Pré_calculo 1

ATIVIDADE AVALIATIVA II PRECALCULO I PROFESSOR MARCOS ROBERTO ATENC AO JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS 1 15 pontos Seja y fx e uma funcao afim que passa pelos pontos 2 1 3 2 e b 5 Determine o valor de b 2 15 pontos Para as funcoes 1 a 4 a Encontre o vertice e o eixo de simetria da funcao b Encontre a inter seccao do grafico com o eixo y e a interseccao com o eixo x se houver c Use as partes a e b para representar graficamente a funcao 1 fx x2 2x 3 2 fx 2x2 5x 3 3 fx 3x2 3x 2 3 10 ponto Para as funcoes da questao anterior determine os intervalos a Onde a funcao e crescente b Onde a funcao e decrescente b Onde fx 0 d Onde fx 0 4 15 pontos Determine a funcao quadratica cujo grafico e dado abaixo Justifique sua resposta atraves de calculos envolvendo as informacoes fornecidas nas imagens 5 15 pontos Um projetil e disparado a uma inclinacao de 450 em relacao a horizontal com uma velocidade 32x2 1002 x onde x e a distˆancia horizontal do inicial de 100 ms A altura h do projetil e modelada por hx projetil ao ponto de tiro a A que distˆancia horizontal do ponto inicial de tiro o projetil atinge a altura maxima b Encontre a altura maxima do projetil c A que distˆancia horizontal do ponto inicial de tiro o projetil atinge o solo 6 15 pontos Resolva as inequacoes abaixo Represente as solucoes usando intervalos quando possıvel a x2 1 0 b 25x2 16 40x c 22x2 3x 9 7 15 pontos Observe a figura abaixo Como base nos dados da figura determine a As funcoes fx e gx b Os intervalos onde fx gx e os intervalos onde fx gx ATIVIDADE AVALIATIVA I PREC ALCULO I PROFESSOR MARCOS ROBERTO ATENC AO QUESTÕES 1 e 2 VALEM 15 PONTOS E AS DEMAIS 125 PONTOS 1 Numa classe de 40 alunos 20 jogam futebol 25 jogam vˆolei 14 jogam basquete 12 jogam futebol e vˆolei 8 jogam vˆolei e basquete 8 jogam futebol e basquete e 4 praticam os trˆes esportes Com base nestas informacoes determine a Quantos alunos da classe nao praticam esses esportes b Quantos praticam exatamente um desses esportes c Quantos praticam exatamente dois desses esportes 2 Dados os intervalos A 1 3 B 1 4 C 2 3 e D 1 2 encontre aA B bC D cA B C D 3 Dado fx x2 4x 2 ache a f0 b fh2 c fx h d fx h fx h 4 Determine o domınio das funcoes a fx x x 1 b fx x 3 4 x c fx x 3 x2 8x 15 5 Para cada uma das funcoes abaixo elabore uma tabela com pelo menos 6 valores para a variavel independente x e as suas imagens fx Coloque os pontos x fx obtidos num sistema de coordenadas cartesianas e faca um esboco do grafico supondo que o domınio seja o maior subconjunto dos reais possıvel a fx 2 b fx x 5 c fx x2 1 d fx x 6 Seja A R Uma funcao f A R e chamada positiva se fx 0 para todo x A negativa se fx 0 para todo x A naonegativa se fx 0 para todo x A naopositiva se fx 0 para todo x A a Mostre exemplos de uma funcao positiva uma funcao negativa uma funcao naonegativa uma funcao naopositiva e de uma funcao que nao seja desses tipos b Descreva as caracterısticas que deve possuir o grafico de uma funcao de cada um dos tipos listados acima c Existem funcoes que sao simultaneamente positivas e negativas Justifique sua resposta d Existem funcoes que sao simultaneamente naopositivas e nao negativas