relação entre Probabilidade e Chance  Se há chance de para de ocorrência de um evento, a probabilidade de sua ocorrência é: n a b 𝑝 = 𝑎 𝑎 + 𝑏 Exemplo: Converta em probabilidade a chance de 3 : 2 ? 𝑝 = 3 3 + 2 = 3 5 Conversão de Chance em Probabilidade  Exemplo:  Um economista acha que há uma chance de: 2 : 1 (preço do arroz suba no próximo mês), 1 : 5 (preço permaneça inalterado) e 8 : 3 (preço suba ou permaneça inalterado). As probabilidades correspondentes são consistentes? 𝑝 = 2 2 + 1 = 2 3 𝑝 = 1 1 + 5 = 1 6 𝑝 = 8 8 + 3 = 8 11 𝑝 = 2 3 + 1 6 = 5 6 ≠ 8 11 As probabilidades não são consistentes. Logo, o julgamento do economista deve ser revisto. Aproximação de Stirling para ! grande n 𝑛! 2 ⋅ Π ⋅ n ⋅ 𝑛𝑛 ⋅ 𝑒−𝑛 ~ 60 ! 2 ⋅ Π ⋅ 60 ⋅ 6060 ⋅ 𝑒−60 = 𝑆 log 𝑆 = log 120 ⋅ Π ⋅ 6060 ⋅ 𝑒−60 log 𝑆 = 1 2 ⋅ log 1 20 + 1 2 ⋅ log Π + 60 ⋅ log 6 0 − 60 ⋅ log 𝑒 log 𝑆 = 81,92 𝑆 = 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 81,92 𝑆 = 1081,92 = 8,32 ⋅ 1081 60 ! = 8,32 ⋅ 1081 ~ Π = 3,142 … e = 2,718 … Exemplo: A probabilidade de ter apenas um acertador no jogo da megasena. Aposta com 7 números 𝑃 = 1 𝐶7 6 𝐶60 6 = 1 7 50.063.860 = 1 7.151.980 Aposta com 8 números 𝑃 = 1 𝐶8 6 𝐶60 6 = 1 28 50.063.860 = 1 1.787.995 Aposta com 6 números 𝑃 = 1 𝐶60 6 = 1 60! 6! 60 − 6 ! = 1 50.063.860