Teoria Elementar de Galois: Estruturas e Teoremas

adilson gonçalves ÍNDICE CAPÍTULO VII TEORIA DE GALOIS ELEMENTAR 167 PREFÁCIO C L K Q O pouco de Álgebra Linear necessário na parte de extensões de corpos foi explicitado embora nem tudo provado Nos Capítulos 2 e 4 é feito um estudo comparativo entre os anéis Z dos inteiros e Kx dos polinômios em uma variável com coeficientes em um corpo K A teoria elementar de Anéis foi inserida no Capítulo 3 para evitar a repetição de tão evidentes analogias No Capítulo 5 incluímos importantes resultados a serem usados no capítulo final do texto além de apresentarmos os anteriormente citados problemas clássicos e incluímos um parágrafo sobre construção por meio de régua e compasso O Capítulo 6 sobre grupos é o mais extenso embora isto não signifique que o lá apresentado deixe de ser elementar No último capítulo demonstramos os principais teoremas da Teoria de Galois sobre Q e discutimos o problema da solubilidade de equações polinomiais por meio de expressões radicais Agradeço a contribuição anônima dos meus alunos dos cursos de Álgebra e em especial agradeço ao corpo editorial do Projeto Euclid por esta oportunidade de realização Adilson Gonçalves INTRODUÇÃO Magna 1545 que também divulgou o método de Ferrari de redução de uma equação do 4º grau para uma de 3º grau Vamos em seguida apresentar um argumento devido a Viete para a solução de uma equação do 3º grau Seja F Q um corpo contendo o corpo dos números racionais e seja fx αx³ βx² cx d um polinômio de grau 3 com coeficientes em F Substituindo x por y h segue que o coeficiente de y² no polinômio fy h é 3ah b Escolhendo h b 3a e dividindo a equação fx 0 por a temos y³ py q 0 p q F Podemos admitir que esse polinômio é irreduzível sobre F pois de outro modo ele teria uma raiz em F e as demais seriam raizes de um polinômio do 2º grau com coeficientes em F Usando agora a substituição de Viete y z k z a equação y³ py q 0 tornase z³ 3zk 3 k² z² k³ z³ p z q 0 Escolhendo k p 3 eliminamos os termos em z e em 1 z Assim a substituição y z p 3z transforma a equação y³ py q 0 na equação z³ p³ 27z³ q 0 que vem a ser uma equação quadrática em z³ Portanto z³ q 2 D 27 onde D 4p³ 27q² Agora se z₁³ q 2 D 27 e z₂³ q 2 D 27 teremos z₁z₂³ p³ 27 e daí segue que z₁z₂ p 3 λ onde λ é uma raiz cúbica da unidade Se w₂ cos 2π 3 i sen 2π 3 e substituindo se necessário z₂ por w₂ ou w₂² podemos supor que z₁ z₂ p 3 0 serão y₁ z₁ z₂ y₂ w₁z₁ w₂z₂ e y₃ w₂²z₁ w₂z₂ Assim y₁ q 2 p³ 27 q² 4 q 2 p³ 27 q² 4 que vem a ser uma expressão obtida dos coeficientes através de repetições adições subtrações multiplicações divisões e extrações de raízes Tal expressões são conhecidas como expressões radicais A equação geral do 4º grau pode ser reduzida de modo análogo ao anterior para uma equação do tipo Seguindo um argumento de Descartes escolhemos u v e w tais que se reduz a equação y² u 2² y v² 0 e daí seguem as relações ρ u v² q 2wv e r u² 4 w² As duas primeiras dessas relações nos dão u p i² e v q 2 e substituindoas em r u² w² obtemos v⁶ 2pv⁴ p² 4rv² q² 0 a qual vem a ser uma equação cúbica em v² Assim a equação do 4º grau se reduz a uma equação cúbica e novamente temos que as raizes de uma equação do 4º grau são dadas por uma expressão radical Ora já que as raizes das equações de grau 4 são expressões radicais naturalmente a pergunta que segue é inevitável Será que as equações de grau 5 também são resolvíveis por meio de expressões radicais muitos matemáticos importantes atacaram o problema Euler não conseguiu resolver o problema porém encontrou novos métodos para a resolução da equação do 4º grau Em 1770 Lagrange conseguiu uma etapa que iria contribuir bastante na solução do problema das equações de grau 5 Ele conseguiu unificar os argumentos nos casos das equações de grau 3 e 4 e mostrou por que o tal argumento falhava no caso do grau 5 A partir dai um sentimento de que a resposta para o grau 5 seria negativa tomou corpo entre os pesquisadores da época Ruffini em 1813 tentou uma demonstração de tal impossibilidade mas seus argumentos tinham muitas falhas Bourbaki Elements dHistoire des Mathematiques Herman Paris pg 103 Finalmente em 1824 ABEL provou que a equação geral de grau 5 não é resolúvel por meio de radicais Porém não ficou estabelecido quando um polinômio de grau 5 é ou não resolúvel por meio de radicais Em 1843 Liouville escreveu para a ACADEMIA DE CIÊNCIAS DE PARIS anunciando que os trabalhos deixados por Evariste Galois 18111832 continuavam uma solução que respondia precisamente quando um polinômio de grau 5 é ou não resolúvel por meio de radicais A solução apresentada por Galois ao caracterizar os polinômios resolúveis por meio de radicais através de propriedades do grupo de automorfismos de um corpo é considerada uma das mais belas páginas da História da Matemática e uma das principais conquistas dessa ciência no século XIX No contexto desse livro introduzimos as noções algébricas necessárias à demonstração do teorema fundamental de Galois sobre Q e provamos que o polinômio x⁵ 6x 3 não é resolúvel por meio de radicais pois o grupo de automorfismo do corpo de raizes desse polinômio é isomorfo ao grupo S₅ de todas as permutações de 1 2 3 4 5 o qual não é um grupo solúvel no sentido definido por Galois CAPÍTULO I NOÇÕES PRELIMINARES Incluiríamos sob o título acima a terminologia de conjuntos e as noções de função e relação de equivalência Deixaremos como exercícios muitas propriedades elementares envolvendo essas noções básicas 1 Conjuntos Entenderemos por conjunto uma qualquer coleção de objetos os quais chamamos de elementos do conjunto O conjunto vazio isto é o conjunto sem elementos será denotado por Ø Usaremos letras maiúsculas para simbolizar conjuntos e minúsculas para simbolizar elementos