Justifique sua resposta ATIVIDADE AVALIATIVA III PRECALCULO I PROFESSOR MARCOS ROBERTO ATENC AO JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS 1 10 pontos Dada a funcao fx x 4 a Determine o domınio e a imagem de fx b Determine b tal que fb 7 c Construa o grafico de gx x 4 e fx x 4 em um mesmo plano cartesiano e explique a relacao entre os dois graficos 2 15 ponto A funcao fx x2 x para todo x R nao e invertıvel mas a funcao fx x2 x com x R x 1 2 e invertıvel Qual a justificativa para isto 3 15 pontos Para as funcoes abaixo encontre a inversa de cada funcao e esboce o grafico da funcao e sua inversa no mesmo plano cartesiano a fx 15 3x b fx x 3 c fx x2 para x 0 4 15 pontos Determine o domınio a imagem a assıntota horizontal e interceptacao do eixo y para cada funcao abaixo a fx 3x b fx 1 2x c fx 23x 5 15 pontos Determine uma formula para cada funcao exponencial cujos os graficos sao demonstrados nas figuras 6 15 pontos Seja fx 4x 2 gx 1 2x 4 e hx log34x 7 a Se fa 66 qual o valor de a b Se gb 12 qual o valor de b c Se hc 2 qual o valor de c 7 15 pontos Seja fx 3x gx 1 3x a Represente graficamente a funcao fx e f1x em um mesmo plano cartesiano b Represente graficamente a funcao gx e g1x em um mesmo plano cartesiano BONS ESTUDOS ATIVIDADE AVALIATIVA II PR ÉC ÁLCULO I PROFESSOR MARCOS ROBERTO ATENC AO JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS 1 15 pontos Seja y f x uma funçao a m que passa pelos pontos 2 1 3 2 e b 5 Determine o valor de b 2 15 pontos Para as funcoes 1 a 4 a Encontre o vertice e o eixo de simetria da funçao b Encontre a intersecçao do grá co com o eixo y e a intersecçao com o eixo x se houver c Use as partes a e b para representar gra camente a funçao 1 ƒx x² 2x 3 2 ƒx 2 x² 5 x 3 3 ƒx 3x² 3 x 2 3 10 ponto Para as funcoes da questao anterior determine os intervalos a Onde a funçao crescente b Onde a funçao decrescente b Onde fx 0 d Onde fx 0 4 15 pontos Determine a funçao quadrática cujo grá co dado abaixo Justi que sua resposta através de cálculos envolvendo as informaoes fornecidas nas imagens 5 15 pontos Um projetil disparado a uma inclinacao de 45o em relacao á horizontal com uma velocidade inicial de 100 ms A altura h do projetil modelada por hx 32x²100² x onde x é a distancia horizontal do projetil ao ponto de tiro 7 No text detected 8 No text detected b 2x2 5x 3 x 5 25 423 4 5 1 4 1 e 6 32 15 y0 202 50 3 3 x0 y0 b2a b2 4ac4a 54 18 c 3x2 3x 2 x 3 9 4 3 2 6 3 9 24 6 3 15 6 Δ 0 logo se intercepta com x y0 302 30 2 2 x0 y0 b2a b2 4ac4a 36 1512 12 1512 3 a fx x2 2x 3 f é crescente em 2 f é decrescente em 2 f é positiva em todo R f é negativa em nenhum x R b fx 2x2 5x 3 f é crescente em 54 f é decrescente em 54 f é positiva em 32 1 f é negativa em 32 1 c fx 3x2 3x 2 f é crescente em 13 f é decrescente em 13 f é positiva em nenhum x R f é negativa em todo x R 4 yx ax2 bx c a 01 1 y0 0a 0b c c 1 Sabendo que x0 y0 b2a b2 4ac4a x0 y0 1 2 temos b2a 1 2 2a b 2 b2 4a14a 2 b2 4a 8a Substituindo temos 2a2 4a 8a 0 4a2 4a 0 4aa 1 0 a 0 ou a 1 Como a não pode ser zero logo a 1 Onde b 2 Portanto yx x2 2x 1 b 05 yx ax2 bx 5 Sabendo que x0 y0 b2a b2 4ac4a x0 y0 21 temos b2a 2 b 4a b 4a b2 4a54a 1 b2 