Lista de Exercicios Resolvidos - Ideais e Homomorfismos de Aneis

1 Mostre que a interseção de ideais de um anel A é também um ideal de A 2 Seja p um número primo e seja R definido por R mn m n Z n 0 e pn 1 a Prove que R é um subanel de Q b Prove que I mn R p divide m é um ideal de R 3 Seja A um anel comutativo e seja N x A xn 0 para algum n N 0 a Prove que N é um ideal de A Chamado radical de A b Prove que se x AN e xn 0 para algum inteiro positivo n então x 0 dica mostre que se xn N para algum n 1 então x N 4 Seja A Z4 Z e seja S z z z z A Prove que a S é um subanel de A b J 0 4z z Z 2 4z 2 z Z é um ideal de S c J é gerado por um elemento d J é um ideal de A 5 Prove que os anéis 2Z e 3Z não são isomorfos 6 Seja A C01 e F A R definida por Ff f12 a Prove que F é um homomorfismo b Calcule Im F e NF c Identifique o anel ANF 7 Seja A f R R f é contínua a Dar uma condição necessária e suficiente para que um elemento não nulo de A seja divisor de zero b Dar uma condição necessária e suficiente para que um elemento não nulo de A possua inverso c Decidir se os subconjuntos abaixo são ideais de A I f A f12 0 J f A f12 f15 8 Mostre que o único automorfismo de Z e de Q é a identidade 9 Seja f A A um homomorfismo e seja J um ideal de A Prove que o conjunto f1J é um ideal de A 10 Seja A um anel com unidade 1 e seja φ Z A definida por φn n1 n Z a Prove que φ é um homomorfismo b Prove que m Z m1 0 A é um ideal de Z 11 Seja A um anel comutativo e a um elemento idempotente de A Mostre que a função φa A A definida por φax ax para todo x A é um homomorfismo de anéis ① Sejam A um anel e I1 I2 In ideais de A Afirmação j1n Ij é um ideal de A i 0 j1n Ij Pois 0 Ij j1n Pois cada Ij é ideal de A ii Dados x y j1n Ij então x y Ij j1n x y Ij j1n já que cada Ij é ideal de A x y j1n Ij iii Dados x j1n Ij a A x Ij j1n a A Logo ax j1n Ij Pois ax Ij j 1 n já que cada Ij é ideal de A 2 a Sejam m1n1 m2n2 R Temos i 01 0 R Pois p1 1 ii m1n1 m2n2 m1 n2 m2 n1 n1 n2 R Pois como n1 0 n2 0 logo n1 n2 0 Além disso p n1 p n2 1 logo por propriedade da mdc p n1 n21 iii m1n1 m2n1 m1 m2 n1 n2 R Pois n1 n2 0 já que n1 n2 0 Como p n1 p n2 1 então p n1 n2 1 Portanto R é um subanel de Q b Sejam m1n1 m2n2 I mn R Temos i 01 0 I Pois 01 R e p0 ii m1n1 m2n2 m1 n2 m2 n1 n1 n2 I Pois pm1 pm2 logo p m1 n2 m2 n1 iii mn m1n1 m m1 n n1 I Pois p m1 logo p mm1 Portanto I é um ideal de R 3 a Temos i 0 N pois 0n 0 n N 0 ii Sejam x1 x2 N então x1r 0 para algum r N 0 x2s 0 para algum s N 0 logo x1 x2r s 0 iii Sejam a A x N xn 0 para algum n N 0 a xn an xn an 0 0 portanto N é um ideal de A b suponha que x A I N e xn 0 Como xn 0 então xn N logo xnm 0 para algum m N01 ou seja xnm 0 logo x N e portanto x 0 4 a Sejam A Z4 x Z2 e S 3 7 3 7 1 7 3 7 A Temos i S ø pois 0 0 S ii Sejam 3 7 3 7 3 7 3 2 S temos 3 7 3 7 3 7 3 2 3 7 3 2 3 7 3 2 3 7 3 2 3 7 3 2 S iii 3 7 3 7 3 7 3 2 3 7 3 2 3 3 2 3 7 3 7 3 4 S Portanto S é um subanel de A b Seja J 0 4z z Z 2 4z 2 z Z Dados x y J s S Temos i J pois 0 0 J ii x y J temos os seguintes casos 1 x y 0 4z z Z Então x 0 