Exercícios Resolvidos sobre Conjuntos, Partição e Relações de Equivalência

EXERCÍCIOS 1 Seja A um conjunto não vazio e PA o conjunto das partes de A Dizemos que um conjunto não vazio P PA é uma partição do conjunto A se i B₁ B₂ P B₁ B₂ B₁ B₂ ii B A BP Prove que se x y A e definimos x y B P tal que x y B então define uma relação de equivalência no conjunto A Mais ainda A P 2 Seja A um conjunto não vazio e uma relação de equivalência em A Prove que A é uma partição do conjunto A 3 Sejam A₁ A₂ Aₙ conjuntos Definimos A₁ A₂ Aₙ a₁ a₂ aₙ aᵢ Aᵢ i 1 2 n onde a₁ a₂ aₙ b₁ b₂ bₙ aᵢ bᵢ i 1 2 n E chamamos A₁ A₂ Aₙ de produto cartesiano dos conjuntos A₁ A₂ Aₙ Se A A₁ A₂ Aₙ esse produto é denotado por Aⁿ Perguntase É Pℝ ℝ Pℝ Pℝ Justifique 4 Se A 01 e B 023 Calcule PA B e PA PB 5 Dê 3 exemplos de relações binárias no conjunto ℝ dos números reais tais que no 1º exemplo a relação não seja reflexiva no 2º exemplo não seja simétrica e no 3º exemplo não seja transitiva 6 Seja f X Y uma função Prove que x₁ x₂ X x₁ x₂ fx₁ fx₂ define uma relação de equivalência no conjunto X Nesse caso dizemos que é a relação de equivalência induzida por f 7 Descreva as classes de equivalência e os conjuntos quocientes em relação a induzida pelas seguintes funções a f ℝ ℝ x fx x² 5x 6 b f ℤ ℤ x fx x² 7x 10 c f ℝ ℝ ℝ xy fxy y d f ℝ ℝ ℝ xy fxy x² y² 8 Prove que xy xy xy xy define uma relação de equivalência no conjunto ℤ ℤ onde ℤ ℤ 0 9 Dê exemplo de relações de equivalência em um conjunto X tais que a X X b x x x X c X seja um conjunto infinito e o conjunto X contenha exatamente 11 elementos d X seja um conjunto infinito e X também seja um conjunto infinito 10 Teste a validade das propriedades reflexiva simétrica e transitiva para as relações binárias definidas através dos seguintes subconjuntos Ω ℝ ℝ ℝ² plano real a Ω xy ℝ² x 0 e y 0 b Ω xy ℝ² y x c Ω xy ℝ² x 0 e y 0 d Ω xy ℝ² x² y² 1 e Ω região dos pontos xy do plano tais que 1 y x 1 11 Uma relação entre pares de elementos de um conjunto A dizse uma relação de ordem parcial em A se i x x x ℝ ii x y e y x x y x y A iii x y e y z x z x y z A Uma relação de ordem parcial dizse total ou linear se iv x y A temse x y ou y x Prove que a x y y x é não negativo define uma relação de ordem total no conjunto ℤ b Se A ℱℝ é o conjunto de todas as funções reais f ℝ ℝ Então f g fx gx x ℝ define uma relação de ordem parcial em A que não é total em A b Se f sobrejetiva então m n c Se f bijetiva então m n 9 Seja f x1 x2 xn x1 x2 xn uma função Prove que a Se f injetiva então f sobrejetiva b Se f sobrejetiva então f injetiva Seja f R R definida por fx x² 3x 2 Calcule f¹0 f¹0 f¹ 0 e f¹1 2 Seja f R R definida por fx x² 1 Dê exemplo de conjunto não vazio B R tal que a f¹B b f¹B contém apenas um elemento 12 Seja f X Y uma função e M N Y Prove que f¹M N f¹M f¹N 13 Para cada uma das 8 leis abaixo especificadas explicite subconjuntos não vazios X Y R de modo que a y fx defina uma função f X Y b y fx defina uma função f X Y sobrejetiva c y fx defina uma função f X Y injetiva d y fx defina uma função f X Y bijetiva onde as 8 leis são as seguintes y x⁴ y² x y² 4 x² y eˣ y sen x y sen eˣ y log1x 3 e finalmente y²16 1 x²9