Geometria Plana e Pré Cálculo 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO Diretoria de Tecnologias na Educação DTED DISCIPLINA Geometria Plana PROF Otonilson Ribeiro ATIVIDADE AVALIATIVA REFERENTE A NOTA 1 80 PONTOS 1 10 ponto Classifique em verdadeiro V ou falso F a Dois pontos distintos determinam infinitas retas b As retas são noções primitivas da Geometria que não possuem definição mas que apresentam uma única dimensão Assim elas permitem que sejam feitas medidas de comprimento ou largura a partir delas c O ponto não pode ser definido mas algumas de suas características podem ser usadas para diferenciálo de outras figuras Por exemplo o fato de possuir apenas uma dimensão garante que não haja medidas possíveis nos pontos d Um plano é uma figura formada por retas mas não por pontos 2 10 ponto Dentre as alternativas a seguir identifique a que melhor caracteriza um plano a Um fio de cabelo bem esticado b A marca deixada por uma gota dágua que caiu sobre a mesa c A superfície de uma mesa d A viga do telhado de uma casa 3 10 ponto Os três ângulos de um triângulo são tais que o segundo mede 28 menos que o primeiro e o terceiro 10 mais que o primeiro Determine os três ângulos do triângulo 4 15 ponto Demonstre que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é também bissetriz 5 10 ponto O suplemento do triplo do complemento da metade de um ângulo é igual ao triplo do complemento desse ângulo Determine o ângulo 6 10 ponto Sejam 𝐴 𝐵 e 𝐶 ângulos internos de um triângulo e sabendo que 𝐵 mede o dobro de 𝐴 menos 25 graus e 𝐶 o triplo de 𝐴 mais 13 graus calcule os ângulos internos desse triângulo 7 15 ponto Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes e complementares formam um ângulo de 45 ATIVIDADE AVALIATIVA I PREC ALCULO I PROFESSOR MARCOS ROBERTO ATENC AO QUESTÕES 1 e 2 VALEM 15 PONTOS E AS DEMAIS 125 PONTOS 1 Numa classe de 40 alunos 20 jogam futebol 25 jogam vˆolei 14 jogam basquete 12 jogam futebol e vˆolei 8 jogam vˆolei e basquete 8 jogam futebol e basquete e 4 praticam os trˆes esportes Com base nestas informacoes determine a Quantos alunos da classe nao praticam esses esportes b Quantos praticam exatamente um desses esportes c Quantos praticam exatamente dois desses esportes 2 Dados os intervalos A 1 3 B 1 4 C 2 3 e D 1 2 encontre aA B bC D cA B C D 3 Dado fx x2 4x 2 ache a f0 b fh2 c fx h d fx h fx h 4 Determine o domınio das funcoes a fx x x 1 b fx x 3 4 x c fx x 3 x2 8x 15 5 Para cada uma das funcoes abaixo elabore uma tabela com pelo menos 6 valores para a variavel independente x e as suas imagens fx Coloque os pontos x fx obtidos num sistema de coordenadas cartesianas e faca um esboco do grafico supondo que o domınio seja o maior subconjunto dos reais possıvel a fx 2 b fx x 5 c fx x2 1 d fx x 6 Seja A R Uma funcao f A R e chamada positiva se fx 0 para todo x A negativa se fx 0 para todo x A naonegativa se fx 0 para todo x A naopositiva se fx 0 para todo x A a Mostre exemplos de uma funcao positiva uma funcao negativa uma funcao naonegativa uma funcao naopositiva e de uma funcao que nao seja desses tipos b Descreva as caracterısticas que deve possuir o grafico de uma funcao de cada um dos tipos listados acima c Existem funcoes que sao simultaneamente positivas e negativas Justifique