20a4a 1 b2 20a 4a 0 Substituindo temos 4a2 16a 0 16a2 16a 0 16aa 1 0 a 0 ou a 1 Como a não pode ser zero logo a 1 Onde b 4 Portanto yx x2 4x 5 5 Rx 32100² x² x 32x100² 1 x 0 x0 e x 100²32 X0 b2a 12 32100² 1 100²64 100²64 Y0 b²4ac4a 104 32100² 1 100²128 100²128 2 X0 100²64 m b y0 100²128 m C x 100²32 m 6 2 X² 10 X²1 x 11 b 25 x² 16 40 X 25 x² 40 x 16 0 X 40 25² 425162 25 40 625 160050 não tem raíz real Uma vez que c1600 temos que qualquer x ℝ satisfaça a desigualdade C 22x² 3X 9 Vamos estudar a parábola 22x²3X 0 2X 2X3 0 X0 e X 32 22x² 3X 4x² 6X y0 b²4ac4a 364016 3616 188 92 8 94 9 Portanto para todo x ℝ temos 22x²3X 9 7 gx ax b a2 28 pertencem ao gráfico de g 2 g1 2 b b 2 a 8 g2 2a b b 8 2a 2a 8 2a 22a 8 2 a6 Logo b 2 a 2 6 b 4 Onde gx 6x 4 fx 2x² bx 8 f2 4a b 8 f2 4a b 16 82 b b a2 8 4 2 b b 0 Portanto fx 2X² b Pelo gráfico das funções temos fx gx em 2 2 fx gx em 22 ATIVIDADE AVALIATIVA I PREC ALCULO I PROFESSOR MARCOS ROBERTO ATENC AO QUESTÕES 1 e 2 VALEM 15 PONTOS E AS DEMAIS 125 PONTOS 1 Numa classe de 40 alunos 20 jogam futebol 25 jogam vˆolei 14 jogam basquete 12 jogam futebol e vˆolei 8 jogam vˆolei e basquete 8 jogam futebol e basquete e 4 praticam os trˆes esportes Com base nestas informacoes determine a Quantos alunos da classe nao praticam esses esportes b Quantos praticam exatamente um desses esportes c Quantos praticam exatamente dois desses esportes 2 Dados os intervalos A 1 3 B 1 4 C 2 3 e D 1 2 encontre aA B bC D cA B C D 3 Dado fx x2 4x 2 ache a f0 b fh2 c fx h d fx h fx h 4 Determine o domınio das funcoes a fx x x 1 b fx x 3 4 x c fx x 3 x2 8x 15 5 Para cada uma das funcoes abaixo elabore uma tabela com pelo menos 6 valores para a variavel independente x e as suas imagens fx Coloque os pontos x fx obtidos num sistema de coordenadas cartesianas e faca um esboco do grafico supondo que o domınio seja o maior subconjunto dos reais possıvel a fx 2 b fx x 5 c fx x2 1 d fx x 6 Seja A R Uma funcao f A R e chamada positiva se fx 0 para todo x A negativa se fx 0 para todo x A naonegativa se fx 0 para todo x A naopositiva se fx 0 para todo x A a Mostre exemplos de uma funcao positiva uma funcao negativa uma funcao naonegativa uma funcao naopositiva e de uma funcao que nao seja desses tipos b Descreva as caracterısticas que deve possuir o grafico de uma funcao de cada um dos tipos listados acima c Existem funcoes que sao simultaneamente positivas e negativas Justifique sua resposta d Existem funcoes que sao simultaneamente naopositivas e nao negativas Justifique sua resposta PréCálculo 1 27 1012025 F F Total 10 alunos 20 52 4 12 4 25 52 4 V a 8 4 4 18 4 4 g 9 V F 20 8 4 E 8 4 V 25 14 8 4 4 8 4 B 14 B B a Dadescobrir precisamos noma todos os conjuntos do último diagrame e 40 4 8 4 4 9 4 2 40 35 S 16 Só futbol 4 só volei 9 só basquete 2 C Futebol e volei 8 Vôlei e baquete 4 Futebol e Jaquete 4 12 A 1 3 B 1 4 c 2 3 e D 5 2 3 2 AUB 1 3 rs 4 5 4 EIN b CnD 2 3 1 1 2 22 1 Tmmu D c AUBInDI XAvBeXnD 1 4 2 2 U 2 47 13 fx X2 4X 2 2 fd 02 1 0 2 2 floE2 6 fR2 R 444 2 R 4R22 c fx R x R2 ax R 2 X2 2XR R2 4x 4R 2 X R2 2XR 4x 4R 2 R dthaxuRaDR As R 2X 4 14 Não podemos dividir por gera e nem tira as raízes de número negativo a fx XX0 