Álgebra Abstrata

7 O conjunto R onde a b ab e a b aln b é um anel comutativo Encontre o elemento neutro da soma e da multiplicação e determine o inverso multiplicativo do número a 1 R 30 Prove que Z4 Z6 23 Z12 8 Considere o anel Z Z Mostre que Z Z não é um domínio de integridade apesar de cada fator Z é um domínio de integridade 4 Resolva a equação x2 1 em Z5 3 Seja G um grupo tal que ab2 ba2 ab G e suponha que x e é o único elemento de G tal que x2 e Mostre que G é abeliano 3 Seja G um grupo tal que ab2 ba2 para quaisquer ab G Suponha que x e é o único elemento de G tal que x2 e De ab2 ba2 temos abab baba Multiplicando à esquerda a ambos lados por a1 temos a1 abab a1 baba a1 aba b a1 baba e ba b a1 baba Multiplicando ambos lados à direita por b1 ba b1 a1 ba ba b1 ba b b1 a1 baba b1 ba a1 babab1 ba abe ba ab Portanto G é abeliano 8 O anel Z x Z não é um domínio de integridade pois possui divisores de zero Sejorn a 0 0 b e Z x Z temos a 0 0 b a0 0b 00 7 Elemento neutro da soma Queremos encontrar n e IR tal que a n a para todo a e IR Suponto que a n a então an a n 1 Portanto o elemento neutro da soma é 0 1 Elemento neutro do multiplicação Suponto que exista b e IR tal que a b a para todo a e IR então a a ln b ln b 1 b e e 2718 é o número de euler Portanto o elemento neutro da multiplicação é e o Inverso multiplicativo de 1 a e IR Seja a e R tal que a a e Então a ln a e ln a 1 a e 1ln a Portanto o inverso multiplicativo de 1 a e IR é a e 1ln a 4 Vamos resolver o equação x2 1 em Z5 0 1 2 3 4 Podeos resolver o equação x2 4 Observe que 2 2 4 e 3 3 9 4 Logo x 2 ou x 3 30 Considere a Função l Z4 x Z6 Z12 dada por la b 3a b i l é um homomorfismo Sejam a b c d ϵ Z4 x Z6 temos la b c d la c b d 3a c b d 3a 3c b d 3a b 3c d la b lc d ii l é sobrejetiva Para todo n ϵ Z12 podemos encontrar a b ϵ Z4 x Z6 tal que la b n Basta tomar n 3a b Portanto l é sobrejetiva iii Ker l 2 3 Se la b 0 entao 3a b 0 Se a 0 entao 3a b 0 b 0 Se a 1 não existe b ϵ Z6 tal que 3a b 0 Se a 2 entao 3a b 0 b 6 Se a 3 entao 3a b 0 b 3 Logo Ker l 00 26 33 23 Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo temos Z4 x Z6 23 Z12