Pré Cálculo e Geometria Plana

1º se o gráfico de uma função afim fx passa pelos pontos P18 e Q34 qual o valor de f 0 f 1 2 a 17 2 b 6 c 11 2 d 0 2º O gráfico de uma função quadrática fx ax 2 bx c é uma parábola com vértice no ponto 2 9 e contém o ponto 0 5 Então quais os zeros desta função a X2 e x4 b X0 e x4 c X1 e x5 d X2 e x5 3º Escolha uma opção a R 04 b 14 c 14 U 4 d R 4º 5 Na figura abaixo a função fx x2 é interceptada pelo gráfico da função gx ax b Determine para quais valores x a função fx gx UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO Diretoria de Tecnologias na Educação DTED DISCIPLINA Geometria Plana PROF Otonilson Ribeiro AVALIAÇÃO DE REPOSIÇÃO 100 PONTOS 1 10 ponto Dentre as alternativas a seguir identifique a que melhor caracteriza um plano a Um fio de cabelo bem esticado b A marca deixada por uma gota dágua que caiu sobre a mesa c A superfície de uma mesa d A viga do telhado de uma casa 2 10 ponto Demonstre que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é também bissetriz 3 10 ponto Sejam 𝐴 𝐵 e 𝐶 ângulos internos de um triângulo e sabendo que 𝐵 mede o dobro de 𝐴 menos 25 graus e 𝐶 o triplo de 𝐴 mais 13 graus calcule os ângulos internos desse triângulo 4 10 ponto Classifique em verdadeiro V ou falso F a Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes então ele é um paralelogramo b Todo paralelogramo é retângulo c Todo quadrado é retângulo d Todo retângulo é um paralelogramo 5 10 ponto Um ângulo externo da base de um triângulo isósceles é igual a 5 4 do ângulo do vértice Calcule os ângulos desse triângulo 6 10 ponto O triângulo possui importantes pontos notáveis sendo eles o baricentro Sobre o baricentro podemos afirmar que ele é o ponto de encontro dasos A alturas B bissetrizes C mediatrizes D medianas 7 10 ponto Pode um setor circular coincidir com um segmento circular Cite o caso 8 10 ponto Na figura ao lado r s t Determine as medidas x e y sabendo que são proporcionais a 2 e a 3 que o segmento AC mede 30 cm e que as retas a e b são paralelas 9 10 ponto As bases de um trapézio medem 12 m e 18 m e os lados oblíquos às bases medem 5 m e 7 m Determine os lados do menor triângulo que obtemos ao prolongar os lados oblíquos às bases 10 10 ponto A respeito das definições de círculo e circunferência e dos elementos dessas duas figuras geométricas assinale a alternativa correta a As palavras círculo e circunferência são sinônimas pois representam o mesmo objeto b Um círculo e uma circunferência diferem apenas pelo comprimento c Um círculo e uma circunferência que possuem o mesmo raio também possuem o mesmo comprimento d O círculo é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo chamado de centro é igual a uma constante chamada de raio e A circunferência é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo chamado de centro é menor que uma constante chamada de raio Iranilber Período 20251 Exercícios de Précálculo Questão 1 Se o gráfico de uma função afim fx passa pelos ponto P1 8 e Q3 4 qual o valor de f0 f12 a 172 b 6 c 112 d 0 Solução Por ser uma função afim teremos fx ax b Primeiro encontraremos os coeficiente a b que a definem para então realizar a soma pedida na questão Por passar pelos pontos 1 8 e 3 4 teremos f1 a b 8 f3 3a b 4 f3 f1 4a 12 a 3 a b 8 b 8 3 5 fx 3x 5 f0 5 f12 72 f0 f12 172 Questão 2 O gráfico de uma função quadrática fx ax2 bx c é uma parábola com vértice no ponto 2 9 e contém o ponto 0 5 Quais os zeros desta função a x1 2 e x2 4 b x1 0 e x2 4 c x1 1 e x2 5 d x1 2 e x2 5 Iranilber Perıodo 20251 Solucao Primeiramente devemos encontrar com as informacoes dadas dos pontos sendo um deles o vertice os coeficientes a b c que definem a funcao para entao encontrar os seus zeros caso haja Por passar nos 2 pontos dados na questao podemos escrever f 0 5 c f 2 4a 2b c 9 4a 2b 4 O vertice de uma parabola tem ordenada em x b 2a logo como o vertice se encontra em x 2 temos 4a b Substituindo na expressao anterior temos b 2b 4 b 4 a b 4 1 f x x2 4x 5 Por fim se considerarmos x1 x2 as raızes de f ou seja f x1 f x2 0 podemos utilizar as relacoes de Girard para soma e multiplicacao das raızes x1 x2 b a 4 1 5 x1 x2 c a 5 1 5 x1 1 x2 5 Questao 3 O domınio da funcao f x x 1 x2 4x e a R 0 4 b 1 4 c 1 4 4 d R Solucao Aqui iremos verificar as restricoes de cada parte da funcao de forma individual mente e depois unir os seus domınios particulares no domınio da funcao como um todo Para o numerador sabemos que