as exceções letras ficarão claras no contexto do livro Se x é um elemento do conjunto A escreveremos x A e leremos x pertence a A Caso contrário escreveremos x A e leremos x não pertence a A Como primeiros exemplos de conjuntos podemos citar os conjuntos numéricos mais conhecidos para os quais usaremos a seguinte nomenclatura N 0 1 2 m números naturais Z k 1 0 1 m ns inteiros Q mn m Z n 0 números racionais R números reais isto é números racionais e números irracionais C a bi a b R i 1 Sabemos por exemplo que 2 R mas 2 Q Quando todo elemento de um conjunto A pertence a um conjunto B dizemos que A está contido em B ou A é subconjunto de B e denotamos por A B Consideraremos o conjunto Ø contido em qualquer conjunto raciocine por absurdo Dois conjuntos A e B são iguais se possuem os mesmos elementos Assim temos claramente que A B se somente se A B e B A Se o conjunto A não está contido no conjunto B usaremos a notação A B Em relação aos conjuntos numéricos acima temos N Z Q R C O conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a um conjunto A e a um conjunto B será denotado por A B x x A e x B e chamado de interseção de A e B O conjunto dos elementos que pertencem a um conjunto A ou a um conjunto B será denotado por A B x x A ou x B e chamado de união de A e B Claramente temos quaisquer que sejam os conjuntos A e B as seguintes propriedades A Ø Ø A Ø A A B A A A B Se A B também dizemos que B contém A e denotamos por B A 1 Prove que quaisquer que sejam os conjuntos A B e C temse a A A b Se A B e B C então A C c Se A B e C A então A B 2 Prove que quaisquer que sejam os conjuntos A B e C temse a A B C A B A C b A B C A B A C c A B B A A B B A d A B C A B C A B C A B C e A B se e somente se A B B se e somente se A B A 3 Sejam A B e C Ω Definimos CA x Ω x A A B a A a B Prove que a CA B CA CB CA B CA CB b A CA Ø A CA Ω c A B A CB d CA CA A onde para cada a A está associado um único b fa B através da regra que define f Chamamos A de domínio da função f e B de contradomínio da função f Se X A e c A B denotamos por fX ao conjunto fX fx x X B o qual chamamos de imagem de X pela f Denotamos por Im f ao conjunto fA ao qual chamamos de Conjunto Imagem da f Dizemos que a função f é sobrejetiva se Im f B Observem que duas funções coincidem se e somente se possuem os mesmos domínios os mesmos contradomínios e as mesmas regras Por exemplo as seguintes funções abaixo definidas são distintas apesar de possuírem o mesmo domínio e a mesma regra Apenas a segunda delas é sobrejetiva f R R x x² fx g R R x x² gx onde R x R x 0 Se f A B e g B C são duas funções denotamos por gf A C a função definida por gfx gfx qualquer que seja x A a qual chamamos de função composta de g e f A função IA A A definida pela regra IAx x qualquer que seja x A é chamada de função identidade de A Observe que se f A B é uma função bijetiva então existe uma função g B A definida por se y B gy x onde x é o único elemento de A tal que fx y o elemento x existe pois f é sobrejetiva e ele é único pois f é injetiva É de fácil verificação as propriedades gf IA e fg IB A função g com as propriedades acima é dita ser a função inversa claro que ela é única da função f e será denotada não confundir com imagem inversa por g f1 B A Por exemplo se f R R onde R x R x 0 então temos que f é bijetiva e mais f1 R R é tal que f1x 1a x ba Se Y B denotamos por f1Y ao conjunto f1Y x A fx Y e chamamos tal conjunto de imagem inversa de Y B pela f Observe que em nossa terminologia temos se y B então f1y f1y Por exemplo se f R R temos f11 x π2 2kπ k ℤ e o conjunto f10 12 é igual a x kπ k ℤ x π6 2kπ k ℤ x 5π6 2kπ k ℤ Se f A B e g B C são duas funções denotamos por gf A C a função definida por gfx gfx qualquer que seja x A a qual chamamos de função composta de g e f A função IA A A é a função definida pela regra IAx x qualquer que seja x A Observe que se f A B é uma função bijetiva então existe uma função g B A definida por se y B gy x onde x é o único elemento de A tal que fx y o elemento x existe pois f é sobrejetiva e ele é único pois f é injetiva É de fácil verificação as propriedades gf IA e fg IB A função g com as propriedades acima é dita ser a função inversa claro que ela é única da função f e será denotada não confundir com imagem inversa por g f1 B A Seja f X Y uma função e sejam A A X e B B Y Prove que a A A fA fA B B f1B f1B b fA A fA fA f1B B f1B f1B c fA A fA fA Se f é injetiva vale a igualdade fA A fA fA d f1B B f1B f1B e f1CB C f1B f Se f é bijetiva então fCA C fA 2 Sejam as funções f X Y g Y Z h Z W Então prove que hgf hgf 3 Se f X Y é uma função bijetiva prove que existe uma única função g Y X tal que fg IY e gf IX 4 Seja f X Y uma função Prove que a f é injetiva se e somente se existe g Y X tal que gf IX ie f é invertível à esquerda b f é sobrejetiva se e somente se existe h Y X tal que fh IY ie f é invertível à direita 5 Seja f X Y uma função Prove que a f1fA A qualquer que seja A X ff1B B qualquer que seja B Y b f1fA A qualquer que seja A X se e somente se f injetiva c f1B B qualquer que seja B Y se e somente se f sobrejetiva 6 Se Ω 1 2 n então denominamos por Sn f Ω Ω f bijetiva Os elementos σ de Sn são também chamados de permutações de Ω Prove que Sn é um conjunto contendo n elementos 7 Dê exemplos de funções f g R R tais que fg gf 8 Seja f 1 2 m 1 2 n uma função Prove que a Se f injetiva então m n b Se f sobrejetiva então m n c Se f bijetiva então m n 9 Seja f x₁ x₂ xₖ x₁ x₂ xₖ uma função Prove que a Se f injetiva então f sobrejetiva b Se f sobrejetiva então f injetiva Seja f ℝ ℝ definida por fx x² 3x 2 Calcule f¹0 f¹ 0 f¹ 0 e f¹1 2 Seja f ℝ ℝ definida por fx x² 1 Dê exemplo de conjunto não vazio B ℝ tal que a f¹B Ø b f¹B contém apenas um elemento 12 Seja f X Y uma função e M N Y Prove que f¹M N f¹M