Calculo Diferencial e Integral 2 2 Atividade

Universidade Federal do Maranhão Cálculo Diferencial e Integral II Segunda Avaliação 15 9 2025 Disciplina Cálculo Integral Professor José Antonio Alunoa Matrícula 1 10 ponto Mostre que o volume obtido pela rotação de x2 y p2 q2 em que p q 0 em torno do eixo x é igual a 2π2pq2 2 10 ponto Determine o comprimento da catenária y acosh x a de V 0 a até o ponto P b acosh b a 3 10 ponto Considere um cilindro circular cuja raio da circunferência da base é 2 centímetros Considere ainda que um plano que passa pelo diâmetro da base forma o ângulo 45 com o plano que contém a base Determine o volume da cunha formada 4 10 ponto A sequência cujo termo geral é an 1n é convergente Justifique sua resposta 5 10 ponto Verifique se a série n1 2n 1 4n 3 é convergente Caso não seja convergente justifique sua resposta Questão 1 Usando o método das lâminas anéis para cada x com x q os pontos y do disco vão de y p q² x² até y p q² x² Ao girar em torno do eixo x obtemos um anel de área Ax π p q² x²² p q² x²² 4πpq² x² Logo o volume é V from q to q Axdx 4πp from q to q q² x² dx Sabemos que from q to q q² x² dx πq²2 área de meiacircunferência portanto V 4πp πq²2 2π² pq² Questão 2 Temos y a coshxa y sinhxa O comprimento de x 0 a x b é L from 0 to b 1 y² dx from 0 to b 1 sinh²xa dx from 0 to b coshxa dx Integrando L a sinhba Questão 3 Colocamos o plano da base em z 0 e o cilindro centrado no eixo z com raio R 2 Escolhemos o diâmetro sobre o eixo x então um plano que passe por esse diâmetro e faça 45 com a base tem equação z y pois tan 45 1 e corta só a metade do disco com y 0 acima da base A cunha é portanto o conjunto xyz x² y² R² 0 y R² x² 0 z y O volume pode ser calculado por V over D from 0 to y dz dA over D y dA onde D é o semidisco y 0 x² y² R² Em coordenadas polares y ρ sin θ dA ρ dρ dθ V from 0 to π from 0 to R ρ sin θ ρ dρ dθ from 0 to π sin θ dθ from 0 to R ρ² dρ 2 R³3 23 R³ Com R 2 V 23 2³ 163 cm³ Questão 4 Seja an 1n As subsequências a2k e a2k1 são a2k 1 e a2k1 1 Logo limk a2k 1 e limk a2k1 1 Como duas subsequências têm limites diferentes a sequência an não tem limite não converge 5 A série Σ from n1 to 2n 14n 3 não converge De fato limn 2n 14n 3 24 12 0 Pelo teste do termo geral se uma série Σ an converge então an 0 Aqui os termos não tendem a zero portanto a série diverge Como os termos são positivos e aproximam 12 as somas parciais crescem indefinidamente This image contains no additional text beyond what was extracted from image 1