radicando sempre precisa ser maior ou igual a zero logo x 1 0 x 1 2 de 2 Iranilber Perıodo 20251 Para o denominador sabemos que sempre precisa ser diferente de zero logo x2 4x 0 x x 4 0 x 0 e x 4 Por fim vemos que a restricao x 1 ja implica x 0 restando apenas retirar o 4 do domınio 1 4 4 Questao 4 Usando uma tabela construa manualmente os graficos das funcoes in dicando os seus zeros se houver a f x 2 3x 3 b f x x2 7x 10 Solucao a Por ser uma reta necessitamos de apenas 2 pontos para determinala Dois pontos notaveis sao os pontos de interceptacao aos eixos ou seja 0 yint e xint 0 f 0 3 yint f x 0 2 3x 3 xint 9 2 Construımos entao a tabela e o grafico correspondentes abaixo x y 0 3 9 2 0 3 de 3 Iranilber Período 20251 b Por ser uma parábola necessitamos de 3 pontos para desenhála no mínimo Se considerarmos os 3 pontos de interceptação ou seja 0 yint xint1 0 e xint2 0 já teremos os 3 pontos entretanto é interessante saber também de seu vértice xver yver f0 10 yint fx 0 x2 7x 10 0 xint1 xint2 7 2 5 xint1 xint2 10 2 5 xint1 2 xint2 5 xver b2a 721 72 yver 722 7 72 10 94 Construímos então a tabela e o gráfico correspondentes x y 0 10 2 0 5 0 72 94 fx x2 7 x 10 Iranilber Período 20251 5 de 5 Iranilber Perıodo 20251 Questao 5 Na figura abaixo a funcao f x x2 e interceptada pelo grafico da funcao g x ax b Determine para quais valores de x teremos f x g x Solucao Como vemos pela figura as funcoes se interceptam em 2 pontos distintos Se chamarmos as suas ordenadas x1 x2 claramente vemos que a funcao f e menor que a g dentro do intervalo destes 2 pontos de interceptacao ou seja quando x x1 x2 Precisamos entao descobrir os valores dos coeficientes a b que definem a funcao g e resolver a equacao f x g x para encontrar x1 x2 Para encontrar a b facamos uso dos 2 pontos indicados no qual a funcao g passa g 0 b 3 g 2 2a b 7 a 7 3 2 2 g x 2x 3 6 de 6 Iranilber Perıodo 20251 Assim para encontrarmos os pontos de interceptacao temos f x g x x2 2x 3 x2 2x 3 0 x1 x2 2 1 3 x1 x2 3 1 3 x1 1 x2 3 f x g x x 1 3 7 de 7 Geometria Plana Otonilson Ribeiro Iranilber Perıodo 20251 Avaliacao de Reposicao 100 pontos Questao 1 10 ponto Dentre as alternativas a seguir identifique a que melhor caracteriza um plano a Um fio de cabelo bem esticado b A marca deixada por uma gota dagua que caiu sobre a mesa c A superfıcie de uma mesa d A viga do telhado de uma casa Questao 2 10 ponto Demonstre que a mediana relativa a base de um triˆangulo isosceles e tambem bissetriz Solucao Considere um triˆangulo ABC geral por definicao isosceles definido na figura abaixo Precisamos demonstrar que se um segmento AD relativo a base e tal que AD DC ou seja tratase da mediana por ter ligado o vertice oposto ao ponto medio do segmento entao teremos os ˆangulos α1 α2 α 2 significa que ela dividiu o ˆangulo daquele vertice ao meio ou seja tambem e a bissetriz Considere os dois triˆangulos formados pela divisao a partir da mediana ABD e BDC Pela definicao de triˆangulo isosceles pela definicao de mediana e por compartilharem do mesmo lado teremos respectivamente AB BC AD DC BD BD 1 de 1 Geometria Plana Otonilson Ribeiro Iranilber Período 20251 o que significa que todos os lados dos triângulos são congruentes logo os seus ângulos internos relativos aos lados congruentes serão congruentes também o que implica alpha1 alpha2 alpha1 alpha2 alpha Rightarrow Rightarrow left alpha1 alpha2 dfracalpha2 right Portanto vemos que o segmento inicialmente considerado mediana dividiu o ângulo do seu vértice correspondente ao meio o que significa que ela também é bissetriz Questão 3 10 ponto Sejam hatA hatB hatC os ângulos internos de um triângulo Sabendo que hatB mede o dobro de hatA menos 25º e hatC o triplo de hatA mais 13º calcule os ângulos internos desse triângulo Solução Por se tratar de um triângulo sabemos que a soma dos ângulos internos deverá ser 180º Adicionando esta condição às outras duas dadas pela questão somos capazes de encontrar o valor dos ângulos hatA hatB hatC 180circ hatB 2hatA 25circ hatC 3hatA 13circ logo hatA left2hatA 25circ right left3hatA 13circ right 180circ Rightarrow Rightarrow 6hatA 180circ 13circ 25circ 192circ Rightarrow Rightarrow lefthatA 32circ right hatB 2 cdot 32circ 25circ Rightarrow lefthatB 39circ right hatC 3 cdot 32circ 13circ Rightarrow lefthatC 109circ right Questão 4 10 ponto Classifique em verdadeiro V ou falso F a Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes então ele