Análise de grupos e propriedades em álgebra linear: Tabelas de operações e propriedades

1 Em cada item julgue e justifique se temos um grupo ou não a Z b Z c Q d Z e Z f Z g 2Z h 2Z 1 i 21012 j Z3 k Z7 l Z41 m Z4 n 11 o Z em que xy x y p a0a1a6 em que aiaj aij se i j 7 e aiaj aij7 se i j 7 q G em que G é o conjunto dos racionais com denominadores ímpares 2 Mostrte que o conjunto A 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 com a operação de multiplicação usual de matrizes é um grupo abeliano 3 Mostre que o conjunto das matrizes do tipo A a b ab R a2 b2 0 munido b a da operação de multiplicação usual de matrizes é um grupo não abeliano obs A propriedade a2 b2 0 significa apenas que a e b não podem ser simultaneamente nulos 4 Mostre que R em que xy x3 y3 é um grupo abeliano 5 Mostre que R em que xy x y 3 é um grupo abeliano 6 Mostre que R x R 00 em que abcd ac bd ad bc é um grupo abeliano 7 Mostre que Q x Q em que abcd ac bc d é um grupo 8 Construa a tábua da operação sobre G ea sabendo que G é um grupo 9 Construa a tábua da operação sobre G eab sabendo que G é um grupo 10 Construa a tábua de um grupo G eabcdf sabendo que G é abeliano o neutro de G é e ad bc f ac bb d af bd e e cd a 11 Sejam G um grupo e abc G Mostre que abc1 c1 b1 a1 12 Seja G um grupo abeliano tal que x2 e qualquer que seja x G Mostre que G é um grupo abeliano 13 Seja G um grupo tal que ab2 a2 b2 quaisquer que sejam ab G Mostre que G é abeliano 14 Seja G um grupo tal que todo elemento é seu próprio inverso Mostre que G é abeliano 15 Seja G um grupo de ordem par Mostre que G possui um elemento a e tal que a2 e ① q Lembrando o produto entre dois números ímpares é um número ímpar Sejam ab cd ef G ② ab cd ef ad cbbd ef adf cbf ebd bdf adf cbf ebd bdf Por outro lado ab cd ef ab cf eddf adf cfb edb bdf adf cbf ebd bdf Logo ab cd ef ab cd ef ii O elemento neutro de G é 01 G De fato ab 01 01 ab ab ab G iii O simétrico de ab G é o elemento ab G De fato ab ab ab ab 0 Portanto G é um grupo odf cbf ebd bdf impar impar impar Digitalizado com CamScanner Sejam α a₁ b₁ b₁ a₁ β a₂ b₂ b₂ a₂ γ a₃ b₃ b₃ a₃ A Temos i αβγ a₁ b₁ b₁ a₁a₂a₃ b₂b₃ a₂b₃ b₂a₃ b₂a₃ a₂b₃ b₂b₃ a₂a₃ a₁a₂a₃ b₂b₃ b₁b₂a₃ a₂b₃ a₁a₂b₃ b₂a₃ b₁b₂b₃ a₂a₃ b₁a₂a₃ b₂b₃ a₁b₂a₃ a₂b₃ b₁a₂b₃ b₂a₃ a₁b₂b₃ a₂a₃ Por outro lado αβγ a₁a₂ b₁b₂ a₁b₂ b₁a₂ b₁a₂ a₁b₂ b₁b₂ a₁a₂a₃ b₃ b₃ a₃ a₁a₂ b₁b₂a₃ b₃a₁b₂ b₁a₂ a₁a₂ b₁b₂b₃ a₃a₁b₂ b₁a₂ b₁a₂ a₁b₂a₃ b₃b₁b₂ a₁a₂ b₃b₁a₂ a₁b₂ a₃b₁b₂ a₁a₂ Logo αβγ αβγ ii Suponha que exista Id a b b a A tal que αId Id α α Logo a₁ b₁ b₁ a₁a b b a a₁a b₁b a₁b b₁a b₁a ba₁ b₁b aa₁ a₁ b₁ b₁ a₁ a₁a b₁b a₁ b₁a b a₁ b₁ a₁b b₁a b₁ b₁b a a₁ a₁ Portanto Id 1 0 0 1 iii Se αα Id Então a₁a b₁b 1 1 b₁a b a₁ 0 2 a₁b b₁a 0 b₁b a a₁ 1 1 a 1 b b a₁ 2 b₁ b a logo a 0 b 1b1 b1 0 logo simétrico é a 0 1b1 1b1 0 Portanto A é um grupo 5 Dados xyz IR 1 x y z x y 3 z x y 3 z 3 x y z 3 3 x y z 3 x y z 2 Elemento neutro Seja e IR tal que x e e x x logo x e 3 x e 3 0 e 3 Logo o elemento neutro é n 3 3 Elemento Simétrico Seja x x 3 com x IR então x x 3 3 x x 6 Logo o simétrico de um elemento x IR é x 6 IR 4 x y x y 3 y x 3 y x Portanto IR é um grupo abeliano 7 Vejamos se Q x Q é um grupo Sejam a1b1 a2b2 a3b3 Q x Q i a1b1 a2b2 a3b3 a1a2 b1a2 b2 a3b3 a1a2 a3 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 b1 a2 a3 b2 a3 b3 Por outro lado a1b1 a2b2 a3b3 a1b1 a2 a3 b2 a3 b3 a1 a2 a3 b1 a2 a3 b2 a3 b3 a1 a2 a3 b1 a2 a3 b2 a3 b3 Logo é associativa ii O elemento neutro é 10 Q x Q De fato ab 10 10 ab 1a 00 b ab ab Q x Q iii Seja ab Q x Q que ab ab ab ab 10 Logo aa ba b 10 ou seja a aa 1 ba b 0 onde obtemos a 1a b ba Logo o simétrico de ab Q x Q é o elemento 1a ba Q x Q Portanto Q x Q é um grupo 9 Seja G e a b Suponha que e é o elemento neutro Temos e a b e e a b a a b e b b e a Se o a a e a a1 a b e a1 b a b b 11 Sejam G um grupo e a b c G Suponha que e é o elemento neutro de G Temos abcabc1 e a1 abcabc1 a1 e a1 abcabc1 a1 bcabc1 a1 b1 bcabc1 b1 a1 b1 bcabc1 b1 a1 cabc1 b1 a1 c1 cabc1 c1 b1 a1 abc1 c1 b1 a1 Portanto abc1 c1 b1 a1 15 Como todo elemento e seu inverso possui a mesma ordem O elemento identidade é o único que tem ordem 1 Logo todo x G pode ser emparelhado com seu inverso 1x1 1x1 2 então existe um número ímpar de elementos não identidade Portanto existe x G tal que x2 e