Sistemas de Controle

Universidade Federal do Pará Faculdade de Engenharia Elétrica e Biomédica Obs Todos os passos e cálculos para os projetos devem ser apresentados além das simulações e resultados finais e gráficos 1 10 pt Projete um controlador PI ideal para forçar a zero o erro de estado estacionário ao degrau do sistema com retroação unitária onde a função de transferência de ramo direto é dada por 10 2 1 s s s K G s O sistema opera com uma relação de amortecimento de 0174 Simule a resposta do sistema nãocompensado e do sistema compensado 2 10 pt Compensar compensador por atraso de fase o sistema da figura abaixo para melhorar o erro de estado estacionário por meio de um fator de 10 se o sistema estiver funcionando com uma relação de amortecimento de 0174 3 25 pts Dado o sistema com retroação unitária com função de transferência de ramo direto dada por 6 4 2 s s s K G s a Projete um compensador por atraso de fase que resulta em Kp igual a 20 sem alterar de forma apreciável a localização do pólo dominante que produz uma ultrapassagem percentual de 10 no sistema nãocompensado 4 25 pts O sistema com retroação unitária com função de transferência de ramo direto igual a 6 3 2 1 s s s s K G s está operando com uma relação de amortecimento do pólo dominante de 0707 Projete um controlador PD ideal de modo que o tempo de estabilização seja reduzido por um fator de 2 Compare o desempenho transitório e de estado estacionário dos sistemas nãocompensado e do compensado 5 30 pts Para o sistema com retroação unitária com função de transferência de ramo direto igual a 4 1 s s K G s Projete um controlador PID ideal que irá produzir uma resposta ao degrau unitário com um instante de pico de 1047 segundos com relação de amortecimento de 08 e com erro de estado estacionário nulo Lista de Controle Questão 1 Projete um controlador PI ideal para forçar a zero o erro de estado estacionário ao degrau do sistema com retroação unitária onde a função de transferência de ramo direto é dada por O sistema opera com uma relação de amortecimento de 0174 Simule a resposta do sistema nãocompensado e do sistema compensado Solução Calculando o LGR de e determinando K para que temse FT do processo sem o ganho G zpk 1210 1 K 1 G 1 s1 s2 s10 Continuoustime zeropolegain model Model Properties figure rlocusG LGR xlim122 ylim88 z 0174 coef amortecimento ww 0018 freq amortecimento hold on plotwwz wwsqrt1z2 Color 05111 1 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 12 10 8 6 4 2 0 2 8 6 4 2 0 2 4 6 8 A linha traçada define a região do plano s no qual os polos completos têm e o LGR de intercepta esta linha quando Um controlador PI ideal é da forma ou seja ele adiciona um zero em e um polo na origem O sistema compensado se torna A estratégia será escolher para cancelar o polo mais lento do sistema e ajustar o ganho K para que o sistema obter a relação de amortecimento desejada PI ideal Ki 1 C zpkKi 0 1 C s1 s Continuoustime zeropolegain model Model Properties 2 figure rlocusCG xlim122 ylim1010 sgrid Observe que os polos dominantes da malha fechada apresenta a relação de amortecimento desejada para algum K A malha fechada é dada por se o par de polos complexos conjugados apresentam 0174 de amortecimento então o denominador da malha fechada é da forma Igualando os coeficientes e resolvendo syms a wn K apenas valores positivos assumea positive assumewnpositive assumeK positive conjunto de equações eqs a 0348wn 12 0348awn wn2 20 awn2 K Sol vpasolveeqs awnK 3 Sol struct with fields a 10972203116038084946474683201133 wn 29534393217296409584060827553636 K 95708375332721731069807784137571 K doubleSolK K 957084 Portanto o controlador PI ideal projetado é Comparando a resposta do sistema compensado com o não compensado segue Fn feedback1646G 1 não compensado Fc minreal feedbackKCG 1 compensado Fc 95708 s1097 s2 1028s 8723 Continuoustime zeropolegain model Model Properties simula stepFn Fc grid on legendnão compensadocompensado Location northeast Step Response Time seconds Amplitude 0 2 4 6 8 10 12 0 02 04 06 08 1 12 14 16 não compensado compensado 4 Como observado na resposta simulada do sistema compensado o polo integrador garantiu erro de regime permanente nulo para a entrada degrau enquanto que o sistema não compensado apresenta um erro de regime permanente de 0108 Adicionalmente com o sobressinal esperado é Mp 100exp0174pisqrt101742 Mp 574012 Bem próximo do comportamento obtido no sistema compensado mostrando o sucesso do