e XX1 Anim o domínio de fé Xx0 e XE1 0 1 n11953 0 1v1 b 6 fix NEX o domínio é dado pori X 330e4 X30 D X3 3eX34 E 3 bn 0 4 3 4 c fx O domínio da função X 330eX2 8x 157 0 DX33 eX2 8X 1570 X 5 5 Anim Xx3 e PRI9330153 3 3mIRI 433053 3 5v5 0 85 2 fx re função contente para qualque X teme X 2 9 X b fx X 5 Y 5 f 5 5 0 3 fl 3 3 2 10 fd 10 5 3 o N x s fs 15 6 ⑳ DX 2 f2 2 3 f3 3 8 c fx Xa 1 2 f2 2 5 s f s 1 2 s fs s 2 10 flo 10 1 2 fa 2 3 d fx x o maio domínio ponivelé 0 c 0 fd 10 0 i 4 fa 4 2 15 fg 9 3 56 f56 56 4 a 25 f251 25 5 36 f36 36 6 16 a fIx X110 para todo Xeth logo é uma função positiva em R gx X140 para todo XeR logo é uma função negativa em R fIxx 0 Xxo b logo f é nãonegativa fx 10 FXeTo AD logo f é nãopositiva fx X 5 ondexe forma valores negativos nulo a positivos 6Positiva sempre a cima do cixox Ay Negativa sempre a baixo do eixo xim Nãonegativa nunca para a eixox Nãopositiva nunca para o cixox f Vy A Um gráfico do tipo não pode te nenhuma N D das 4 propriedades T ATIVIDADE AVALIATIVA III PR EC ALCULO I PROFESSOR MARCOS ROBERTO ATENC AO JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS 1 10 pontos Dada a função fx x 4 a Determine o domínio e a imagem de fx b Determine b tal que fb 7 c Construa o gráfico de gx x 4 e fx x 4 em um mesmo plano cartesiano e explique a relação entre os dois gráficos 2 15 ponto A função fx x² x para todo x ℝ não é invertível mas a função fx x² x com x ℝ x 12 é invertível Qual a justificativa para isto 3 15 pontos Para as funções abaixo encontre a inversa de cada função e esboce o gráfico da função e sua inversa no mesmo plano cartesiano a fx 15 3x b fx x 3 c fx x² para x 0 4 15 pontos Determine o domínio a imagem a assíntota horizontal e interceptação do eixo y para cada função abaixo a fx 3x b fx 12x c fx 23x 5 15 pontos Determine uma fórmula para cada função exponencial cujos os gráficos são demonstrados nas figuras 6 15 pontos Seja fx 4x 2 gx 12x 4 e hx log34x 7 a Se fa 66 qual o valor de a b Se gb 12 qual o valor de b c Se hc 2 qual o valor de c 7 15 pontos Seja fx 3x gx 1 3x a Represente graficamente a funcao fx e f1x em um mesmo plano cartesiano b Represente graficamente a funcao gx e g1x em um mesmo plano cartesiano BONS ESTUDOS 13 fix IX41 X re X N e fx Domínio de f é todos os IR Imagem de f é 0 1 4 ⑥ Note que X 4 7 X 2 X5 gx X 4 X 4 7 D X 3 O f é o reflexo positivo deg pelo eixo X u 127 y X X XX y X 0 e X 1 Além dino XoE 1Y I 92 Soumonta querme I DX XER X 12 ela seria injetiva 37yx 15 3x Ay Dy 15 3X 15 jx 3 14 3X 15 y 3 X X 5 by Fix 51y fx ⑥ fx V 3 x0 Y fx y x 3 V y S X y 3o fx y 32 y23 fix ② fx X2 X 0 D y X X2 y X V y Fyz0 z X2 F kit ② fx 3x fd 30 1 Dom f IR I Imf 0 b Anintota horizontal y ⑥ fla 2 a y DX Dom f R 1 Im f 1 0 0 pois 2 fx o Anintota horizontal y fx E X a y ② fx 234 DX fol 23 2 2 Dom f IR Imf 0 0 fx 234 Anintota horizontal y 15 ② fx a 20 Como 5 3 pertence ao gráfico temos 5 fx 2 D 2 a 5 Portanto fx 5 ⑥ Somo 101 fx a Tomo 5 516 pertece ao gráfico logo E fx a 2 2 a 6 Portanto fx 16 6 fx 4 2 gx 1 4eRx log4x 7 ② 66 fa q 2 242 66 2 22 64 26 ⑧ Sa gb 2 4 2 32 4 5 2 6 4 4 ② 2 Rc log 4 7 32 4 7 4 9 7 XDa ⑦ fx 3 gx 5 ② A invana de fé fix logx pois Jofx 13 log3 X log 3 X log