Exercícios Resolvidos sobre Anéis e Subanéis em Álgebra Abstrata

1 Em cada caso calcule o produto no anel indicado a 1216 em Z24 b 163 em Z32 c 114 em Z15 d 2335 em Z5 Z9 e 3 52 4 em Z4 Z11 2 Em cada caso determine se os conjuntos dados com a adição e multiplicação são anéis a nZ com a adição e multiplicação usuais b Z com a adição e multiplicação usuais c Z Z com a adição e multiplicação por componentes d Z2 a b2 a b Z com a adição e multiplicação usuais e Q2 a b2 a b Q com a adição e multiplicação usuais f O conjunto de todos os números imaginários puros ik com k R com a adição e multiplicação usuais 3 Descreva o elemento unidade de cada anel abaixo a Z b Q c Z Z d Z Q Zi e Z5 4 Seja p 2 um número primo e seja A mn Q p n 1 Mostre que A é um anel com as operações usuais de funções 5 Seja A um anel tal que x2 x x A Prove que A é um anel comutativo 6 Encontre as soluções da equação x2 x 6 0 no anel Z14 7 Verificar que o seguinte subconjunto de Q é um subanel A mn m n 1 e 2 não é divisor de n 8 Seja AiiI uma família de subanéis de um anel A Prove que a intersecção iIAi é um subanel de A 9 Seja AnnN uma sequência de subanéis de um anel A Prove que se An An1 n N então nNAn é um subanel 10 Seja A um anel e seja a A Prove que B x A xa ax é um subanel de A 11 Seja A um anel Prove que ZA x A xy yx y A é um sub anel comutativo de A chamado centro de A 12 Seja A um anel e seja a A Prove que B x A xa 0 é um subanel de A 1a Temos 12 16 192 192 24 0 8 Logo 12 16 0 em Z24 b Temos 16 3 48 e 48 32 16 1 Logo 16 3 16 em Z32 c Temos 11 4 44 14 Logo 11 4 14 em Z15 d Temos 23 35 615 16 Logo 23 35 16 em Z5 Z9 e Temos 3 5 2 4 6 20 2 2 Logo 3 5 2 4 2 2 em Z4 Z11 2 a Sejam na nb nc nZ Temos i na nb nc na nb nc pois a aspec atividade vale em Z e na nb nc são inteiros ii na nb nb na iii Suponha que exista ne nZ tal que na ne na na nZ Logo ne no e 0 Portanto o elemento neutro é ne no 0 iv Suponha que na nZ existe na nZ tal que na na 0 na a 0 a a 0 a a a a Logo elemento oposto é n1 a1 na v na nb nc na nb nc pois a multiplica ação em Z é associativa e na nb nc Z vi o na nb nc na nb na nc e na nb nc na nc nb nc Portanto nZ é um anel b Z com adição e multiplicação usuais não é um anel Pois não possui elemento neutro c Sejam a1b1 a2b2 a3b3 ZxZ Temos i a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 b1 b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1b1 a2 a3 b2 b3 a1b1 a2b2 a3b3 ii a₁b₁ a₂b₂ a₁ a₂ b₁ b₂ a₂ a₁ b₂ b₁ a₂ b₂ a₁ b₁ iii Suponha que existe e₁ e₂ ℤ ℤ tal que a₁ b₁ e₁ e₂ a₁ b₁ e₁ e₂ 00 Logo o elemento neutro é 00 iv Supnha que a₁ b₁ ℤ ℤ existe a₁ b₁ ℤ ℤ tal que a₁ b₁ a₁ b₁ 00 a₁ a₁ 0 b₁ b₁ 0 a₁ a e b₁ b Logo elemento oposto é a₁ b₁ v a₁ b₁a₂b₂a₃ b₃ a₁ b₁a₂a₃ b₂b₃ a₁ a₂a₃ b₁b₂b₃ a₁a₂ a₃ b₁b₂b₃ a₁a₂ b₁b₂a₃ b₃ a₁ b₁a₂ b₂a₃ b₃ vi o a₁ b₁ a₂b₂ a₃b₃ a₁ b₁a₂ a₃ b₂ b₃ a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ a₁a₂ a₁a₃ b₁b₂ b₁b₃ a₁a₂ b₁b₂ a₁a₃ b₁b₃ a1 b1 a2 b2 a1 b1 a3 b3 o a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 b1 b2 a3 b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 a3 a2 a3 b1 b3 b2 b3 a1 a3 b1 b3 a2 a3 b2 b3 a1 b1 a3 b3 a2 b2 a3 b3 Portanto Z x Z é um anel d Sejam a1 b12 a2 b22 a3 b32 Z2 Temos i a1 b12 a2 b22 a3 b32 a1 a2 b1 b22 a3 b32 a1 a2 a3 b1 b2 b32 a1 a2 a3 b1 b2 b32 a1 b12 a2 b22 a3 b32 ii a1 b12 a2 b22 a1 a2 b1 b22 a2 a1 b2 b12 a2 b22 a1 b12 iii O elemento neutro é 0 0 02 Z2 Pois a b2 Z2 a b2 0 02 a 0 b 02 a b2 iv Elemento oposto de a b2 Z2 é a b2 a b2 Z2 Pois a b2 a b2 a a b b2 0 02 0 v a1 b12 a2 b22 a3 b32 a1a2 2b1b2a3 2a1b2 b1a2b3 a1a2 2b1b2b3 a1b2 b1a2a32 Por outro lado a1 b12a2 b22a3 b32 a1 b12a2a3 2b2b3 a2b3 b2a32 a1a2a3 2b2b3 2b1a2b3 b2a3 a1a2b3 b2a3 b1a2a3 2b2b32 Logo a1 b12a2 b22a3 b32 a1 b12a2 b22a3 b32 vi a1 b12a2 b22 a3 b32 a1 b12a2 a3 b2 b32 a1a2 a3 2b1b2 b3 a1b2 b3 b1a2 a32 Por outro lado a1 b12a2 b22 a1 b12a3 b32 a1a2 2b1b2 a1b2 b1a22 a1a3 2b1b3 a1b3 b1a32 Logo vale a distributiva Portanto Z2 é um anel 1e O conjunto Q2 a b2 a b Q é um anel A prova é análoga ao do item d 1 Sejam ai bi ci números imaginários puros i ai bi ci a bi ci a b ci a b ci ai bi ci ai bi ci ii ai bi a bi b ai bi ai iii Elemento neutro é 0i 0 ai Imaginários Putos ai 0i a 0i ai iv Elemento oposto de ai é ai ai ai a ai 0i 0 v ai bi ci ab ai abc i Por outro lado ai bi ci ai bc abc i Logo ai bi ai vii ai bi ci a bi ci a b c ac bc Por outro lado ai ci bi ci ac bc Logo ai bi ci ai ci bi ci ai bi ci i ai b c i a b c ab ac ai bi ai ci Portanto o conjunto dos números imaginários puros é um onel 3 a O elemento unidade de Z é 0¹ Pois n Z temos 1 n n 1 n b O elemento unidade de Q é 11 1 Pois ab Q temos ab 11 11 ab ab c O elemento unidade de Z x Z é 1 1 pois a b Z x Z a b 1 1 1 1 a b a b d O elemento unidade de Z x Q x Z é 1 11 1 Pois a bc d Z x Q x Z 1 11 1 a bc d a bc d 1 11 1 a bc d e Observe 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 Logo a unidade de Z5 é o elemento 1 4 Sejam ab cd ef A i ab cd ef ad bcbd ef adf bcf ebd bdf Por outro lado ab cd ef ab cf dedf adf cfb dab bdf Logo ab cd ef ab cd ef Além disso como p b p d p f 1 então p bdf 1 ii ab cd ad cbbd dadb bcdb cd ab Além disso p bd 1 iii O elemento neutro é 01 A Pois ab A temos ab 01 ab e p1 1 iv O elemento oposto é ab A Pois ab ab 0 u ab cd ef acbd ef acebd f ac ebd f ab c ed f ab cd ef E p b d f 1 vi ab cd ef ab c f d ed f a c f a d eb d f Por outro lado ab cd ab ef a cb d a eb f a c f a d eb d f Logo ab cd ef ab cd ab ef p b d f 1 ab cd ef ad bcb d ef a d e b c eb d f Por outro lado ab ef cd ef a eb f c ed f a d e b c eb d f Logo ab cd ef ab ef cd ef p b d f 1 Portanto A é um anel 5 Prova Seja A um anel tal que x2 x x A Seja x A então x x A Logo x x2 x x x xx x x x x2 x2 x2 x2 x x