compensador PI ideal projetado em atender aos requisitos estipulados Questão 2 Compensar compensador por atraso de fase o sistema da figura abaixo para melhorar o erro de estado estacionário por meio de um fator de 10 se o sistema estiver funcionando com uma relação de amortecimento de 0174 Solução Como calculado anteriormente o erro de regime permanente para o sistema não compensado é Desejandose reduzir este erro em 10 vezes segue que a constante de erro estático de posição do sistema compensado deve ser O compensador deve contribuir com um ganho de O compensador de atraso não pode alterar significativamene no LGR do ramo direto para que ainda seja obtido o amortecimento de Portanto escolhese o polo pŕoximo da origem como então O compensador de atraso projetado é 5 Comparando o resultado do sistema compensado com o não compensado por meio da resposta ao degrau segue K 1646 pc 001 zc 913823pc C zpkzcpc1 Fn feedbackKG 1 não compensado Fc feedbackKCG 1 compensado simula resp degrau stepFn Fc 14 grid on legendnão compensadocompensado Location northeast Step Response Time seconds Amplitude 0 2 4 6 8 10 12 14 0 02 04 06 08 1 12 14 16 não compensado compensado Percebese que houve um aumento sutil no sobressinal mas com a redução do erro de regime permanente por um fator de 10 Sendo assim foi mantido os polos de malha fechada dominantes com de aproximadamente 0174 juntamente com uma redução de dez vezes do erro de regime permanente Questão 3 Dado o sistema com retroação unitária com função de transferência de ramo direto dada por Projete um compensador por atraso de fase que resulta em igual a 20 sem alterar de forma apreciável a localização do pólo dominante que produz uma ultrapassagem percentual de 10 no sistema não compensado Solução 6 Para um overshoot de 10 é necessário que o coeficiente de amortecimento seja z log01sqrtpi2 log012 z 05912 Traçando o LGR de juntamente com a linha que define segue G zpk2461 K 1 G 1 s2 s4 s6 Continuoustime zeropolegain model Model Properties rlocusG xlim82 ylim88 ww 0 10 hold on plotzww wwsqrt1z2 Color05111 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 8 6 4 2 0 2 4 6 8 Achando o ponto em que segue syms a wn K apenas valores positivos 7 assumea positive assumewnpositive assumeK positive conjunto de equações eqs a 2zwn 12 2zawn wn2 44 awn2 K 48 Sol vpasolveeqs awnK Sol struct with fields a 79429360425124550127152147855538 wn 34314720551527095879927263605589 K 45528075596384326139502044771773 K doubleSolK K 455281 Logo leva os polos dominantes do sistema não compensado para 10 de overshoot A constante de erro estático de posição do sistema não compensado é Então o compensador de atraso de fase deve adicionar um ganho de Para garantir que a performance do sobressinal não seja alterada o zero e o polo devem ser alocados bem próximos logo e então Então o compensador em atraso projetado é Comparando o resultado do sistema compensado com o não compensado por meio da resposta ao degrau segue Kc 2048K Kc 210859 pc 0001 zc Kcpc C zpkzcpc1 Fn feedbackKG 1 não compensado Fc feedbackKCG 1 compensado simula resp degrau figure stepFn Fc 14 grid on legendnão compensadocompensado Location southeast 8 Step Response Time seconds Amplitude 0 2 4 6 8 10 12 14 0 01 02 03 04 05 06 não compensado compensado O comportamento do sistema compensado não se altera significativamente durante o transitório mas após 2 s a saída cresce lentamente reduzindo o erro estacionário para como requerido no projeto Questão 4 O sistema com retroação unitária com função de transferência de ramo direto igual a está operando com uma relação de amortecimento do pólo dominante de 0707 Projete um controlador PD ideal de modo que o tempo de estabilização seja reduzido por um fator de 2 Compare o desempenho transitório e de estado estacionário dos sistemas nãocompensado e do compensado Solução Realizando o LGR de segue z 0707 G zpk12361 K1 G 1 s1 s2 s3 s6 Continuoustime zeropolegain model Model Properties 9 figure rlocusG xlim82 ylim55 ww 0 10 hold on plotzww wwsqrt1z2 Color05111 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Clicando na interseção entre o LGR e a reta definida por obtémse que o ganho que leva os polos dominantes para esta relação de amortecimento é Os polos de malha fechada com este ganho se tornam Com a parte real dos polos dominantes tendo parte real próxima de o tempo de acomodação da malha fechada será de aproximadamente Considere agora um controlador PD ideal da forma