4z1 y 0 4z2 Logo x y 0 4z1 0 4z2 0 0 4z1 4z2 0 4z1 z2 J 2 x 0 4z z Z y 2 4z 2 Logo x 0 4z1 y 2 4z2 2 Então x y 0 2 4z1 4z2 2 2 4z1 4z2 2 2 4z1 z2 2 S 3 x y 2 4z 2 z Z x y 2 2 4z1 2 4z2 2 0 4z1 z2 J iii Temos os seguintes casos 1 x 0 4z z Z a S x 0 4z1 a 2z2 3z2 Temos a x 0 2z2 4z1 3z2 0 4z1 3z2 J 2 x 2 4z 2 z Z a S com x 2 4z1 2 a 2z2 3z2 Então a x 2 2z 4z1 2 3z2 2z2 4z1 3z2 2 3z2 J Portanto J é um ideal de S b 04z z Z 1 4 24z2 z Z 2 2 Portanto J 2 2 d Análogo ao item b 5 Suponha que l 2Z 3Z é um isomorfismo Temos 2² 4 2 2 Logo l2² l2 2 l2 l2 l2² e1 l22 l2 l2 2 l2 Assim segue que l2² 2 l2 l2² 2 l2 0 l2 l2 2 0 l2 0 ou l2 2 0 se l2 2 0 então l2 2 3Z Logo l2 0 Mas l0 l2 0 contradição Pois l é um isomorfismo Portanto não existe um isomorfismo entre 2Z e 3Z 6 a Sejam fg A Temos i Ffg fg12 f12 g12 Ff Fg ii Ffg fg12 f12 g12 Ff Fg Portanto F é um homomorfismo b Ff 0 f12 0 Logo NF f A f12 0 U1 ImF 01 c Temos A NF f NF f A f12 0 C01 7 a Ē é um divisor de zero f IR IR dada por fx 1 x 0 0 x 0 b Um elemento não nulo f A possui inverso se f for uma Função bijetora c I f A f12 0 sejam fg I h A i 0 I pois 012 0 ii fg12 f12g12 0 0 0 Portanto fg I iii hf12 h12 f12 h120 0 Logo hf I Portanto I é um ideal de A J f A f12 f15 não é um ideal de A sejam f J g A gf12 g12 f12 g12 f15 gf15 Logo gf J 8 o único automorfismo de Z é a identidade Suponha que f Z Z é um homomorfismo tal que f1 k Vamos mostrar que fx kx x Z i f0 0 k0 ii se fn kn n Z então fn1 fnf1 knk kn1 iii x Z então x 1x1 1x1 Z Logo fx f1x1 f1x1 kx1 kx Agora vamos encontrar o valor de k Sabemos fxy fx fy xy Z Logo kxy kx ky xy Z Daí temos k k² ou seja k 0 ou k 1 Se k 0 f é identicamente nula logo não é um isomorfismo Logo k 1 e portanto fx x x Z 8 Único automorfismo de Q é a identidade Seja f Q Q um homomorfismo Como 12 1 temos f12 f1 então f1 0 ou f1 1 Se f1 0 então x Q temos fx fx1 fxf1 fx0 0 Logo f é identicamente nula Logo f1 1 Por indução temos fn n para n Z então fn fn logo fn n n Z Agora se r Q com r ab a b Z temos br a ou seja fbfr fa Logo fr fafb ab r 9 Sejam f A A um homomorfismo e J um ideal de A Lembrando f1J a A fa b b J Temos i 0 f1J Pois f0 0 e J ii Sejam a1 a2 f1J Então existem b1 b2 J tais que fa1 b1 fa2 b2 Logo a1 a2 f1b1 b2 f1J iii Sejam a A an f1J fbn an Logo a an a f1bn f1J Portanto f1J é um ideal de A 10 a Seja A um anel com unidade 1 Considere a função ℓ ℤ A dada por ℓn n1 n ℤ Dados n₁ n₂ ℤ temos ℓn₁ n₂ n₁ n₂1 n₁1 n₂1 ℓn₁ ℓn₂ a ℓn₁n₂ n₁n₂1 n₁n₂ n₁1n₂1 ℓn₁ ℓn₂ Portanto ℓ é um homomorfismo b Considere o conjunto I m ℤ m1 0 A Vamos mostrar que I é um ideal de ℤ Sejam m₁ m₂ ℤ temos que mostrar que m₁ m₂ I ou seja m₁ m₂10 A Como m₁ I m₁1 0 m₂ I m₂1 0 Logo m₁1 m₂1 0 0 m₁ m₂1 0 A Agora sejam m I e a ℤ temos que mostrar que am1 0 Como m I m1 0 am₁ a0 am₁ 0 Portanto o conjunto I é um ideal de ℤ 11 Sejam A um anel comutativo e a um elemento idempotente de A ou seja a² a Considere a função ℓa A A dada por ℓax ax x A Dados x y A temos i ℓaxy axy ax ay ℓax ℓay ii ℓaxy axy a²xy a axy axay ℓax ℓay Portanto ℓa é um homomorfismo de anéis