P3 - Séries e Teste da Integral - 2024-1

DIRETORIA DE TECNOLGIAS DA EDUCAÇÃO - DTED COORDENAÇÃO DO CURSO DE LICENCIATURA EM QUÍMICA A DISTÂNCIA 1. (2,5 pts) Calcule a soma da série ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 cuja soma parcial é dada por 𝑆𝑛 = 𝑛2−1 4𝑛2+1. 2. (2,5 pts) Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ 1 √𝑛 5 ∞ 𝑛=1 3. (2,5 pts) Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a soma. ∑ 1 + 2𝑛 3𝑛 ∞ 𝑛=1 4. (2,5 pts) Encontre a série de Maclaurin da função 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥. Questao 1 A soma da série sera o limite da soma parcial com n — oo. Logo: n= lim —— J a noo 4n?2 + 1 v’(i1-+ = jim Ue) ) Oe (Cr ) 1-3) 1 = lim (1 ~ =) mee me) 4 Sue! oe n 4 n=1 Questao 2 Usando o teste da integral temos de calcular on 1 Wve com efeito: coy oo 4/5 oo I= | —dz = | a Pdr = | 1 Vax 1 4/5 |, Ly 4/5 5 = LIM 7g -+00 4/5 _ 4 = CO Como I diverge, segue que a série dada é divergente conforme segue do teste da integral. Questao 3 3) Veja que 1+ 22 Q/f1\"” G/2\" ye =) +X) - n=1 n=1 n=1 1 Note que a série é, na verdade, uma soma de duas séries que sao pro- gressdes geométricas com raz6es Tr; = 1/3 e rg = 2/3 cujo ambas sao menores que 1. Logo, segue que cada somatorio é uma P.G de razao r < 1 e, portanto, ambas sao séries convergente e como a soma de série convergente é conver- gente segue que a série inicialmente dada é convergente cuja soma pedida é avaliada pela soma infinita da P. G que nos da o seguinte desenvolvimento: co oo n co n 1+ 2” 1 2 ye dG) +h G) n=1 n=1 n=1 co n co n ;) 2 -(5) XG) 2 n=0 (3 n=0 3 1 1 =—n tap 7 2 I 2 1—(3) 1-(3) 1 1 -~sitz-? 3 3 3 3 5 =-4+3-2=-4+1=-. 2 + 2 + 2 s +2" 5 3" 2 Questao 4 A expansao em série de MacLaurin é dada, de forma geral por: co f™(0) _ n, —_— Flv) = So ant”; ay = “I n=0 Entao, tendo isso em vista, determinaremos uma expansao para a fungao cosseno. Com efeito, prosseguiremos entao avaliando os casos de n = 0 até n = 4 que nos dao o seguinte desenvolvimento: 2 n=0=> f(x =0) = cos(x)|,-9 = 1.40 =1 n=1=> f%(e =0) =—sen(x)|,_9 =0..a1 = 0 1 n=2=> f(x =0) = — cos(z)|,_) =—.. a2 = “a n=3=> f(¢ =0) = sin(zx)|,_, =0.. a3 =0 1 n=4=> f%(2=0)= cos(a)|,-9 =1..a4 = a Agora, perceba que em virtude da ciclicidade da derivada da cosseno segue que o padrao acima se repetira para todos os n maiores que 4. Portanto, apenas avaliar esse bloco ja nos é suficiente para entender que o padrao dos termos a,, da expansao em série pedida é 0 seguinte: — (" =0,1,2 An = (n)l paran =0,1,2,... Consequentemente, veja que isso nos fornece que a expansao em série para oO cosseno é a seguinte: °° oe Np»2n Qn (—1) zt cos(x) = Anu” = —_——_.. (t) =D ony n=0 n=0 Esse resultado é simplesmente fundamental para o calculo da série de Maclaurin da nossa fungao dada. Com efeito, a expansao para ela é simples- mente obtida substituindo a expansao do cosseno em sua expressao que é a seguinte: oe (—1)"2?" oo (—1)"22rt! x)= x-cos(v) = 2x ——_ = ———_— Ie) (2) d (2n)! d (2n)! e logo temos o desejado. 3 Questao 1 A soma da série sera o limite da soma parcial com n — oo. Logo: n= lim —— J a noo 4n?2 + 1 v’(i1-+ = jim Ue) ) Oe (Cr ) 1-3) 1 = lim (1 ~ =) mee me) 4 Sue! oe n 4 n=1 Questao 2 Usando o teste da integral temos de calcular on 1 Wve com efeito: coy oo 4/5 oo I= | —dz = | a Pdr = | 1 Vax 1 4/5 |, Ly 4/5 5 = LIM 7g -+00 4/5 _ 4 = CO Como I diverge, segue que a série dada é divergente conforme segue do teste da integral. Questao 3 3) Veja que 1+ 22 Q/f1\"” G/2\" ye =) +X) - n=1 n=1 n=1 1 Note que a série é, na verdade, uma soma de duas séries que sao pro- gressdes geométricas com raz6es Tr; = 1/3 e rg = 2/3 cujo ambas sao menores que 1. Logo, segue que cada somatorio é uma P.G de razao r < 1 e, portanto, ambas sao séries convergente e como a soma de série convergente é conver- gente segue que a série inicialmente dada é convergente cuja soma pedida é avaliada pela soma infinita da P. G que nos da o seguinte desenvolvimento: co oo n co n 1+ 2” 1 2 ye dG) +h G) n=1 n=1 n=1 co n co n ;) 2 -(5) XG) 2 n=0 (3 n=0 3 1 1 =—n tap 7 2 I 2 1—(3) 1-(3) 1 1 -~sitz-? 3 3 3 3 5 =-4+3-2=-4+1=-. 2 + 2 + 2 s +2" 5 3" 2 Questao 4 A expansao em série de MacLaurin é dada, de forma geral por: co f™(0) _ n, —_— Flv) = So ant”; ay = “I n=0 Entao, tendo isso em vista, determinaremos uma expansao para a fungao cosseno. Com efeito, prosseguiremos entao avaliando os casos de n = 0 até n = 4 que nos dao o seguinte desenvolvimento: 2 n=0=> f(x =0) = cos(x)|,-9 = 1.40 =1 n=1=> f%(e =0) =—sen(x)|,_9 =0..a1 = 0 1 n=2=> f(x =0) = — cos(z)|,_) =—.. a2 = “a n=3=> f(¢ =0) = sin(zx)|,_, =0.. a3 =0 1 n=4=> f%(2=0)= cos(a)|,-9 =1..a4 = a Agora, perceba que em virtude da ciclicidade da derivada da cosseno segue que o padrao acima se repetira para todos os n maiores que 4. Portanto, apenas avaliar esse bloco ja nos é suficiente para entender que o padrao dos termos a,, da expansao em série pedida é 0 seguinte: — (" =0,1,2 An = (n)l paran =0,1,2,... Consequentemente, veja que isso nos fornece que a expansao em série para oO cosseno é a seguinte: °° oe Np»2n Qn (—1) zt cos(x) = Anu” = —_——_.. (t) =D ony n=0 n=0 Esse resultado é simplesmente fundamental para o calculo da série de Maclaurin da nossa fungao dada. Com efeito, a expansao para ela é simples- mente obtida substituindo a expansao do cosseno em sua expressao que é a seguinte: oe (—1)"2?" oo (—1)"22rt! x)= x-cos(v) = 2x ——_ = ———_— Ie) (2) d (2n)! d (2n)! e logo temos o desejado. 3