f¹N se x estiver relacionado com x e x x se x não estiver relacionado com x Por exemplo se A é o conjunto de retas do plano ortogonalidade define uma relação R entre pares de elementos do conjunto A Analogamente paralelismo define uma relação no mesmo conjunto A Vamos agora definir o que vem a ser uma relação de equivalência em um conjunto A Seja A um conjunto e seja R uma relação entre pares de elementos de A Dizemos que R é uma relação de equivalência em A se as seguintes propriedades são verificadas quaisquer que sejam x y A 1 x R x 2 Se x R y então y R x 3 Se x R y e y R z então x R z As propriedades acima são chamadas respectivamente reflexiva simétrica e transitiva p qsímbolo significativo Se a proposição p é verdadeira então a proposição q também o é p qsímbolo significativo A proposição p é verdadeira se e somente se a proposição q é verdadeira PROPOSIÇÃO 1 Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam x y A Então 1 x y se x y 2 x y x y Ø 3 x A Demonstração 1 Sejam x y A e x y Vamos provar que x y De fato pela definição de classe de equivalência temos x a A a x z A z y y como x x y vem imediatamente que x y Sejam x y A e x y Vamos provar que x y e para isso temos que provar que x y e y x Vamos primeiramente provar que x y Seja a um elemento arbitrário em x vamos provar que a y Se a x temos a x e como x y por hipótese segue pela transitividade que a y e portanto a y como queríamos demonstrar Agora x y temos por simetria que y x e de modo análogo ao anterior chegamos à inclusão y x e daí segue que x y como queríamos demonstrar 3 Vamos provar que x A De fato temos primeiramente que x A e dai segue que x A Reciprocamente temos que x y em x e x y e portanto segue que A x e isto completa a demonstração da Proposição 1 EXEMPLO 2 Seja A Z 1 0 1 m e seja n um número inteiro arbitrariamente fixado Vamos definir uma relação de equivalência em Z do seguinte modo x x Z x x x x é um múltiplo inteiro de n Demonstração De fato basta observar pelo item 1 da Proposição 1 que se x y A temos x y πx πy como queríamos demonstrar A operação Ø dizse associativa se a b c A temse aØbØc aØbØc e dizse comutativa se a b A temse aØb bØa 4 Se A 0 1 e B 0 2 3 Calcule PA B e PA PB 5 Dê 3 exemplos de relações binárias no conjunto R dos números reais tais que no 1º exemplo a relação não seja reflexiva no 2º exemplo não seja simétrica e no 3º exemplo não seja transitiva 6 Seja f X Y uma função Prove que x1 x2 X x1 x2 fx1 fx2 define uma relação de equivalência no conjunto X Nesse caso dizemos que é a relação de equivalência induzida por f 7 Descreva as classes de equivalência e os conjuntos quocientes em relação a induzida pelas seguintes funções a f R R x fx x² 5x 6 b f Z Z x fx x² 7x 10 c f R R R x y fx y y d f R R R x y fx y x x² y² 8 Prove que x y x y x y x y define uma relação de equivalência no conjunto Z Z onde Z Z 0 9 Dê exemplo de relações de equivalência em um conjunto X tais que a X₀ X b X x x X c X seja um conjunto infinito e o conjunto X₀ contenha exatamente 11 elementos d X seja um conjunto infinito e X₀ também seja um conjunto infinito 10 Teste a validade das propriedades reflexiva simétrica e transitiva para as relações binárias definidas através dos seguintes subconjuntos Ω R R R² plano real a Ω x y R² x 0 e y 0 b Ω x y R² y x c Ω x y R² x 0 e y 0 d Ω x y R² x² y² 1 e Ω região dos pontos x y do plano tais que 1 y x² 1 11 Uma relação entre pares de elementos de um conjunto A dizse uma relação de ordem parcial em A se i x x x R ii x y e y z x z x y z A iii x y e y z z x x y z A Uma relação de ordem parcial dizse total ou linear se iv x y A temse x y ou y x Prove que a x y y x é não negativo define uma relação de ordem total no conjunto Z b Se A ℝR é o conjunto de todas as funções reais f R R Então f g fx gx x R define uma relação de ordem parcial em A que não é total em A CAPÍTULO II OS NÚMEROS INTEIROS Neste capítulo apresentaremos uma visão algébrica dos números inteiros e para isso admitiremos conhecidas as propriedades elementares do conjunto Z 1 Propriedades elementares No conjunto Z estão definidas as operações de soma e produto Z Z Z e Z Z Z x y x y x y x y as quais gozam das seguintes propriedades x y z Z i x y z x y z associatividade da soma ii 3 Z tal que x 0 0 x x existência do elemento neutro iii x Z tal que x x x 0 existência de inverso aditivo de cada elemento x Z iv x y y x comutatividade da soma v x y z x y z associatividade do produto vi 1 Z tal que x 1 1 x x existência da unidade em Z vii x y y x comutatividade do produto viii x y z x y x z distributividade do produto em relação à soma ix x y 0 x 0 ou y 0 Z não possui divisores de zero Veremos mais tarde estruturas algébricas que não satisfazem a propriedade ix isto é estruturas com divisores de zero que são elementos não nulos a e b tais que a b 0 Usaremos a notação xy em vez de x y para simbolizar o produto dos elementos x e y em Z Por possuir essa 9 propriedades acima dizemos que Z mundo da soma e produto é um domínio de Integridade Mais adiante essa noção será definida com toda a generalidade 2 Boa ordenação e algoritmo da divisão Em Z existem as noções de ordem e de módulo as quais admitimos com algumas de suas propriedades básicas Com o objetivo de demonstrar o algoritmo da divisão de Euclides iniciaremos esse parágrafo admitindo o princípio da boa ordenação em Z Princípio da boa ordenação Todo subconjunto não vazio S de Z de elementos não negativos possui um primeiro elemento isto é x₀ S tal que x₀ x x S Vamos agora provar algumas propriedades de Z usando o princípio da boa ordenação PROPOSIÇÃO 1 Não existe inteiro m tal que 0 m 1 Demonstração De fato suponhamos por absurdo que existe este m Z 0 m 1 Assim o conjunto S m Z 0 m 1 é não vazio e pelo princípio da boa ordenação x₀ S tal que x₀ x x S Como x₀ S temos 0 x₀ 1 e daí segue que 0 x₀² x₀ 1 e isto contradiz a minimalidade de x₀ S PROPOSIÇÃO 2 Indução 1ª forma Suponhamos que seja dada uma afirmação an dependendo de n ℕ tal que i a0 é verdadeira ii Para k ℕ ak 1 é verdadeira sempre que ak for verdadeira Então an é verdadeira n ℕ Demonstração Seja S o conjunto dos inteiros m ℕ tais que am seja falsa e suponhamos que S Pelo princípio da boa ordenação x₀ S tal que 0 x₀ m S Como a0 é verdadeira por hipótese temos que 0 S e portanto x₀ 1 mais ainda como x₀ 1 S temos que ax₀ 1 é verdadeira Agora pela hipótese i segue que ax₀ ax₀ 1 1 é verdadeira o que é uma contradição Logo S e a Proposição 2 está demonstrada PROPOSIÇÃO 3 Indução 2ª forma Suponhamos que seja dada uma afirmação an dependendo de n ℕ tal que i a0 é verdadeira ii Para cada inteiro m 0 am é verdadeira sempre que ak for verdadeira para 0 k m Então an é verdadeira n ℕ Demonstração Seja S o conjunto dos inteiros m ℕ tais que am seja falsa e suponhamos que S é não vazio Como acima x₀ S tal que x₀ x x S e pela hipótese i x₀ 0 Portanto ak é verdadeira k 0 k x₀ e ii nos dá uma contradição Observe que as Proposições 2 e 3 poderiam ser enunciadas a partir do inteiro 1 em vez de zero e nesse caso a hipótese i seria a1 é verdadeira As mesmas demonstrações funcionam como as devidas modificações TEOREMA 1 Algoritmo da Divisão Sejam n d ℕ e d 0 Então existem únicos q e r tais que n qd r onde 0 r d Demonstração Provaremos a existência usando indução 2ª forma sobre n Se n d existem q 0 r n assim podemos assumir n d 0 Então temos 0 n d n e pela hipótese ii de indução 2ª forma segue que q₁ r ℕ tais que n d q₁ r onde 0 r d e daí segue que n q₁ 1d r onde 0 r d Assim existem q q₁ 1 e r ℕ como queríamos demonstrar Provaremos agora a unicidade Suponhamos que existam q₁ r₁ q₂ r₂ ℕ tais que n q₁d r₁ 0 r₁ d n q₂d r₂ 0 r₂ d Dai segue que q₁d r₁ q₂d r₂ onde 0 r₁ d e 0 r₂ d Como d 0 é suficiente provamos que r₁ r₂ pois nesse caso teríamos q₁d q₂d ou seja q₁ q₂ Suponhamos por absurdo que r₁ r₂ por exemplo r₁ r₂ Nesse caso teríamos 0 r₁ r₂ q₂ q₁d d o que é um absurdo e isto termina a demonstração do Teorema 1 Observem que na demonstração do Teorema 1 a afirmação an usada na indução foi a seguinte q r ℕ tais que n qd r onde 0 r d EXERCÍCIOS 1 Enuncie as Proposições 2 e 3 a partir do inteiro 1 e prove por indução as seguintes fórmulas a 1 2 n nn 12 n 1 inteiro b 1 4 n² nn 12n 16 n 1 inteiro c 1 8 n³ nn 12² d 1 3 2n 1 n² 2 Prove que o conjunto S m ℤ 7 m 8 é vazio 3 Se m n ℕ e n m definimos n m nn mm onde n mm 1321 se n 1 e 0 1 Prove por indução sobre n a seguinte fórmula onde n m 1 são inteiros n m n 1 m 1 n 1 m n 4 Se x y ℤ e n ℕ Prove por indução sobre n que x yⁿ xⁿ n 1xⁿ¹y n ixⁿⁱyⁱ yⁿ 5 Seja a 0 ℤ e m ℕ Definimos potência não negativa de a do seguinte modo a⁰ 1 a¹ a aⁿ a a a se m 2 Prove que a am ar amn m n N b amn amn m n N 6 Prove por indução sobre n que n3 2n é sempre divisível por 3 7 Se A 1 2 n denominamos por PA o conjunto das partes de A ie PA B B A Prove que PA 2n onde X denota o número de elementos do conjunto X 8 Se n é um natural ímpar Prove que n3 n é sempre divisível por 24 3 Ideais e MDC Neste parágrafo vamos provar a existência de Máximo Divisor Comum em Z para isto vamos definir a noção de Ideal do domínio Z Seja J Z Dizemos que J é um ideal de Z se as seguintes condições são satisfeitas i 0 J ii x y J x y J iii x J e Z y Z r x J Observe que as condições i ii e iii poderiam ser substituídas pelas condições iv J ii x y J x y J De fato se x J então 0 x J por ii Agora se x J então x 0 x J e finalmente se x y J temos x y J e dáse que x y x y J como queríamos demonstrar EXEMPLO 1 Se n é um número inteiro qualquer então o conjunto de todos os múltiplos inteiros de n é um Ideal de Z De fato seja J nk k Z o conjunto de todos os múltiplos inteiros de n Então segue que i 0 n0 J ii x nk y nr J x y nk r J iv r Z x nk J r x xr nkr J TEOREMA 2 Z é um domínio principal Todo ideal de Z é principal Demonstração Seja J um ideal de Z Se J 0 então J é um ideal principal gerado por 0 Suponhamos que J 0 Assim existe 0 x J e pela propriedade iii temos x J portanto x J x 0 ou seja o conjunto S dos inteiros 0 pertencentes a J é não vazio Pelo princípio da boa ordem existe d J tal que d é o menor inteiro 0 em J Vamos provar que dZ J Claramente dZ J pois se d J e n Z então d rd J por iv Assim é suficiente provarmos que J dZ Seja x J Pela propriedade iii temos que x J e pelo Algoritmo da divisão temos que q r Z tais que x qd r onde 0 r d Se 1 MDC n₁nₖ dizemos que n₁nₖ são relativamente primos em Z e pela observação anterior 3 r₁rₖ tal que 1 n₁r₁ nₖrₖ Demonstrar o algoritmo da divisão quando o divisor d é negativo Que nesse caso o resto r satisfaça 0 r d Sejam d e n elementos de Z Dizemos que d é um divisor de n em Z e escrevemos d n se b Z tal que n d b nesse caso também dizemos que n é um múltiplo de d Assim p pZ nZ e dai segue p nk para algum k Z e portanto np e teremos n 1 ou n p Se n 1 vem I Z e se n p vem I J como queriamos demonstrar ii i Suponhamos J pZ um ideal maximal em Z e seja d um divisor de p isto é p db onde b Z Vamos provar que d 1 ou d p Como J pZ Z segue que p 1 Agora seja p db então é claro que se I dZ teremos p I e J I Z Como J é maximal por hipótese segue que J pZ dZ I ou I dZ Z Na primeira possibilidade d pZ ou seja d pa e dai segue que p pab e como p 0 segue a b 1 a b Z Assim temos que a 1 b 1 e isto finalmente nos diz que d p Na segunda possibilidade d Z Z segue imediatamente que d 1 Assim acabamos de provar que os únicos divisores de p são 1 e p isto é p é um número primo 5 Factorização única Antes de enunciarmos o teorema principal deste parágrafo vamos fazer uma observação Seja n Z u 1 1 e p₁ pₖ números primos positivos Vamos usar