6 Exercícios de Álgebra

① Sejam a b c d e f Z x Z Temos 1 a b c d e f a c b d e f a c e b d f a c e b d f pois o somo em Z é associativo a b c e d f a b c d e f 2 Suponha que exista n₁ n₂ Z x Z tal que a b n₁ n₂ n₁ n₂ a b a b ou seja a n₁ a 1 b n₂ b 2 De 1 a n₁ a n₁ 0 De 2 b n₂ b n₂ 0 Logo o elemento neutro da adição é 0 0 Z x Z 3 Suponha que exista a₁ b₁ Z x Z tal que a b a₁ b₁ a₁ b₁ a b 0 0 ou seja a a₁ 0 b b₁ 0 a₁ a b₁ b Logo o inverso aditivo de a b Z x Z é a b 4 a b c d a c b d c d d b pois a adição em Z é comutativa c d a b 5 a b c d e f ac bd e f ace bdf ace bd f pois a multiplicação em Z é associativa a b ce d f a b c d e f 1 Verifique se o seguinte conjunto com as operações indicadas é anel Se for decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero É corpo É anel de integridade Z x Z em que as operações e são definidas por a b c d a c b d e a b c d ac bd com a b c d Z e e as operações de adição e multiplicação usuais em Z 2 Prove que B é um subanel e ideal de R Onde B a b2 a b Z em R 3 Sejam L um anel e S W ideais de L Mostre que SW é ideal de T contido em S W 4 Seja M Z5 anel e T ideal T 5 Prove que MT Z₅ Defina g Z5 Z₅ ga b5 a modulo 5 5 Seja A Z5 é um anel e B 5 um ideal Mostre que B é maximal no A 6 Determine todos os polinômios de grau 4 em Z₂x 7 a Determine as raízes em Z₇ do seguinte polinômio px Z₅x px 2x⁶⁰⁰ 3x²¹⁹ 3x⁷⁴ 3x⁵⁷ 3x⁴⁴ 2 b Determine polinômios qx e rx tais que fx gxqxrx e rx 0 ou grau rx graugx fx x⁴ 7x² x 2 gx 3x 2 Z₃x c Mostre que x² 2 é irredutível em Z₅x c Factorize x⁴ 4 como um produto de fatores irredutíveis em Z₅x abcdefabcedfacebdf Por outro lado abcdabefacbdaebfacaebdbfacebdf pois vale a distributividade em Z Logo abcdefabcdacef abcdefacbdefacebdf Por outro lado abefcdefaebfcedfaecebfdf acebdf pois vale a distributividade em Z Logo abcdefabefcdef Portanto ZZ é um anel Vejamos se ZZ tem unidade Suponha que exista µ1µ2ZZ tal que abµ1µ2µ1µ2abab ou seja aµ1a µ11 bµ2b µ21 Logo a unidade é o elemento 11 Vejamos se 2x2 é comutativo Temos abcdacbdcadb pois a multiplicação é comutativa em Z cdab Agora suponha abcd00 ou seja a c0 a0 ou c0 b d0 b0 ou d0 Logo não há divisor de zero em ZZ Por último vejamos se existe inverso multiplicativo Suponha que existe xyZZ tal que abxyxyab11 ou seja a x1 x1a b y1 y1b Como x1a y1b Z então xy ZZ e portanto não existe inverso multiplicativo em ZZ Conclusão ZZ é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero ou seja ZZ é um domínio de integridade 2 Sejam a b2 c d2 B temos i a b2 c d2 ac bd2 B ii a b2c d2 ac ad2 bc2 bd2 ac 2bd ad bc2 B Logo por i e ii B é um subanel de ℝ Agora sejam a b2 x ℝ temos a b2x ax bx2 B Pois como a ℤ e x ℝ então não temos necessariamente que ax ℤ Portanto B