O intuito do controlador é reduzir o tempo de acomodação pela metade então escolhese de modo a cancelar o polo mais lento de então a FT do ramo direto é zc 1 C zpkzc1 figure rlocusCG xlim82 ylim55 ww 0 10 hold on 10 plotzww wwsqrt1z2 Color05111 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Os polos dominantes do sistema interceptam a reta definida por com parte real próxima de portanto o tempo de acomodação deve ser reduzido pela metade aproximadamente Clicando no LGR no ponto em que os polos interceptam a linha obtémse Logo fazendo a comparação da performance do sistema compensado e do não compensado segue Malha fechada Fn feedback16625G 1 não compensado Fc feedback20CG 1 compensado simula resp degrau figure stepFn Fc 10 grid on legendnão compensadocompensado Location southeast 11 Step Response Time seconds Amplitude 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 005 01 015 02 025 03 035 04 não compensado compensado As performances obtidas foram Parâmetro Não compensado Compensado 44526 s 22509 OS 381 384 16017 08254 06841 06429 Observe que o tempo de acomodação foi reduzido pela metade sem alterar o sobressinal definido exclusivamente pelo amortecimento Portanto o controlador projetado obteve sucesso em atender aos requisitos de projeto Pn stepinfoFn Pn struct with fields RiseTime 16017 TransientTime 44526 SettlingTime 44526 SettlingMin 02853 SettlingMax 03280 Overshoot 38145 Undershoot 0 Peak 03280 PeakTime 35230 Pc stepinfoFc Pc struct with fields RiseTime 08254 TransientTime 22509 12 SettlingTime 22509 SettlingMin 03235 SettlingMax 03709 Overshoot 38393 Undershoot 0 Peak 03709 PeakTime 17631 Questão 5 Para o sistema com retroação unitária com função de transferência de ramo direto igual a Projete um controlador PID ideal que irá produzir uma resposta ao degrau unitário com um instante de pico de 1047 segundos com relação de amortecimento de 08 e com erro de estado estacionário nulo Solução Considere o controlador PID ideal da forma que acrescentará ao ramo direto um polo integrador e dois zeros A adição do polo integrador do PID ideal garantirá errro de estado estacionário nulo para entradas degrau Desejandose e segue então Então a localização dos polos dominantes desejados são G zpk141 critérios de desempenho z 08 tp 1047 wn 5 pd zwn 1jwnsqrt1z2 pd 40000 30000i Adotando o ramo direto é dado por o zero é escolhido de modo a fazer com que o LGR do ramo direto passe pelos polos desjados em Pela condição de fase segue que 13 Logo logo resolvendo para e logo Deste modo zi 1 th1 anglepd180pi th1 1431301 th2 anglepd4180pi th2 90 zd imagpdtandth1th2180 realpd zd 62500 C zpkzizd0 1 Verificando se os polos dominantes passam pela localização desejada figure rlocusCG hold on scatterrealpd imagpd 50 redx 14 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 O ganho K é determinado pela condição de módulo K 1abs evalfrCG pd K 4 Simulando a malha fechada figure F feedbackKCG 1 stepF grid on 15 Step Response Time seconds Amplitude 0 02 04 06 08 1 12 14 16 0 02 04 06 08 1 12 A simulação mostra que apesar de se ter conseguido levar os polos dominates para a localização desejada a performance requerida para o tempo de pico não foi atendida A explicação é que o zero adicionado está muito próximo dos polos dominantes alterando significativamente na dinâmica da malha fechada de modo a acerelála Tentativa 2 Ao invés de cancelar o polo em podese adicionar um zero próximo da origem em ordem de manter os polos em e com a dinâmica dominante Escolhendo segue que Definindo a fase de quando é G1zpk0010141 TH anglepd poleG1180pi TH 31 1431301 1350000 900000 PH anglepd zeroG1180pi PH 16 1430612 alf 180sumTHsumPH alf 450689 Então e logo zd2 3tandalf 4 zd2 69928 O controlador projetado é C2 zpk001 zd2 0 1 Verificando se os polos dominantes passam pela localização desejada figure rlocusC2G hold on scatterrealpd imagpd 50 redx Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 25 20 15 10 5 0 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 O ganho que faz com que a malha fechada tenha os polos desejados é K 1absevalfrC2G pd K 30084 17 Simulando a malha fechada figure F feedbackKCG 1 stepF grid on Step Response Time seconds Amplitude 0 05 1 15 2 25 0 02 04 06 08 1 12 Novamente observase o efeito do zero acelerando a resposta contudo neste caso o resultado foi suficientemente próximo ao requerido de modo que o controlador é considerado como bemsucedido em atender aos requistos de projeto 18