a expressão n up₁ pₖ de tal modo que incluirmos na mesma a possibilidade n 1 no caso de k 0 e n p₁ no caso de k 1 TEOREMA 5 Z é um Dominio Fatorial Todo número inteiro não nulo n pode ser escrito na forma n up₁ pₖ onde u 1 1 e p₁ p₂ pₖ primos positivos não necessariamente distintos Mais ainda essa expressão é única Suponhamos agora verdadeira a unicidade toda vez que tivermos um produto de r fatores primos positivos onde 1 r k e vamos provar a unicidade para r fatores primos positivos Temos p₁ p₂ pₖ p₁ p₂ pₖ k 2 Pela Proposição 5 do parágrafo anterior segue que pᵢ pᵢ para 1 j s tal que p₁pᵢ e como são primos positivos segue que p₁ pᵢ para algum j 1 j s De modo análogo pᵢ pᵢ para algum i 1 i k Agora como p₁ p₂ pₖ e p₁ p₂ pₖ segue que p₁ p₁ Então teremos p₂ pₖ p₂ pₖ e dai segue pela hipótese de indução r k 1 que k 1 s 1 e p₂ p₂ pₖ pₖ e assim concluimos que k s e mais pᵢ pᵢ i 1 2 k como queriamos demonstrar É conveniente reunirnos os fatores primos iguais na expressão de um inteiro como produto de primos Assim se n 1 n p₁ pₖ podemos rescrever a expressão acima e obtemos n qm₁ qm₂ qmₗ onde q₁ q₂ qₗ são os fatores primos distintos de n e pelo Teorema 1 os números inteiros positivos m₁ mₗ são univocamente determinados pelo inteiro n PROPOSIÇÃO 6 O conjunto de números primos é infinito Demonstração É suficiente provarmos que o conjunto de números primos positivos é infinito Suponhamos por absurdo que existem um número finito p₁ pₙ de primos positivos Seja n p₁ pₙ 1 existe pelo teorema 1 um primo p tal que divide m Se p pᵢ para algum i então p divide 1 contradição Esses argumentos acima podemos concluir imediatamente a seguinte proposição PROPOSIÇÃO 7 O número de divisores de um número inteiro não nulo é finito EXERCÍCIOS 1 Sejam m q1¹ qk¹ e n q1¹ qh¹ onde q1 qt são números primos e a1 ap b1 bt são inteiros 0 Prove que MDC m n q1¹ qt¹ onde Ci min ai bi 2 Sejam J1 J2 Jn ideias de Z Prove que J1 J2 Jn 3 m N tal que Jk Jm k m 3 Se J1 21Z Mostre que Z J0 J1 J2 Jn 4 Generalize o exercício 3 para primos p 2 Agora como 0 x y n temos que y x não pode ser múltiplo de n ou seja y x Assim 0 1 n 1 Zn é um conjunto contendo exatamente n elementos Para provarmos a igualdade Zn 0 1 n 1 é suficiente mostrarmos que se x Zn então x 0 1 n 1 Podemos escolher um inteiro positivo suficientemente grande tal que x x k n seja não negativo Mas é claro que x x mod n e dai segue que x x Assim é bastante provamos que x 0 1 n 1 com x 0 Pelo algoritmo de divisão temos que 3 q r Z tais que x q n r onde 0 r n Mas então x r qn ou x r mod n e portanto x x r e 0 r n como queríamos demonstrar TEOREMA 6 Seja n um número inteiro 2 a Zn Zn Zn e Zn Zn Zn x y x y x y x y x y x y definem duas operações denominadas soma e produto no conjunto Zn 0 1 n 1 b As operações acima definidas gozam das propriedades i até viii enunciadas no parágrafo 1 desse capítulo Por isso dizemos que Zn é um anel comutativo com unidade 1 c O anel Zp é um domínio de integridade isto é sem divisores de zero n é um número primo d Se n p é um número primo então Zp 0 1 p 1 além das IX propriedades enunciadas no parágrafo 1 desse capítulo goza da seguinte propriedade x Para 0 x Zp então y Zp tal que x y 1 isto é os elementos diferentes de 0 possuem inverso multiplicativo iv Comutatividade da soma x y x y y x y x v Associatividade do produto x y x y z x y z x y z x y z vi Existência do elemento unidade Claramente x I I x x e portanto Z possui unidade I vii Comutatividade do produto x y y x y x viii Distributividade x y z x y z x y x z x y x z c Vamos provar agora que Zm não possui divisores de zero n é um número primo Suponhamos que n não seja um número primo Então sabemos que n a b onde 1 a b n Agora n a b implica que 0 n a b onde a 6 0 e b 6 0 ou seja se n 2 não é primo Zm possui divisores de zero ou equivalentemente mostramos a implicação Suponhamos que n não é um número primo n p e sejam a b Zm Se a b 0 vamos provar que a 0 ou b 0 isto é Zm não possui divisores de zero Se a b 0 temos a b 0 ou seja a b 0 mod p ou ainda pa b pela proposição 5 do parágrafo 5 deste capítulo temos pa ou pb Se pa a 0 e seja pb b 0 como queríamos demonstrar d Suponhamos que n p 2 é um número primo e seja 0 x Z Podemos escolher x tal que 0 x p pois Zp 0 1 p 1 Ora p primo e 1 x p implica que MDCx p 1 e portanto 3 se Z tais que x r p s 1 dai segue passando a barra que xr ps 1 e como p 0 teremos finalmente x r 1 como queríamos de mostrar Observe que Q R C são exemplos de corpos pois são satisfeitas as propriedades de i até x para esses anéis Acabamos de ver que existem também uma infinidade de exemplos de corpos finitos Zp p primo 2 É claro que todo corpo é um domínio de integridade ou seja a propriedade x implica na propriedade ix Assim todos os exemplos de corpos também são exemplos de domínio de integridade Finalmente Z é um exemplo de domínio de integridade que não é corpo e Zm quando n 2 não é primo é um exemplo de anel comutativo com unidade porém com divisores de zero isto é não são domínios de integridade 6 Ache todos os possíveis inteiros x satisfazendo as seguintes congruências a 3x 2 mod 5 b 7x 4 mod 10 c 4x 3 4 mod 5 d 6x 3 1 mod 10 e 6x 3 4 mod 10 f 243x 17 101 mod 725 7 Prove que não existe inteiro x satisfazendo a congruência x2 35 mod 100 8 Prove que m Z temse m2 0 mod 4 ou m2 1 mod 4 9 Achar x inteiro que satisfaz simultaneamente as congruências a displaystyle x 2 mod 5 b 3x 2 mod 5 c 3x 1 mod 8 d 2x 1 mod 3 10 Sejam m n N tais que MDCm n 1 e sejam a b Z Mostre que existe inteiro x satisfazendo simultaneamente as congruências displaystyle x a mod m displaystyle x b mod n 11 Seja p um primo 1 n p n inteiro Mostre que displaystyle leftfracnpright 0 mod p 12 Use o Exercício 11 e prove que se p é um número primo então x yp xp yp mod p x y