Prova Sistemas de Controle I - Análise de Resposta e Estabilidade

Sistemas de Controle I 1º Prova 2ª Chamada 08112013 ① 3pts Seja o controle de velocidade de um motor CC representado pelo sistema abaixo onde K 99 e Gs 10 s02s5 Determine o sinal de saída yt e do erro et rt yt em regime estacionário para um sinal de referência rt sendo um degrau de amplitude 100 e a carga wt um degrau negativo de amplitude 5 Sugestão Aplique o principio da linearidade ② 25 pts Para o sistema abaixo onde Gs 1 s² 8s 15 a Calcule os pólos do sistema em função do ganho K e determine o valor ou faixa de valores de K que faz o sistema apresentar uma resposta ao degrau criticamente amortecida b Que tipo de resposta ao degrau o sistema apresenta para um valor de K positivo superior ao que você determinou no item a ③ 25 pts Para o sistema abaixo Esboce o LGR completo onde Gs 1 s s² 65 181 ④ 20 pts O sistema de controle da figura 2 quando sujeito a uma entrada rt do tipo degrau unitário apresenta como resposta yt uma curva exponencial conforme ilustrado na figura 3 Determine os valores de K e T L Ts 1 1 Ts 1 1 Ts Ys K 1 Ts L S K1 S K2 1 Ts SK1T K2 s1 Ts K1 K K1T K2 0 K2 KT Yt K Ket T Yt K1 et T Como pode ser observado no gráfico a função tende com o passar do tempo para 12 K 12 Analisando no gráfico 1 121 e08958 T 0831 1 e08958 T e08958 T 0167 ln e08958 T ln 0167 08958 T 17897 T 05 s ① Sabese que et rt yt rt 100 ut j wt 5 ut K 99 e Gs 10 50255 Aplicando o princípio da linearidade Y1s Hs Rs Y1s K Gs Rs 1 K Gs Hs K Gs 1 K Gs Y2s Hs Ws Y2s Gs Ws 1 K Gs Hs Gs 1 K Gs Ys Y1s Y2s Ys K Gs Rs 1 K Gs Gs Ws 1 K Gs Ys Gs K Rs Ws 1 K Gs Substituindo os valores Ys 10 50255 99 x 100 s 5 s 50255 99 x 10 Ys 9850 s 50255 99 Ys 9850 s s² 525 100 Para obter o valor em regime permanente do erro aplicamos o teorema do valor final e Lim sEs Lim s Rs Ys e Lim s0 100 s Lim s0 9850 s s² 525 s 100 e 100 9850 1pp e 15 O sinal de saída yt será yt L¹ Ys temos que Ys 9850 s s² 525 100 Expandindo em frações parciais Ys K1 s K2 s² 525 100 onde K1 Ys s s0 985 K2 As B Ys 985 s As B s² 525 100 s² as b s² 2as α² β² s α² β² s² 525 100 s² 2a 265 26² 965² 5 26² 965² As B A s α C β A s 26 C 965 Ys 985 s As 26 s 26² 965² C 965 s 26² 965 1 L¹ yt 985 A e26 t cos 965 t C e26 t sen 965 t y0 985 A 0 A 985 dytdt A26e26t cos965t e26tsen965t x 965 C26e26t sen965t e26t cos965t 965 dy0dt A26 C965 98526 C965 2561 C 965 0 C 2653 Portanto yt 985 985e26t cos965t 2653 e26t x sen965 t ut 2 A equação característica é 1 k Gs 0 logo 1 k 1s2 8s 15 0 s2 8s 15 k 0 S12 8 81 4115k21 8 64 60 4k2 S12 4 1 k Para o sistema apresentar uma resposta ao degrau criticamente amortecida ξp1 logo K1 e S12 4 b Para K 1 o sistema será subamortecido pois terão as raízes complexas e conjugadas 3 Temos que Gs 1ss26518 P1 As raízes são S10 P2 5213 6 62411821 3 j3 S10 S2 3 j3 S3 3j3 P3 α Σp Σz nm 03j33j3 0 30 63 2 Φo 180 3601nm 60 Φ1 180 Φ2 300 60 P4 Gs0 Σfz Σfp Gs0 180 Φ1Φ3Φ2 180 90 135 Φ3 Φ3 45 P5 s3 65 s2 185 k 0 jw3 6jw1 18 jw k 0 j0 jw3 6w2 18 j w k 0 j0 6w2 k j18w w3 0 j0 6w2 k 0 18 w2 0 k 6w2 ω 18 kc 6 x 18 108 ω 424 P6 bs 1 bs 0 as s3 65 s2 185 as 3 s2 125 18 3 s2 125 18 0 s2 45 6 0 S12 4 412 41621 S12 2 j382 ab ab 0 Ims k LGR LGR complem 3 2 0 Rels 2