sua resposta d Existem funcoes que sao simultaneamente naopositivas e nao negativas Justifique sua resposta Lista 1 1 V ou F a Dois pontos distintos determinam infinitas retas Falso Dois pontos distintos determinam apenas uma reta b As retas são noções primitivas da Geometria que não possuem definição mas apresentam uma única dimensão Assim elas permitem que sejam feitas medidas de comprimento ou largura a partir delas Verdadeiro Em Geometria Euclidiana reta é considerada um conceito primitivo e tem apenas uma dimensão comprimento c O ponto não pode ser definido mas algumas de suas características podem ser usadas para diferenciálo de outras figuras Por exemplo o fato de possuir apenas uma dimensão garante que não haja medidas possíveis nos pontos Falso O ponto é considerado um ente geométrico sem dimensão dimensão zero não uma dimensão Ele não tem comprimento largura ou altura d Um plano é uma figura formada por retas mas não por pontos Falso O plano também contém infinitos pontos Assim como a reta e o ponto o plano é outra noção primitiva tem duas dimensões e contém tanto retas quanto pontos 2 Qual alternativa melhor caracteriza um plano a Um fio de cabelo bem esticado isso caracteriza algo unidimensional parece uma reta b A marca deixada por uma gota dágua sobre a mesa é algo que parece uma região pontual sem extensão suficiente para caracterizar um plano c A superfície de uma mesa normalmente usada como exemplo de uma superfície plana bidimensional d A viga do telhado de uma casa objeto essencialmente alongado mais parecido com uma reta ou prisma Portanto a melhor resposta é c A superfície de uma mesa 3 Os três ângulos de um triângulo segundo 28 a menos que o primeiro terceiro 10 a mais que o primeiro Ache os 3 ângulos Sejam Primeiro ângulo x Segundo ângulo x 28 Terceiro ângulo x 10 Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 temos x x 28 x 10 180 3x 18 180 3x 198 x 66 Então Primeiro 66 Segundo 66 28 38 Terceiro 66 10 76 5 O suplemento do triplo do complemento da metade de um ângulo é igual ao triplo do complemento desse ângulo Determine o ângulo Vamos chamar o ângulo de x Metade do ângulo x2 Complemento da metade 90 x2 Triplo desse complemento 3 90 x2 270 3x2 Suplemento disso 180 270 3x2 180 270 3x2 3x2 90 Por outro lado o complemento de x é 90 x e seu triplo é 3 90 x 270 3x A igualdade dada é 3x2 90 270 3x Resolvendo 3x2 90 270 3x 3x2 3x 270 90 3x2 6x2 360 9x2 360 9x 720 x 80 Portanto o ângulo é 80 graus 6 Â B e C são ângulos de um triângulo Dado que B 2A 25 e C 3A 13 encontre A B e C Sendo a soma A B C 180 substituímos A 2A 25 3A 13 180 Isso dá A 2A 25 3A 13 180 6A 12 180 6A 192 A 32 Então B 2A 25 64 25 39 C 3A 13 96 13 109 Verificando a soma 32 39 109 180 Logo os ângulos são A 32 B 39 C 109 Lista 2 Problema dos 40 alunos Futebol Vôlei Basquete Total de alunos 40 Jogam futebol 20 Jogam vôlei 25 Jogam basquete 14 Jogam futebol e vôlei 12 Jogam futebol e basquete 8 Jogam vôlei e basquete 8 Jogam os três 4 a Alunos que não praticam nenhum esporte Use a fórmula da união de três conjuntos nF V B nF nV nB nF V nF B nV B nF V B Substituindo os valores nF V B 20 25 14 12 8 8 4 59 28 4 35 Então 35 alunos praticam pelo menos um esporte Logo não praticam nenhum 40 35 5 b Alunos que praticam exatamente um