Lista de Exercícios sobre Ideais e Homomorfismos de Anéis

c Decidir se os subconjuntos abaixo são ideais de A I f A f12 0 J f A f12 f15 8 Mostre que o único automorfismo de Z e de Q é a identidade 9 Seja f A A um homomorfismo e seja J um ideal de A Prove que o conjunto f¹J é um ideal de A 10 Seja A um anel com unidade 1 e seja φ Z A definida por φn n1 n Z a Prove que φ é um homomorfismo b Prove que m Z m1 0 A é um ideal de Z 11 Seja A um anel comutativo e a um elemento idempotente de A Mostre que a função φa A A definida por φax ax para todo x A é um homomorfismo de anéis 1 Mostre que a interseção de ideais de um anel A é também um ideal de A 2 Seja p um número primo e seja R definido por R mn m n Z n 0 e p n 1 a Prove que R é um subanel de Q b Prove que I mn R p divide m é um ideal de R 3 Seja A um anel comutativo e seja N x A xⁿ 0 para algum n N 0 a Prove que N é um ideal de A Chamado radical de A b Prove que se x AN e xⁿ 0 para algum inteiro positivo n então x 0 dica mostre que se xⁿ N para algum n 1 então x N 4 Seja A Z₄ Z e seja S z z z z A Prove que a S é um subanel de A b J 0 4z z Z 2 4z 2 z Z é um ideal de S c J é gerado por um elemento d J é um ideal de A 5 Prove que os anéis 2Z e 3Z não são isomorfos 6 Seja A C0 1 e F A R definida por Ff f12 a Prove que F é um homomorfismo b Calcule ImF e NF c Identifique o anel ANF 7 Seja A f R R f é contínua a Dar uma condição necessária e suficiente para que um elemento não nulo de A seja divisor de zero b Dar uma condição necessária e suficiente para que um elemento não nulo de A possua inverso ① Sejam I₁ I₂ Iₙ ideais do anel A Vamos mostrar que I ⁿᵢ₁ Iᵢ é um ideal de A i 0 I ⁿᵢ₁ Iᵢ Pois como cada Iᵢ é um ideal de A logo 0 Iᵢ i ii Sejam x y I ⁿᵢ₁ Iᵢ Então x y Iᵢ i implicando que x y Iᵢ i Portanto x y I ⁿᵢ₁ Iᵢ iii Sejam a A x I ⁿᵢ₁ Iᵢ Então x Iᵢ i logo ax I ⁿᵢ₁ Iᵢ Portanto I ⁿᵢ₁ Iᵢ é um ideal de A 2 a Sejam m₁n₁ m₂n₂ R Temos i 01 0 R Pois p 1 1 ii m₁n₁ m₂n₂ m₁n₂ m₂n₁ n₁ n₂ R Pois como n₁ 0 n₂ 0 logo n₁ n₂ 0 Além disso p n₁ p n₂ 1 logo por propriedade de mdc p n₁ n₂ 1 iii m₁n₁ m₂n₂ m₁ m₂ n₁ n₂ R Pois n₁ n₂ 0 já que n₁ n₂ 0 E como p n₁ p n₂ 1 então p n₁ n₂ 1 Portanto R é um subanel de Q b Sejam m₁n₁ m₂n₂ I mn R Temos i 01 0 I Pois 01 R e p0 ii m₁n₁ m₂n₂ m₁ n₂ m₂ n₁ n₁ n₂ I Pois pm₁ pm₂ logo p m₁ n₂ m₂ n₁ iii mn m₁n₁ m m₁ n n₁ I Pois pm₁ logo p m m₁ Portanto I é um ideal de R 3 a Sejam A um anel comutativo e N x A xⁿ0 para algum n N Vejamos que N é um ideal de A i N Pois 0ⁿ0 n N logo 0 N ii Sejam x₁x₂ N temos que mostrar que x₁ x₂ⁿ0 para algum n N x₁ N x₁ʳ0 x₂ N x₂ᵇ0 Logo x₁ x₂ʳᵇ0 iii Sejam a A e x N Temos xⁿ0 a xⁿ a0 a xⁿ 0 Portanto N é um ideal de A b Se x AN e xn 0 para algum n N então xn N Logo para algum m N xnm 0 ou seja xnm 0 Logo x 0 4 a Sejam A Z₄ Z₂ e S 33 13 A Temos i S Pois 00 S ii Sejam 3₁3₁ 3₂3₂ S temos 3₁3₁ 3₂3₂ 3₁ 3₂ 3₁ 3₂ 3₁ 3₂ 3₁ 3₂ S iii 3₁3₁3₂3₂ 3₁ 3₂ 3₁ 3₂ 3₁3₂ 3₁3₂ S Portanto S é um subanel de A b Seja J 04z z Z 2 4z 2 z Z Dados x y J s S Temos i J Pois 00 J ii x y J temos os seguintes casos 1 x y 0 4z z Z Então x 0 4z₁ y 0 4z₂ Logo x y 0 4z₁ 0 4z₂ 0 0 4z₁ 4z₂ 0 4z₁ z₂ J 2 x 04z₁ z Z T y 2 4z₂2 T Logo x 0 