Calculo Diferencial Integral 2 Atividade 3

Universidade Federal do Maranhão Cálculo Diferencial e Integral II Segunda Avaliação Parte II 27 9 2025 Disciplina Cálculo Integral Professor José Antonio Alunoa Matrícula 1 Utilize a função fx 1 x3 para responder a cada um dos itens abaixo a 10 ponto determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto 0 1 que será denotada por rx b 10 ponto determine a Série de MacLaurin com 3 termos no ponto 0 1 que aqui será denotada por sx 2 20 pontos Seja x0 0012 avalie a diferença entre rx0 e sx0 e apresente uma justificativa para a diferença detectada 3 20 pontos Desenvolva fx lnx 1 em torno de x0 1 4 20 pontos Desenvolva fx ex2 em Série de MacLaurin 5 20 pontos Determine o intervalo de convergência da série n1 xn n 1 1a 𝑓𝑥 1 𝑥3 𝑓0 1 𝑓𝑥 31 𝑥2 𝑓0 3 Equação da reta tangente 𝑟𝑥 𝑓0 𝑓0𝑥 0 1 3𝑥 RESPOSTA 1 3𝑥 b 𝑠𝑥 𝑓0 𝑓0𝑥 𝑓0 2 𝑥2 𝑓0 1 𝑓0 3 𝑓𝑥 61 𝑥 𝑓0 6 𝑠𝑥 1 3𝑥 6 2 𝑥2 1 3𝑥 3𝑥2 RESPOSTA 1 3𝑥 3𝑥2 2 𝑟𝑥 1 3𝑥 reta tangente 𝑠𝑥 1 3𝑥 3𝑥2 Série de MacLaurin com 3 termos 𝑥0 0012 𝑟0012 1 3 0012 1 0036 1036 𝑠0012 1 3 0012 3 00122 1 0036 3 0000144 1 0036 0000432 1036432 𝑠0012 𝑟0012 1036432 1036 0000432 𝑓𝑥 1 3𝑥 3𝑥2 𝑥3 A reta tangente 𝑟𝑥 corresponde à aproximação linear A Série de MacLaurin com 3 termos 𝑠𝑥 inclui também o termo quadrático A diferença entre 𝑠𝑥 e 𝑟𝑥 é exatamente o termo quadrático da expansão 𝑠𝑥 𝑟𝑥 3𝑥2 Para 𝑥0 0012 3 00122 3 0000144 0000432 RESPOSTA 0000432 3 𝑓𝑥 𝑓1 𝑓1𝑥 1 𝑓1 2 𝑥 12 𝑓1 3 𝑥 13 𝑓𝑥 ln𝑥 1 𝑓1 ln2 𝑓𝑥 1 𝑥1 𝑓1 1 2 𝑓𝑥 1 𝑥12 𝑓1 1 4 𝑓𝑥 2 𝑥13 𝑓1 2 8 1 4 𝑓4𝑥 6 𝑥14 𝑓41 6 16 3 8 Para 𝑛 1 𝑓𝑛1 1𝑛1𝑛 1 2𝑛 𝑓𝑥 ln2 𝑓𝑛1 𝑛 𝑛1 𝑥 1𝑛 ln2 1𝑛1 𝑛 2𝑛 𝑛1 𝑥 1𝑛 ln𝑥 1 ln2 1 2 𝑥 1 1 8 𝑥 12 1 24 𝑥 13 1 64 𝑥 14 RESPOSTA ln2 1𝑛1 𝑛 2𝑛 𝑛1 𝑥 1𝑛 4 𝑓𝑥 𝑒𝑥2 𝑒𝑢 𝑢𝑛 𝑛 𝑛0 𝑢 𝑥2 𝑒𝑥2 𝑥2𝑛 𝑛 𝑛0 1𝑛𝑥2𝑛 𝑛 𝑛0 RESPOSTA 1𝑛 𝑛 𝑛0 𝑥2𝑛 5 𝑥𝑛 𝑛 1 𝑛1 teste da razão lim 𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛 lim 𝑛 𝑥𝑛1 𝑛 2 𝑛 1 𝑥𝑛 𝑥 lim 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 Portanto o raio de convergência é 𝑅 1 Para 𝑥 1 1 𝑛 1 𝑛1 1 2 1 3 1 4 É uma série harmônica a partir do segundo termo que diverge Para 𝑥 1 1𝑛 𝑛 1 𝑛1 1 2 1 3 1 4 Essa é uma série alternada cujos termos em valor absoluto decrescem para zero Pelo teste da série alternada a série converge condicionalmente Combinando os resultados A série converge para 1 𝑥 1 RESPOSTA Portanto o intervalo de convergência é 11