Prova Sistemas de Controle I - Análise de Resposta ao Degrau e LGR

1 Sabese que Gs 10 s2s05 Ws 5 s K 99 Rs 100 s Onde Es Rs Ys Es 100 s Ys Temos que Ys GsUs Ys GsEsk Ws Ys Gs Rs Ys k Ws Ys Gs Rsk Ysk Ws Ys Gs Rsk Gs Ys k Gs Ws Ys1 Gsk Gs Rsk ws Ys Gs Rsk ws 1 Gsk Ys 10 s2s05 1005 99 5s 1 099s2s05 Ys 10 s2s05 990 5 5 s s2s05 99 s2s05 Ys 10 985 5 s2s05 99 Ys 9850 s2 255 1 99 9850 s2 255 100 Ys 9850 s2 255 100 Para obter o valor em regime permanente do erro aplicamos o Teorema do valor final e Lim s0 sEs Lim s0 sRs Lim s0 sYs e Lim s0 100 s Lim s0 9850 s2 255s 100 e 100 9850 100 e 15 O sinal de saída yt será Ys 9850 ss2 255 100 Δ b2 4ac 252 41100 39375 s12 25 j39375 21 s1 125 j992 s2 125 j992 s3 0 Ys 9850 s 125 j992s 125 j992s s2 as b s2 2αs α2 β2 s α2 β2 s2 255 100 s2 21255 1252 9922 s2 255 100 s 1252 9922 Temos que Ys 9850 ss2 255 100 98524625 s2 255 100 197 2s L1 yt 985 e125t cos992t 123125 e125t x 01 sen992t 197 2 1 3 25 pts Escreva a função de transferência Ys Rs para o sistema abaixo e a Esboce a forma do gráfico da resposta ao degrau de amplitude 10 destacando em seu gráfico constante de tempo t e o valor de regime de yt b Esboce a forma do gráfico do erro et Sugestão Esboce o gráfico do degrau e faça a soma gráfica 4 25 pts Esboce o lugar geométrico das raízes completo da equação abaixo em função do parâmetro Sugestão Aplique o método de esboço do LGR s2 bs b 0 Sistemas de Controle I 1ª Prova 13102010 1 95 pts Seja o controle de velocidade de um motor CC representado pelo sistema abaixo Determine o sinal de saída yt e do erro et rtyt em regime estacionário para um sinal de referência rt sendo um degrau de amplitude 100 e a carga wt um degrau negativo de amplitude 5 Sugestão aplique o princípio da linearidade 2 25 pts Para o sistema abaixo Calcule os pólos do sistema em função do ganho K e determine o valor de K que faz o sistema apresentar uma resposta ao degrau criticamente amortecida b Determine o valor de K que faz o sistema apresentar uma resposta ao degrau com máximo sobresinal overshoot de aproximadamente 17 ξ 05 3 Continuação τ é a CTE de tempo quando atinge 632 do valor de regime τ 1p 12 05s yt 5 316 05 τ t y valor de regime CTE de tempo b Temos que et xt yt et 10ut 51 e²ᵗut et 5ut 5e²ᵗ ut Graficamente 4 Note que s² 6s 6 0 s² s 1b 0 as s² polos as 2s bs 5 1 zeros bs 1 asbs asbs 0 2ss 1 s²1 0 2s² 2s s² 0 s² 2s 0 ss 2 0 s₁ 0 s₂ 2 α Σ polos Σ zeros n m 0 2 1 2 1 1 1 α 1 φ₀ 180 36010 n m 180 Ims 2 1 0 Res 2 Temos que a eq característica de Gs é 1 KGs 0 s² 2s 3 k 0 a Os polos são S₁₂ 2 2² 413 k 21 S₁₂ 2 4 12 4k 2 1 4 k 1 jk 4 Pona o sistema apresentam uma resposta ao degrau criticamente amortecida ξ² 1 onde σ ξωn ρ σ jωd ξωn jωn 1 ξ² ρ 1 jk 4 ωd k 4 ωn 1 ξ² k 4 S₁₂ 1 b Para o sistema apresentam uma resposta com overshoot de 17 ξ 05 logo ξ 05 Subamortecido onde cos φ ξ φ cos¹ ξ φ cos¹ 05 φ 60 Plano S tg 60 k 4 1 3 k 4 k 7 3 Note que yt Ys rt Rs f t Gs Ys GsRs Gs YsRs A função de transferência é dada por YsRs 1s1 1 1s1 1s11 s1 1s2 Gs 1s2 a Para esboçar o gráfico precisamos de τ e o valor de regime de yt Primeiramente a resposta ao degrau xt 10ut Ys GsXs Ys 1s2 105 10 ss2 Ys 10 ss2 yt 𝓁¹ Ys Expandindo em frações parciais Ys K₁ s K₂ s2 onde K₁ Yss s0 5 K₂ Yss2 s2 5 Ys 55 5s2 yt 𝓁¹ Ys yt 5 5e²ᵗ ut y 5