4z₁ y 2 4z₂2 n t x y 0 2 4z₁ 4z₂2 0 2 4z₁ 4z₁ 2 2 4z₁ z₂ 2 S 3 x y 2 4z₁2 z Z T x y 2 2 4z₁2 4z₂2 0 4z₁z₂ J iii Temos os seguintes casos 1 x 0 4z₁ z Z T α S x 0 4z₁ α 3z₂ 3z₂ Temos αx 0 3z₂ 4z₁ 3z₂ 0 43z₁3z₂ J 2 x 2 4z₁2 z Z T α S com x 2 4z₁2 α 3z₂ 3z₂ n t αx 2 3z₂ 4z₁23z₂ 2 3z₂ 4z₁3z₂ 2 3z₂ J Portanto J é um ideal de S b 0 4z z Z T 4 4 2 4z₁2 z Z 2 2 22z₃1 Portanto J 2 2 d Analogo ao item b 5 Suponha que f Z2 Z2 é um isomorfismo Observe que 2² 4 22 Temos f2² f22 f2f2 f2² e f22 f2f2 2f2 Logo f2² 2f2 f2f22 0 Logo f2 0 ou f22 0 Se f22 0 então f2 2 Z2 Portanto f2 0 Mas f0 f2 0 contradição Pois f é um isomorfismo por hipótese Portanto não existe um isomorfismo entre Z2 e Z2 6 a Seja F A IR dada por Ff f12 Dados fg A temos Ffg fg12 f12g12 e Ffg fg12 f12g12 FfFg Portanto F é um homomorfismo b Se Ff 0 então f12 0 Logo NucF f A f12 0 Ā Im F C01 c ANucF f NucF f A f12 0 C01 7 a Ā é um divisor de zero f IR IR dada por fx 1 x 0 0 x 0 b Um elemento não nulo f A possui inverso se f for uma função bijetora c Seja I f A f12 0 Vejamos que I é um ideal de A Dados f g I h A Temos i 0 I Pois 012 0 ii f g12 f12 g12 0 0 0 Logo f g I iii hf12 h12 f12 h12 0 0 Logo hf I Portanto I é um ideal de A Agora seja J f A f12 f15 Dados f g J h A Temos i 0 J Pois 012 015 0 ii f g12 f12 g12 f15 g15 f g15 Logo f g J iii hf12 h12 f12 h12 f15 hf15 Logo hf J Portanto J não é um ideal de A 8 Único automorfismo de Q é a identidade Seja f Q Q um homomorfismo Como 12 1 temos f12 f1 então f1 0 ou f1 1 Se f1 0 então x Q temos fx fx1 fxf1 fx 0 Logo f é identicamente nula Logo f1 1 Por indução temos fn n para n Z então fn fn logo fn n n Z Agora se r Q com r ab ab Z temos br a ou seja fb fr fa Logo fr fafb ab r Único automorfismo de Z é a identidade Seja f Z Z um homomorfismo tal que f1 k Temos que mostar fx kx x Z i f0 0 k0 ii se fn kn com n Z então fn1 fn f1 kn k kn1 iii se x Z então x 1x1 x Z Logo fx f1x1 f1x1 k1x1 kx logo f é uma funçao linear de x Agora vamos determinar o valor de k como fxy fx fy xy Z temos kxy kx ky xy Z Logo k k2 ou seja k 0 ou k 1 Se k 0 f é identicamente nula Logo k 1 Portanto fx x x Z 9 Sejam f A A um homomorfismo e J um ideal de A Lembrando f1J a A fa b b J Temos i 0 f1J Pois f0 0 J ii Sejam a1 a2 f1J Então existem b1 b2 J tais que fa1 b1 fa2 b2 Logo a1 a2 f1b1 b2 f1J iii Sejam a A a1 f1J f1b1 a1 Logo a a1 a f1b1 f1J Portanto f1J é um ideal de A 10 a Seja A um anel com unidade 1 Considere a função l Z A dada por ln n 1 n Z Dados n1 n2 Z temos ln1 n2 n1 n2 1 n1 1 n2 1 ln1 ln2 e ln1 n2 n1 n2 1 n1 n2 n1 1n2 1 ln1 ln2 Portanto l é um homomorfismo b Considere o conjunto I m Z m 1 0 A Vamos mostrar que I é um ideal de Z Sejam m1 m2 I temos que mostrar que m1 m2 I ou seja m1 m2 1 0 A Como m1 I m1 1 0 m2 I m2 1 0 Logo m1 1 m2 1 0 0 m1 m2 1 0 A Agora sejam m I e a Z temos que mostrar que am 1 0 Como m I m1 0 a m1 a 0 am1 0 Portanto o conjunto I é um ideal de Z 11 Sejam A um anel comutativo e a um elemento idempotente de A ou seja a² a Considere a função la A A dada por lax ax x A Dados x y A temos i lax y ax y ax ay lax lay ii laxy axy a²xy a axy axay lax lay Portanto la é um homomorfismo de aneis