Z CAPÍTULO III ANÉIS IDEAIS E HOMOMORFISMOS 1 Definição e exemplos Seja A um conjunto não vazio onde estejam definidas duas operações as quais chamaremos de soma e produto em A e denotaremos como em ℤ por e Assim A x A A e A x A A a b a b a b a b Chamaremos A um anel se as seguintes 6 propriedades são verificadas quaisquer que sejam a b c A A1 a b c a b c associatividade da soma A2 0 A tal que a 0 0 a a existência de elemento neutro para a soma A3 x A existe um único y A denotado por y x tal que x y y x 0 existência de inverso aditivo A4 a b b a comutatividade da soma A5 a b c a b c associatividade do produto A6 a b c a b a c a b c a c b c distributividade à esquerda e à direita Se um anel A satisfaz a propriedade A7 1 A 0 1 tal que x 1 1 x x A dizemos que A é um anel com unidade 1 Se um anel A satisfaz a propriedade A8 x y A x y y x dizemos que A é um anel comutativo Se um anel A satisfaz a propriedade A9 x y A x y 0 x 0 ou y 0 dizemos que A é um anel sem divisores de zero Se A é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero dizemos que A é um domínio de Integridade E finalmente se um domínio de Integridade A satisfaz a propriedade A10 x A x 0 y A tal que x y y x 1 dizemos que A é um corpo EXEMPLOS de Anéis Comutativos No capítulo anterior vimos os seguintes exemplos de anéis ℤ n ℤ ℤn ℝ ℚ ℝ2 ℚ2 Observe que todos esses anéis são comutativos e os únicos anéis dessa lista que não possuem unidade são n ℤ onde n 2 Por exemplo A 2 ℤ o anel dos inteiros pares não possui unidade Os únicos anéis que possuem divisores de zero da lista acima são os anéis A ℤ onde n 2 não é um número primo Por exemplo no anel ℤ 0 1 2 3 4 5 temos que 2 3 0 isto é 2 e 3 são divisores de zero em ℤ Z2 a b2 a b ℤ são exemplos de domínios de Integridade que não são corpos E finalmente ℚ ℝ ℚ2 e Zp p primo são todos exemplos de corpos sendo que os Zp p primos 2 nos dão uma infinidade de exemplos de corpos finitos É fácil verificarmos que substituímos o 2 por um primo p 2 no exemplo Z2 construímos uma infinidade de exemplos Zp a bp a b ℤ de domínios de integridade que não são corpos Analogamente ℚp p primo 2 nos dão uma infinidade de exemplos de corpos ℚp a bp a b ℚ intermediários entre ℚ e ℝ Por exemplo se x a bp e então y a² bp tal que x y y x 1 Se i 1 ℂ então ℤi a bi a b ℤ é um domínio de integridade tal que Z Zi ℂ Analogamente ℚi a bi a b ℚ é um corpo tal que ℚ ℚi ℂ Observe também que ℝi a bi a b ℝ é tal que ℝ ℝi Em capítulos posteriores veremos uma infinidade de exemplos de corpos K tais que ℚ K ℂ Vamos ver agora mais um exemplo de anel comutativo com divisores de zero Seja A ℱℝ o conjunto de todas as funções f ℝ ℝ Vamos definir duas operações no conjunto A do seguinte modo A x A A onde f gx fx gx x ℝ f g f g A x A A onde f gx fx gx x ℝ f g f g Observe que a função constante zero é o elemento neutro em relação à adição de A e a função constante 1 é o elemento unidade de A As demais propriedades que definem um anel comutativo são claramente verificadas Assim A ℱℝ é um anel comutativo com unidade Porém se f ℝ ℝ é definida por fx 0 se x 0 x se x 0 e gx x² se x 0 0 se x 0 termos denotando a função constante zero por 0 f 0 g 0 e f g 0 Assim o anel ℱℝ é um anel comutativo com unidade e com divisores de zero Se denotarmos por ℋℝ respectivamente ℳℝ o conjunto de todas as funções contínuas respectivamente deriváveis f ℝ ℝ então de modo análogo ao anterior podemos definir as operações de e no conjunto ℋℝ respectivamente ℳℝ e também teremos que ℋℝ respectivamente ℳℝ é um anel comutativo com unidade e com divisores de zero EXEMPLOS DE ANÉIS NÃO COMUTATIVOS Seja A o conjunto de todas as matrizes reais 2 x 2 isto é A a b a b c d ℝ c d O quadro numérico a b de números reais dizse uma matriz real 2 x 2 Dizemos que a b c d a a b b c c d d Vamos agora definir as operações e no conjunto A acima o qual denotaremos por Mat2R Sejam a b c d a b c d R soma a b a b aa bb c d c d cc dd produto a b a b aa bc ab bd c d c d ca dc cb dd Podese provar que Mat2R é um anel onde 0 0 0 é o elemento neutro para a e 1 1 0 0 1 é a unidade de Mat2R Portanto Mat2R é um anel com unidade Observe que se a R e X 0 a 0 0 Mat2R então XX 0 0 por a b R Assim o anel Mat2R possui uma infinidade de divisores de zero Observe também que 0 0 a² 0 0 0 ou seja a equação X² 0 possui infinitas soluções no anel Mat2R Consideremos agora os elementos 1 1 1 0 e 1 0 de Mat2R e calculemos 1 0 1 1 1 2 0 1 1 1 0 0 e portanto Mat2R é um exemplo de anel não comutativo com unidade e com divisores de zero generalize esse exemplo para MatnR n 2 Vamos definir as operações de soma e produto em R4 Sejam a b c d a b c d R soma a b c d a b c d aa bb cc dd produto a b c d a b c d aa bb cc dd ab ba bd cd accdb bc adj ad bc bc cbk Podese provar que R4 é um anel cujo elemento neutro é 0 0 0 0 e cuja unidade é 1 0 0 0 É fácil verificarmos que 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 e portanto R4 é um exemplo de anel não comutativo com unidade Vamos agora fazer algumas identificações a a 0 0 0 i 0 1 0 0 j 0 0 1 0 k 0 0 0 1 a bi cj dk a b c d Com essas identificações chegamos ao conjunto a bi cj dk a b c d R onde a bi cj dk a bi cj dk a a b b c c e d d que será denotado por Quat Mais ainda identificando as operações e teremos que verifique i² j² k² 1 j i k j i k j k i k j i k j j i k j e as operações em Quat são definidas por sejam a b c d b c d R soma a bi cj dk a bi cj dk a a b bi c cj d dk Para efetuar o produto é suficiente levarmos em conta as regras acima e usarmos a distributividade Assim a bi cj dka bi cj dk aa bb cc dd ab ba cd dci ac bd bc adj ad bc bc cbk Portanto o anel R4 pode ser identificado como o anel Quat 0 0 0i 0j 0k e 1 1 0i 0j 0k são respectivamente o elemento neutro e a unidade de Quat Como i j k são conhecidos que