Cálculo Diferencial Integral 2 2 Avaliação

Universidade Federal do Maranhão Cálculo Diferencial e Integral II Segunda Avaliação Parte II 22 9 2025 Disciplina Cálculo Integral Professor José Antonio Alunoa Matrícula 1 Considere fx 1 x Responda a cada um dos itens abaixo a 05 ponto determine o domínio da função b 05 pontocalcule 1 0 fxdx 2 10 ponto Calcule 0 xdx x4 1 3 10 ponto Utilize os conhecimentos acerca de testes de convergência para verificar se a série n1 1 2n 1 é convergente 4 10 ponto Verifique ser a série n1 1 n2n é convergente Para isto utilize os testes de convergência estudados 5 10 ponto Seja a série n2 1n lnn Verifique se a série em questão é convergente e justifique sua resposta 4 10 ponto Verifique se a série n1 1 n2n é convergente Para isto utilize os testes de convergência estudados Vamos utilizar o teste da raiz assim limn 1 n2n1n limn 1 n2 0 1 portanto pelo teste da raiz a série é convergente 5 10 ponto Seja a série n2 1n lnn Verifique se a série em questão é convergente e justifique sua resposta Vamos utilizar o teste da serie alternada Aqui vamos analisar a sequência an 1 lnn é positiva para n 1 para qualquer n ℕ1 temos que n n 1 lnn lnn 1 an1 1 lnn 1 1 lnn an a sequência é monotona decrescente e além disso limn an limn 1 lnn 0 portanto pelo teste da serie alternada temos que a série é convergente Universidade Federal do Maranhão Cálculo Diferencial e Integral II Segunda Avaliação Parte II 22 de setembro de 2025 Disciplina Cálculo Integral Professor José Antonio Alunoa Matrícula 1 Considere fx 1 x Responda a cada um dos itens abaixo a 05 ponto Determine o domínio da função Em primeiro lugar devemos ter que o numerador seja não nulo x 0 x 0 Em seguida vale recordar que a função x está definida apenas para valores onde x 0 mas como vimos x 0 portanto segue que Domf x ℝx 0 b 05 ponto Calcule 1 0 fx dx 1 0 fx dx 1 0 1x dx 1 0 x12 dx x112 1 1201 2 2 10 ponto Calcule 0 x x4 1 dx Tome z x2 assim dz2 x dx Quando x ou x 0 temos que z ou z 0respectivamente Substituindo 0 x x4 1 dx 12 0 dz z2 1 12 arctanz0 12 π2 0 π4 3 10 ponto Utilize os conhecimentos acerca de testes de convergência para verificar se a série n1 1 2n 1 é convergente Para qualquer n ℕ temos que 2n 2n 1 2n 1 ou seja 1 2n 1 1 2n 1 1 2n mn1 1 2n 1 mn1 1 2n 1 mn1 1 2n Note que a série do nosso interesse fica entre duas outras series do tipo Psériesao tomar m portanto pelo teste da comparação é uma série divergente