é um paralelogramo F b Todo paralelogramo é retângulo F c Todo quadrado é retângulo V d Todo retângulo é um paralelogramo V Questão 5 10 ponto Um ângulo externo à base de um triângulo isósceles é igual a frac54 do ângulo do vértice Calcule os ângulos desse triângulo 2 de 2 Geometria Plana Otonilson Ribeiro Iranilber Perıodo 20251 Solucao A figura abaixo esquematiza o triˆangulo isosceles e os ˆangulos que devemos cal cular Por ter 2 de seus lados congruentes tambem tera seus 2 ˆangulos adjacentes a estes lados congruentes α que sao os ˆangulos da base e o ˆangulo do vertice β oposto a base medindo 5 4 de um destes ˆangulos externos a base ou seja o suplementar do ˆangulo interno 180 α logo impondo estas condicoes juntamente a soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo temos 2α β 180 180 α 5 4β α 5 4β 180 Subtraindo a primeira equacao de 2 vezes a segunda para eliminar o α temos 3 2β 180 β 120 α 180 β 2 α 30 Questao 6 10 ponto O triˆangulo possui importantes pontos notaveis sendo um deles o baricentro Sobre o baricentro podemos afirmar que ele e o ponto de encontro dasos 3 de 3 Geometria Plana Otonilson Ribeiro Iranilber Perıodo 20251 a Alturas b Bissetrizes c Mediatrizes d Medianas Questao 7 10 ponto Pode um setor circular coincidir com um segmento circu lar Cite o caso Solucao Um setor circular e definido pelo ˆangulo de abertura dos dois raios que o de finem enquanto o segmento circular e definido por estes dois raios definidos pelas extremidades da corda referente ao segmento que sera maxima quando passar pelo centro representando o diˆametro Dessa forma se um setor circular e tal que o seu ˆangulo de abertura respeita 0 α 180 havera sempre uma corda que consegue delimitar a mesma abertura e consequentemente tera o seu segmento coincidindo com este setor circular A figura abaixo exemplifica o discutido mostrando a esquerda um setor circular delimitado por um ˆangulo de abertura e a direita o arco representando o segmento circular de mesma abertura entretanto delimitado pela corda correspondente E imediato perceber que enquanto o setor circular nao se restringe a um ˆangulo de abertura menor que 180 apos a corda que delimita o segmento circular passar pelo centro ela atingira seu comprimento maximo igual ao diˆametro e voltara a delimitar segmentos menores Dessa forma enquanto o setor estiver com ˆangulo central respeitando 0 α 180 teremos um segmento circular que pode coincidir Questao 8 10 ponto Na figura abaixo rst Determine as medidas x e y sabendo que sao proporcionais a 2 e a 3 que o segmento AC mede 30 cm e que as retas a e b sao paralelas 4 de 4 Geometria Plana Otonilson Ribeiro Iranilber Perıodo 20251 Solucao Pelas condicoes apresentadas na questao paralelismo de a e b e paralelismo das retas transversais a estes dois r s e t podemos tirar que o segmento AC e congru ente ao AC e representa a soma xy Unindo essa a condicao de proporcionalidade temos x y 30 2x 2y 60 x y 2 3 3x 2y logo 2x 3x 60 x 12 cm y 30 x y 18 cm Questao 9 10 ponto As bases de um trapezio medem 12 m e 18 m e os lados oblıquos as bases medem 5 m e 7 m Determine os lados do menor triˆangulo que obtemos ao prolongar os lados oblıquos as bases Solucao Na figura abaixo esta desenhado o trapezio AACC cujos prolongamentos dos lados oblıquos as bases formam 2 triˆangulos ABC o maior e ABC o menor Pela forma que estao construıdos vemos que se tratam de triˆangulos semelhantes por compartilharem dos mesmos ˆangulos internos logo as medidas de seus lados 5 de 5 Geometria Plana Otonilson Ribeiro Iranilber Perıodo 20251 equivalentes serao proporcionais ou seja AB AB BC BC 12 18 x x 5 y y 7 12 18 18x 12x 60 x 10 m AB 18y 12y 84 y 14 m BC Questao 10 10 ponto A respeito das definicoes de cırculo e circunferˆencia e dos elementos dessas duas figuras geometricas assinale a alternativa correta a As palavras cırculo e circunferˆencia sao sinˆonimas pois representam o mesmo objeto b Um cırculo e uma circunferˆencia diferem apenas pelo comprimento c Um cırculo e uma circunferˆencia que possuem o mesmo raio tambem possuem o mesmo comprimento d O cırculo e uma figura geometrica plana formada por todos os pontos cuja distˆancia ate um ponto fixo chamado de centro e igual a uma constante chamada de raio e A circunferˆencia e uma figura geometrica plana formada por todos os pon tos cuja distˆancia ate um ponto fixo chamado de centro e menor que uma constante chamada de raio 6 de 6