Avaliação 3 Estatística I-2022 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO – UFMA Fundação instituída nos termos da Lei nº 5.152, de 21/10/1966 – São Luís – Maranhão. CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA - CCET DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – DEMAT ESTATÍSTICA I (AD) – 2022.1 - 3° AVALIAÇÃO Aluno (a): ___________________________________________ Matrícula Questões 01 e 02 (5,0 pontos) A gasolina deve conter uma percentagem X de um aditivo especial. As especificações exigem que X esteja entre 30 e 35 por cento. O fabricante obterá um lucro líquido 𝐿(𝑋), por galão, que é dado pela função: 𝐿(𝑋) = { 𝑅$ 0,10 𝑝𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑙ã𝑜 𝑠𝑒 30 < 𝑥 < 35 𝑅$ 0,05 𝑝𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑙ã𝑜 𝑠𝑒 35 < 𝑥 < 40 𝑜𝑢 25 < 𝑥 < 30 − 𝑅$ 0,10 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑚𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 1. Sabemos que 𝑋 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢í𝑑𝑎 𝑁 (33; 9). Calcular o valor esperado 𝐸(𝐿). 2. Suponha que o fabricante deseje aumentar seu lucro líquido esperado de 50 %. Ele pretende atingir este objetivo, aumentando seu lucro líquido por galão vendido atendendo às especificações (30 < x < 35). Qual deve ser o novo lucro líquido? Questões 03 (2,5 pontos) 3. O tempo de auditoria nas contas de uma empresa segue a uma função dada por: 𝑓(𝑥) = { 1 − 𝑥 2 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 0 𝑠𝑒 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 > 2 A probabilidade de uma conta sair com erro é 𝑝 = 1,24 − 𝑃(𝑋 ≤ 1,2). Se 10 contas são auditadas, qual a probabilidade de que pelo menos 2 estejam erradas? Questões 04 (2,5 pontos) 4. Suponha que o número de pedidos que um fornecedor recebe por dia, seja uma variável com distribuição de Poisson com média de λ pedidos por dia. Sabe-se que o parâmetro λ satisfaz à equação P(X < λ) = 0,0082 , em que X é uma variável aleatória distribuída N (15 ; 25). Nessas condições, qual a probabilidade de o fornecedor receber, em um dia qualquer, exatamente 4 pedidos? Questão 1) Temos que X~N(33; 9), logo: - A probabilidade de o lucro ser R$0,10 por galão é: 𝑃(30 < 𝑋 < 35) = 𝑃 (30-33 √9 < Z < 35-33 √9 ) ≅ 𝑃(−1 < 𝑍 < 0,67) = 𝑃(𝑍 < 0,67) − 𝑃(𝑍 < −1) = (0,5000 + 0,2486) − (0,5 − 0,3413) = 0,5899 - A probabilidade de o lucro ser R$0,05 por galão é: 𝑃(35 < 𝑋 < 40) + 𝑃(25 < 𝑋 < 30) = 𝑃 (35-33 √9 < Z < 40-33 √9 ) + 𝑃 (25-33 √9 < Z < 30-33 √9 ) ≅ 𝑃(0,67 < 𝑍 < 2,33) + 𝑃(−2,67 < 𝑍 < −1) = [𝑃(𝑍 < 2,33) − 𝑃(𝑍 < 0,67)] + [𝑃(𝑍 < −1) − 𝑃(𝑍 < −2,67)] = (0,4901– 0,2486) + [(0,5 – 0,3413) – (0,5 – 0,4962)] = 0,3964 - A probabilidade de o lucro ser - R$0,10 por galão é: 1 - (0,5899 + 0,3964) = 0,0137 A distribuição de probabilidade do lucro líquido por galão é dada por: Lucro (L) 0,10 0,05 -0,10 P(L) 0,5899 0,3964 0,0137 Logo, a esperança do lucro, E(L), é dada por: E(L) = ∑ Li × P(Li) = 0,10 × 0,5899 + 0,05 × 0,3964 - 0,10 × 0,0137 ≅ R$ 0,0774 Nota: os valores Z quando olhados na tabela possuem só duas casas decimais. Alguns casos, como 0,67, é arredondamento de 0,6666666667. Isso faz com que se perca um pouco de precisão (normal). Resolvendo esse mesmo exercício por software, chegaríamos num valor esperado de 0,07739575. Questão 2) Se o lucro líquido esperado atualmente é R$0,0774 e ele pretende aumentar em 50% esse lucro, o novo lucro líquido esperado será de R$0,1161. Para que ele atinja esse lucro alterando apenas o lucro líquido por galão dentro das especificações (30 < X < 35): E(L) = K × 0,5899 + 0,05 × 0,3964 - 0,10 × 0,0137 = R$ 0,1161, logo K ≅ R$ 0,1655 Logo, para que o lucro líquido esperado por galão seja aumentado em 50% alterando apenas o lucro por galão dentro das especificações (30 < X < 35), o lucro por galão dentro dessas especificações deve ser aumentado de R$0,10 para aproximadamente R$0,1655. Questão 3) Temos que: P(X ≤ 1,2) = ∫ 1 - x 2 dx 1,2 0 = [x- x² 4 ] 1,2 0 = 1,2 - 1,2² 4 = 0,84 Logo, temos que: p = 1,24 - 0,84 = 0,40 Seja: Y: número de contas auditadas erradas Y~Bin(n = 10; p = 0,40) Temos: 𝑃(𝑌 ≥ 2) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)] = 1 - [(10 0 ) × 0,400 × 0,6010 + (10 1 ) × 0,401 × 0,609] = 1 - (0,0060 + 0,0403) = 0,9537 Portanto a probabilidade de haver ao menos duas contas erradas é de aprox. 95,37%. Questão 4) Temos que: P(X < λ) = 0,0082 X~N(15; 25) Sabemos que: P(Z > 2,40) = 0,50 - P(Z < 2,40) = 0,50 -0,4918 = 0,0082 Logo, por simetria da distribuição normal: P(Z < -2,40) ≅ 0,0082 Temos a equação da normalização: z = x-𝜇 𝜎 Logo: -2,40 = λ - 15 √25 , então λ = 3 Seja Y: número de pedidos recebidos por dia pelo fornecedor Y~Pois(λ = 3) Portanto: P(Y = 4) = e-3 × 34 4! = 0,1680 Logo a probabilidade de o fornecedor receber exatamente 4 pedidos em um dia qualquer é de aproximadamente 16,80%.