x x x x x x x x 0 Agora seja x y 0 Então x y x x pois 0 x x y x Dados xy A temos x y A x y2 x y x yx y x y x2 xy yx y2 x y x xy yx y x y xy yx 0 xy yx por Portanto A é comutativo 6 Vamos resolver a seguinte equação de 2º gra x2 x 6 0 x 1 1 24 2 x 1 5 2 x 3 x 2 Logo em Z14 a solução é x 2 e x 11 7 Considere o conjunto A mn mn1 e 2 x n 7 Vejamos se A é um subanel de Q i 0 01 A Pois 01 1 e 2x1 ii sejam ab cd A Temos ab cd ad cbbd A Pois como 2xb e 2xd então 2xbd Além disso ad cb bd 1 pois abcd1 iii sejam ab cd A ab cd acbd A Pois 2xbd e ac bd 1 Portanto A é um subanel de Q 8 Prova Seja AiiI uma Família de subaneis de A Temos i O elemento neutro 0 A também pertence à iI Ai pois como cada Ai é um subanel de A então 0 Ai i I ii Sejam a b iI Ai Então a b Ai i I Como cada Ai é um subanel de A então a b Ai i I Portanto a b iI Ai iii Sejam a b iI Ai Então a b Ai i I Logo ab Ai i I Daí segue ab iI Ai Portanto Ai é um subanel de A a Prova Seja AnnN uma sequência de subanéis de A tal que An An1 n N Vamos mostrar que nN An é um subanel de A i 0 nN An pois cada An é um subanel de A logo 0 An n N ii Sejam xy nN An Temos os seguintes casos Caso 1 Se xy An então existe N N tal que xy AN Como AN é um subanel de A logo xy AN e portanto xy nN An Caso 2 xy nN An Então existem N1 N2 N tal que x AN1 e y AN2 Se N1 N2 então AN1 AN2 logo xy AN2 e portanto xy AN2 o que implica xy nN An Se N2 N1 então AN2 AN1 e então xy AN1 Logo xy AN1 implicando xy nN An iii Sejam xy nN An Temos Caso 1 xy nN An Então existe N N tal que xy AN e portanto xy AN Caso 2 x y An Existem N₁ N₂ N n N tal que x AN₁ y AN₂ Se N₁ N₂ então AN₁ AN₂ e então x y AN₂ implicando xy AN₂ Logo xy An n N se N₂ N₁ então AN₂ AN₁ Logo x y AN₁ e xy AN₁ Portanto xy An n N Assim concluímos que An n N é um subanel de A 10 Prova Sejam A um anel a A e considere o conjunto B x A xa ax Temos i O elemento neutro 0 A pertence à B pois 0a a0 a A ii Sejam x y B Temos que mostrar que x y B ou seja xya axy Como x B então xa ax 1 e como y B então ya ay 2 Subtraindo 1 e 2 temos xa ya ax ay x ya ax y Portanto x y B iii Sejam x y B então x y a x y a x a y x a y a x y a x y Logo x y B Portanto B é um subanel de A 111 Prova Seja A um anel Considere o seguinte conjunto ZA x A x y y x y A Temos i 0 ZA Pois y A 0 y 0 y 0 ii Sejam x z ZA Precisamos mostrar que x z ZA ou seja x z y y x z y A Temos x y y x e z y y z Logo x y z y y x y z x z y y x z Portanto x z ZA iii Sejam x z ZA Temos x z y x z y x y z x y z y x z y x z Logo x z ZA Portanto ZA é um subanel comutativo de A 12 Prova Sejam A anel e a A Considere o conjunto B x A xa 0 Vejamos que B é um subanel de A i 0 B Pois 0 A e 0a 0 ii Sejam xy B Temos que mostrar que x y B ou seja x ya 0 Como xy B então xa 0 e ya 0 Logo xa ya 0 0 x ya 0 Portanto x y B iii Sejam xy B Então xya xya x0 0 Logo xy B Portanto B é um subanel de A