não é um ideal de ℝ Conclusão B é apenas um subanel de ℝ 3 Sejam S um anel e S W ideais de S Considere o conjunto SW ᵢ₁ⁿ sᵢwᵢ sᵢ S wᵢ W Observe que SW pois S e W já que S e W são ideais de S Sejam a ᵢ₁ⁿ sᵢwᵢ b ⱼ₁ᵐ xⱼyⱼ SW temos i a b ᵢ₁ⁿ sᵢwᵢ ⱼ₁ᵐ xⱼyⱼ s₁w₁ sₙwₙ x₁y₁ xₘyₘ s₁w₁ s₂w₂ sₙwₙ x₁y₁ xₘyₘ SW SW SW SW SW Como cada parcela do somo pertence a SW então a b SW ii Seja z S temos za zᵢ₁ⁿ sᵢwᵢ zs₁w₁ sₙwₙ zs₁w₁ zsₙwₙ S SW S W Logo za SW Portanto SW é um ideal de S Agora vejamos SN SNW Lembrando SNW x x S e x W Seja a ᵢ₁ⁿ sᵢwᵢ SW Para cada i1n temos sᵢwᵢ S pois S é um ideal de S e wie W logo sᵢwᵢ S sᵢwᵢ W pois sᵢ S e w é um ideal de W logo sᵢwᵢ W Portanto sᵢwᵢ SNW para cada i1 n Daí obtemos a ᵢ₁ⁿ sᵢwᵢ SNW Então SW SNW 4 Defina a função g Z5 Z5 dada por ga b5 a mod 5 g é um homomorfismo Sejam a b5 c d5 e Z5 temos ga b5 c d5 ga c b d5 a c mod 5 a mod 5 b mod 5 ga b5 gc d5 g é sobrejetora Queremos mostrar que para todo y Z5 existe a b5 e Z5 tais que ga b5 y mod 5 Para isso basta tomar y a Logo g é sobrejetora Núcleog 5 Se ga b5 0 mod 5 então a mod 5 0 mod 5 Logo Núcleog b5 b Z 5 Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismos temos MT Z5 5 Sejam A um anel e I um ideal de A Sabemos I é um ideal maximal se e somente se o anel quociente AI é um corpo Pelo exercício 4 temos Z55 Z5 Como Z5 é um corpo então Z55 é um corpo e portanto B 5 é um ideal maximal de A Z5 6 Um polinômio de grau 4 em Z2 x é da forma px a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 com ai e Z2 01 com i 014 Temos 24 16 possibilidades possíveis Basta tomar ai 0 ou ai 1 para i 0123 a i 1 i 014 1 x x2 x3 x4 a0 0 ai 1 com i 1234 x x2 x3 x4 a0 a1 0 a2 a3 a4 1 x2 x3 x4 a0 a1 a2 0 a3 a4 1 x3 x4 a0 a1 a2 a3 0 a4 1 x4 a1 0 a0 a2 a3 a4 1 1 x2 x3 x4 a2 0 a0 a1 a3 a4 1 1 x x3 x4 a3 0 a0 a1 a2 a4 1 x4 a0 a2 0 a1 a3 a4 1 x x3 x4 a0 a3 a4 1 a1 a2 0 1 x3 x4 a0 a4 1 a2 a3 a1 0 1 x4 a0 a1 a3 0 a2 a4 1 x2 x4 a0 a2 a4 1 a3 a1 0 1 x2 x4 a0 a1 a3 0 a4 a4 1 x x4 a0 a1 a4 1 a2 a3 0 1 x x4 7 a px 2 x600 3 x219 3 x71 3 x57 3 x44 2 Sabemos que x7 x mod 7 então vamos reduzir as potências dos termos no polinômio temos px 5 x5 3 x2 3 x4 3 x 3 x2 2 5 x5 3 x4 6 x2 3 x 2 Z7 0 1 2 6 Temos p0 2 p1 5 p2 2 p3 0 p4 1 p5 6 p6 6 Portanto x3 é a única raiz de px em Z7 b Em Z3 temos f1x x4 x2 x 2 e g1x 2 Então x4 x2 x 2 2 2 x4 2 x2 2 x 1 4 x4 x2 x 2 4 x2 x 2 4 x 2 0 Logo g1x 2 x4 2 x2 2 x 1 e r1x 0 c x2 2 0 x2 2 x2 3 em Z5 Como não existe raiz para x2 3 em Z5 então o polinômio x2 2 não possui raiz em Z5 e portanto x2 2 é irredutível em Z5x d Suponho que x4 1 x2 ax2 b x4 a bx2 ab Logo a b 0 ab 1 onde obtemos que a 1 e b 1 4 em Z5 Portanto x4 1 x2 1x2 4 onde x2 1 e x2 4 sao irredutiveis em Z5 pois nao possuem raizes em Z5