Quat é um exemplo de um anel não comutativo com unidade O anel Quat recebe o nome de anel dos Quaternions É fácil provar que se x a bi cj dk 0 então existe um elemento y a bi cj dk em Quat tal que xy yx 1 Assim o anel dos quaternions para ser um corpo só falta a propriedade A8 comutatividade do produto Por isso dizemos que Quat é um anel de divisão ou um corpo não comutativo Observe que Quat R é mais ainda existem 3 cópias do corpo C dentro do anel Quat quais sejam a bi a b R a cj a c R e a dk a d R Como última observação podemos dizer que em Quat existem infinitas soluções para a equação X² 1 Provaremos mais tarde que em um corpo o número de soluções de uma equação polinomial é limitado pelo grau da equação 3 y Z tal que x y y x T MDC x n 1 isto é os elementos x 0 x n invertíveis em Zn são aqueles tais que MDC x n 1 9 Seja p um número primo 2 e seja Zp a bp a b Q Vamos definir uma soma e um produto em Zp do seguinte modo d Seja x um elemento nilpotente em A Mostre que se A possui unidade 1 A então o elemento 1 x possui inverso multiplicativo calcule uma fórmula para esse inverso PROPOSIÇÃO 1 Seja A um anel e seja B um subconjunto de A Então B é um subanel de A se e somente se as seguintes condições são verificadas i 0 B o elemento neutro de A pertence a B ii x y B x y B B é fechado para a diferença iii x y B x y B B é fechado para o produto Demonstração Se B é um subanel então por definição temos claramente as condições i ii e iii Observe que o elemento neutro 0 de B é relativamente a adição é o mesmo elemento neutro 0 de A pois se b B então 0 b b 0 Suponhamos que B A e as três propriedades i ii e iii são satisfeitas Por i segue que B e por i temos que se x B então x B Agora por ii e por termos se x y B então x y B e y B isto é B é fechado para a soma Por iii B é fechado para o produto Como as propriedades associativa comutativa e distributivas são hereditárias segue imediatamente que B é um subanel de A EXEMPLOS Se B é subanel de A vamos usar a notação B A Nos parágrafos anteriores já vimos os seguintes exemplos de subanéis a ℤ ℝ ℂ Quat onde n ℕ b gℝ ℚ ℝ ℂ c nℤ ℤ ℝ ℚ onde n ℕ e p é um número primo 2 Por exemplo vamos provar que ℤp é um subanel de ℝ De fato ℤp ℝ e mais i 0 0 0 p ℤp ii x a b p y c d p x y a c b d p iii x a b p y c d p x y ac pd bc ad p e portanto ℤp a b p a b ℤ é um subanel de ℝ de ℝ enquanto ℚi é um subcorpo de ℂ Observe também que ℤ2 0 T não é um subanel de ℤ3 0 T 2 O exemplo 2ℤ ℤ nos mostra que um subanel de um anel com unidade não possui necessariamente unidade Agora vamos ver um exemplo de um subanel B de um anel A tal que a unidade 1 de B é diferente da unidade 1 de A Seja A Mat2ℝ e seja B a 0 a ℝ Claramente B é um subanel de A Vamos agora mostrar que 1 1 0 é a unidade de A Mat2ℝ enquanto 1 1 0 é a unidade de B observe que 1 B De fato a bc d a b c d a b a b c d ℝ e a 01 0 1 0a 0 a 0 a ℝ Vamos mostrar em seguida que essa patologia não ocorre em anéis sem divisores de zero PROPOSIÇÃO 2 As únicas soluções da equação x² x em um domínio de integridade são 0 e 1 Demonstração Seja D um domínio de integridade e x D tal que x² x Assim temos x² x xx 1x x 1x 0 e daí segue que x1 0 ou x 0 isto é x 1 ou x 0 como quisermos demonstrar COROLÁRIO Seja D um domínio de integridade com unidade 1 e seja B um subanel de D com unidade 1 Então 1 1 Demonstração Pela nossa definição de unidade 1 e 1 são diferentes de 0 e como 1² 1 e 1² 1 o corolário segue imediatamente da Proposição 2 Observe que no anel ℤ6 0 T 2 3 4 3 que não é um domínio temos que 0 T 3 e 4 são raízes da equação x² x EXERCÍCIOS 1 Seja Biiℕ uma sequência de subanéis de um anel A Prove que B iℕ Bi é também um subanel de A 2 Seja Biiℕ uma sequência de subanéis de um anel A Prove que se B0 B1 Bn então B iℕ Bi é também um subanel de A 3 Mostre que ℤ3 0 T 2 não é subanel de ℤ5 0 T 2 3 4 4 Seja A um anel e a A Prove que B x A xa ax é um subanel de A 5 Seja A um anel Prove que ZA x A xy yx y A é um subanel comutativo de A ZA é chamado o centro de A 6 Seja A um anel e a A Prove que B x A xa 0 é um subanel de A 7 Seja Kiiℕ uma sequência de subcorpos de um corpo K Prove que B iℕ Ki é um subcorpo de K 8 Seja Kiiℕ uma sequência de subcorpos de um corpo K Prove que se K1 K2 Kn então B iℕ Ki é um subcorpo de K 9 Seja K um corpo e seja P a interseção de todos os subcorpos de K Prove que P é o menor subcorpo de K P é chamado de corpo primo de K 10 Calcule todos os subanéis de ℤ12 Um dominio de integridade D é dito de característica 0 se m 0 sempre que ma 0 como a D a 0 e m N D dizse de característica finita se existe a D a 0 tal que ma 0 para algum inteiro m 0 Nesse caso definimos como a característica de D o menor inteiro positivo m tal que ma 0 para alguma a D a 0 Prove que a se característica de D é portanto p x 0 x D b a característica de D ou é zero ou um número primo Sugestão para o Exercício 11 p x p 1 x x D Se o anel A for comutativo então as condições iv iv e v são equivalentes e as 3 noções acima coincidem Claramente 0 e A são ideais de A ditos ideais triviais de A Os ideais não triviais de A são também chamados ideais próprios de A EXEMPLO 1 Seja A o anel Mat₂ℝ a b a b c d ℝ e sejam I e J definidos como segue I a 0 a c ℝ e J a b a b ℝ Escolhamos s m 1 s m 2 de modo que asm 0 Assim a¹ 0 asm 0 1 0 e I e como 1 0 0 1 é a unidade do anel A segue imediatamente que a b c d Mat₂ℝ Acabamos de provar então que se I 0 é um ideal de Mat₂ℝ então I Mat₂ℝ como queríamos demonstrar Observe que usamos acima o fato de ser 0 1 um anel contendo as funções constantes EXEMPLO 3 Seja A um anel x1 x2 dots xn in A É de direita verificação que o conjunto denotado é definido por A cdot x1 A cdot x2 cdots A cdot xn a1 cdot x1 cdots an cdot xn ai in A é um ideal à esquerda de A o qual é chamado de ideal à esquerda