esporte Futebol somente nF nF V nF B nF V B 20 12 8 4 4 Vôlei somente nV nV F nV B nF V B 25 12 8 4 9 Basquete somente nB nB F nB V nF V B 14 8 8 4 2 Somando 4 9 2 15 c Alunos que praticam exatamente dois esportes F e V somente nF V nF V B 12 4 8 F e B somente nF B nF V B 8 4 4 V e B somente nV B nF V B 8 4 4 Somando 8 4 4 16 2 Operações com intervalos A 1 3 B 1 4 C 2 3 D 1 2 a A B A 1 3 vai de 1 até quase 3 B 1 4 vai de 1 até 4 A união cobre desde 1 início de A até 4 fim de B Resultado 1 4 b C D C 2 3 D 1 2 A interseção é apenas o ponto 2 porque 2 pertence a C e também a D Resultado 2 c A B C D Já temos A B 1 4 C D 2 Tirar o ponto 2 de 1 4 dá 1 2 2 4 3 Função fx x² 4x 2 a f0 f0 0² 40 2 2 b fh² fh² h²² 4h² 2 h4 4h2 2 c fx h fx h x h² 4x h 2 x² 2xh h² 4x 4h 2 d fx h fx h fx x² 4x 2 fx h fx x² 2xh h² 4x 4h 2 x² 4x 2 2xh h² 4h Dividindo por h h 0 dá 2x h 4 4 Domínios de funções a fx x x 1 1 O denominador x 1 não pode ser zero então x 1 2 O radicando x x 1 precisa ser 0 Analisando a fração x x 1 Zera em x 0 É indefinida em x 1 Fazendo teste de sinais Para x 0 digamos x 1 12 12 0 ok Para 0 x 1 por exemplo x 05 0505 1 0 não serve Para x 1 por exemplo x 2 21 2 0 ok E x 0 gera 01 0 que é 0 Portanto o domínio é 0 1 b fx x 3 4 x Condições 1 4 x 0 x 4 para a raiz interna ser real 2 A soma x 3 4 x 0 Em geral para x entre 3 e 4 a expressão x 3 é nãonegativa quando x 3 e 4 x também é nãonegativa Então qualquer x 3 até 4 tende a dar algo 0 Para x 3 é preciso verificar se ainda pode ser que x 3 4 x 0 Há um limite aproximado em torno de 619 onde a expressão passa a ser negativa Conclusão mais rigorosa O domínio vai de 7 292 até 4 Esse valor é aproximadamente 619 Então domínio 7 292 4 c fx x 3 x² 8x 15 Fatora o denominador x² 8x 15 x 3x 5 Então a fração é x 3 x 3x 5 que se simplifica para 1 x 5 se x 3 Condições 1 x 3 e x 5 para não zerar ou dividir por zero 2 1 x 5 0 x 5 0 x 5 x 3 não serve porque anularia o numerador e o denominador ao mesmo tempo Conclusão x deve ser maior que 5 Então o domínio é 5 5 Tabelas de valores e esboço de gráficos Cada função como fx 2 fx x 5 fx x² 1 fx x etc pede Escolher 6 valores de x no domínio Calcular fx para cada Marcar os pontos x fx num plano cartesiano Esboçar o gráfico de cada 6 Funções positivas negativas nãonegativas e nãopositivas Definições para x em A um subconjunto de R f é positiva se fx 0 para todo x de A f é negativa se fx 0 para todo x de A f é nãonegativa se fx 0 para todo x de A f é nãopositiva se fx 0 para todo x de A a Exemplos Positiva fx x² 1 sempre 0 Negativa gx 1 sempre 0 Nãonegativa hx x² 0 sempre Nãopositiva ux x² 0 sempre Que não se encaixa nessas vx x pois assume valores positivos negativos e zero b Características gráficas Positiva todo o gráfico fica estritamente acima do eixo x Negativa todo o gráfico fica estritamente abaixo do eixo x Nãonegativa o gráfico pode encostar no eixo x mas não fica abaixo dele Nãopositiva o gráfico pode encostar no eixo x mas não fica acima dele c Podem ser simultaneamente positiva e negativa Não Para ser positiva fx 0 em todo o domínio para ser negativa fx 0 em todo o domínio Não há como uma mesma função satisfazer ambas d Podem ser simultaneamente nãopositiva e nãonegativa Sim se fx 0 para todo x do domínio Nesse caso é ao mesmo tempo 0 e 0