gerado por x1 x2 dots xn in A O ideal I A cdot x1 é dito ideal principal à esquerda gerado por x1 in A Analogamente podese definir ideal à direita de A gerado por x1 dots xn in A também ideal principal à direita gerado por x1 in A Claramente se A é um anel comutativo esses ideais são bilaterais isto é à esquerda e direita simultaneamente Observe que se A 2 cdot Z e x1 2 in A então o ideal principal I A cdot x1 4 cdot Z não contém o elemento gerador x1 É uma imediata consequência de considerações anteriores que se A é um anel com unidade então o ideal gerado por x1 ldots xn é o menor ideal de A contendo os geradores x1 dots xn Agora vamos ver um Teorema caracterizando corpos TEOREMA 1 Seja K cdot um anel comutativo com unidade 1 em K Então as seguintes condições são equivalentes a K é um corpo b 0 é um ideal maximal em K c os únicos ideais de K são os triviais Demonstração a Rightarrow b Seja K um corpo e seja J um ideal de K tal que 0 subset J subset 0 Suponhamos J 0 Assim existe a in J Como K é um corpo existe b in K tal que a cdot b 1 e portanto 1 in J daí segue imediatamente que J K como queríamos demonstrar b Rightarrow c Segue imediatamente das definições c Rightarrow a Para K ser um corpo falta apenas a propriedade A10 qual seja forall a in K a eq 0 exists b in K tal que a cdot b b cdot a 1 Seja I eq a in K I K cdot a o ideal principal de K gerado por a Ora a 1 cdot a in I nos diz que I eq 0 e assim pela nossa hipótese teremos I K PROPOSIÇÃO 4 Sejam A um anel e J um ideal de A Se barx x J e bary y J então a barx bary barx y b barx cdot bary barx cdot y O item a diz que a classe da soma independe dos representantes das classes das parcelas enquanto o item b diz que a classe do produto independe dos representantes das classes dos fatores TEOREMA 2 Seja A um anel e J um ideal de A Se barx x J e A J x x in A então a A J imes A J o A J e cdot A J imes A J o A J definem duas operações denominadas soma e produto em A J b A J cdot é um anel chamado anel quociente de A por J c Se 1 é a unidade de A então 1 é a unidade de A J d Se A é comutativo então A J é comutativo Demonstração a Pela Proposição 4 as regras barx bary barx y e barx cdot bary barx cdot y definem operações no conjunto A J b Veja a demonstração do Teorema 1 do parágrafo 6 do Capítulo 2 e demonstre o item b c 1 cdot x 1 cdot x in A e 1 cdot x x forall x in A J d Se barx cdot bary bary cdot barx e xy in A então claramente teremos barx cdot bary bary cdot barx forall xy in AJ TEOREMA 3 Seja A um anel comutativo com unidade 1 e A e J um ideal de A Então J é ideal maximal de A AJ é um corpo EXERCÍCIOS 1 Mostre que a interseção de ideais de um anel A é também um ideal de A 9 Seja A ℝ0 1 o anel das funções reais contínuas com as operações usuais de soma e produto de funções definidas no intervalo 0 1 Prove que se M é um ideal maximal de A então a 0 1 tal que M f A fa 0 d Se A e A são corpos então ou f é a função constante zero ou f é injetiva Demonstração a É claro que em um anel a equação X X X tem o elemento neutro como única solução e assim temos 0 0 0 f0 0 f0 f0 f0 e portanto f0 0 que é o elemento neutro de A Agora vamos provar que se D ZP então Aut D IdD σ onde σ ZP ZP definida por σm nP m nP m n Z Primeiramente temos que σ1 1 pois D ZP é um domínio e daí segue imediatamente que σm m m Z Portanto se σ AutD vem σm nP m nσP m n Z como desejávamos mostrar TEOREMA 4 Sejam A e A anéis e f A A um homomorfismo Então 1 Im f fa a A é um subanel de A 2 Nf a A fa 0 é um ideal de A e f é injetiva Nf 0 3 Os anéis ANf e Im f são isomorfos Demonstração 1 De fato claramente temos i 0 f0 e Im f Im F F x x AN f f x x A Im f logo AN f Im f como queríamos demonstrar O subanel Im f dizse Imagem de f e o ideal N f dizse Núcleo de f Antes de encerramos o parágrafo vamos mostrar que se A ℓ 0 1 ℓ f A f 0 0 então AI R De fato sabemos que I é um ideal máximo em A e portanto pelo teorema 2 AI é um corpo Agora seja f A e f 0 a R Então h f a I e temos h f a 0 ou seja f a onde a R Evidentemente se a₁ a₂ temse a₁ a₂ de tais considerações segue que R AI é um homomorfismo bijetivo isto é R AI Exercícios 1 Calcule End Z i e Aut Q i 2 Prove que os anéis 2Z e 3Z não são isomorfos 3 Prove que os corpos Q2 e Q3 não são isomorfos 4 Seja A um grupo abeliano Prove que a se f g End A então f g End A onde f gx f x g x x A b Se f g End A então f g End A onde f gx f gx x A c End A é um anel com as operações definidas em a e b 5 Sejam A e A anéis Defina e no conjunto A A a a a A a A de modo que A A seja um anel com essas operações 6 Se A A e o anel definido em 5 Prove que π₁ A A A e π₂ A A A são homomorfismos sobrejetivos Calcule a a a os núcleos de π₁ e π₂ 7 Seja f A A um homomorfismo e J um ideal de A Prove que f1 J a A f a J é um ideal de A 15 Seja A um anel com unidade 1 A e sejam e₁ eₙ A 0 idempotentes de A tais que 1 e₁ eₙ eₑ eᵢ 0 se i j 1 i j n Prove que se Aᵢ A e i a A a e Aᵢ então A A₁ Aₙ isto é a A são únicos elementos a₁ A₁ i 1 n tais que a a₁ aₙ produto a b c d a b c d Observe que se b d D então b d D pois D é um domínio de integridade Como das vezes anteriores em que definimos operações em conjuntos quocientes vamos provar que as operações acima estão bem definidas em K De fato suponhamos que a b a b e c d c d então 1 a b c d a b c d 2 a b c d a b c d De a b a b c d segue que ab ba e cd dc em D Agora a b c ad bc bd em D abbd cdbb abd cdbb em D e 1 segue das igualdades ab ba e cd cd Para a demonstração de 2 basta observar que a c b d D e o resultado segue pelas igualdades ab a b c d cd Vamos denotar por a a1 onde a D e 1 é a unidade de D e denotaremos D a a1 a D K ab a D b D É fácil provar que D é um domínio de Integridade com unidade 1 D Aliás 1 é tal que q K então ab K então ab 1 1 ab ab e mais ainda q K temos ab 0 0 ab ab