Análise de grupos e propriedades matemáticas

1 Em cada item julgue e justifique se temos um grupo ou não a Z b Z c Q d Z e Z f Z g 2Z h 2Z 1 i 2 1 0 1 2 j Z3 k Z7 l Z4 m Z4 n 1 1 o Z em que x y x y p a0 a1 a6 em que ai aj aij se i j 7 e ai aj aij7 se i j 7 q G em que G é o conjunto dos racionais com denominadores ímpares 2 Mostre que o conjunto A 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 com a operação de multiplicação usual de matrizes é um grupo abeliano 3 Mostre que o conjunto das matrizes do tipo A a b b a ab R a² b² 0 munido da operação de multiplicação usual de matrizes é um grupo não abeliano obs A propriedade a² b² 0 significa apenas que a e b não podem ser simultaneamente nulos 4 Mostre que R em que x y x³ y³ é um grupo abeliano 5 Mostre que R em que x y x y 3 é um grupo abeliano 6 Mostre que R R 00 em que ab cd ac bd ad bc é um grupo abeliano 7 Mostre que Q Q em que ab cd ac bc d é um grupo 8 Construa a tábua da operação sobre G ea sabendo que G é um grupo 9 Construa a tábua da operação sobre G e a b sabendo que G é um grupo 10 Construa a tábua de um grupo G e a b c d f sabendo que G é abeliano o neutro de G é e a d b c f a c b b d a f b d e e c d a 11 Sejam G um grupo e a b c G Mostre que a b c1 c1 b1 a1 12 Seja G um grupo abeliano tal que x² e qualquer que seja x G Mostre que G é um grupo abeliano 13 Seja G um grupo tal que a b² a² b² quaisquer que sejam a b G Mostre que G é abeliano 16 1 a Z é grupo Sejam x y z Z temos i x y z x y z x y z ii O elemento neutro é o zero Pois 0 x x 0 x x Z iii O simétrico de x é x Z Pois x x x x 0 b O conjunto Z não é grupo Pois o simétrico de x Z é 1x e 1x Z c Q é grupo Dados a1b1 a2b2 a3b3 Q temos i a1b1a2b2 a3b3 a1b1 a2a3b2b3 a1a2a3b1b2b3 a1a2a3b1b2b3 a1a2a3b1b2b3 a1a2b1b2 a3b3 a1b1 a2b2 a3b3 ii O elemento neutro é 1 1b ab ab 1 ab ab Q iii Simétrico de ab Q é ba Q abba ba ab 1 d Z 1 não é grupo Pois não existe elemento neutro e Z não é grupo Pois não existe elemento neutro já que 0 Z f Z não é grupo Pois o simétrico de x Z é 1x Z g 2Z é um grupo Sejam 2a 2b 2c 2Z i 2a2b2c 2a 2bc 2a 2bc 2ab2c 2a2b 2c ii Elemento neutro é 0 20 2Z 2a 0 0 2a 2a a 2Z iii Elemento simétrico é 2a 2Z 2a 2a 2a 2a 0 a 2Z 1 não é grupo Pois o simétrico de 2a 1 2Z 1 é 12a1 e 12a1 2Z 1 b 2 1 0 1 2 não é grupo Pois a operação não é fechada já que 2 1 3 2 1 0 1 2 c Z3 0 1 2 temos 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 Z3 é grupo Pois a operação é associativa O elemento neutro é 0 e o simétrico de 0 é 0 1 é 2 e de 2 é 1 e Z7 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 4 4 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 6 6 5 4 3 2 1 Z7 é grupo Pois a operação é associativa elemento neutro é 1 Os simétricos são 11 1 21 4 31 5 41 2 51 3 61 6 2 Z4 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 2 1 2 3 2 1 Z4 é grupo Pois a operação é associativa o elemento neutro é 1 Os simétricos 11 1 21 2 31 3 m Z4 013 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 4 2 Z4 é grupo Pois a operação é associativa o elemento neutro é 0 Os simétricos são 01 0 11 3 21 2 31 1 n 11T 1 1 1 1 1 1 1 1 O conjunto 1 1 é grupo Pois a operação é associativa o elemento neutro é 1 Os simétricos são 11 1 e 11 1 o Vejamos se o conjunto Z com a operação x y x y é grupo Sejam x y z Z u x y z x y z x y z x y z Por outro lado x y z x y z x y z Logo x y z x y z I portanto Z não é um grupo P Temos a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a0 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a6 a1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a0 a0 a2 a2 a3 a4 a5 a6 a0 a1 a2 a3 a3 a4 a5 a6 a0 a1 a2 a4 a4 a5 a6 a0 a1 a2 a3 a5 a5 a6 a0 a1 a2 a3 a4 a6 a6 a0 a1 a2 a3 a4 a5 O conjunto a0 a1 a6 é grupo Pois a operação é associativa o elemento neutro é a0 Os simétricos são a01 a0 a11 a6 a21 a5 a31 a4 a41 a3 a51 a2 a61 a1 q Seja a1b1 a2b2 a3b3 G Temos x a1b1 a2b2 a3b3 a1b2 a2b1 b1 b2 a3b3 impar pois multiplicar ímpares é ímpar a1 b2 b3 a2 b1 b3 a3 b1 b2 b1 b2 b3 a1 b2 b3 a2 b1 b3 a3 b1 b2 b1 b2 b3 impar multiplicação de ímpares é ímpar Por outro lado a1b1 a2b2 a3b3 a1b1 a2 b3 a3 b2 b2 b3 impar a1 b2 b3 a2 b3 b1 a3 b2 b1 b1 b2 b3 a1 b2 b3 a2 b1 b3 a3 b1 b2 b1 b2 b3 Logo a1b1 a2b2 a3b3 a1b1 a2b2 a3b3 i O elemento neutro é 01 G Pois ab 01 01 ab b0 a1b1 ab ii O elemento simétrico de ab G é o elemento ab G Pois ab ab ab ab 0 Portanto G é um grupo 2 Considere o conjunto A α 1 0 0 1 β 1 0 0 1 μ 1 0 0 1 γ 1 0 0 1 Considere a tabela de operacão α β μ γ α α β μ γ β β α γ μ μ μ γ α β γ γ μ β α Logo A é um grupo com elemento neutro α 1 0 0 1 os simétricos são α¹ α β¹ β μ¹ μ γ¹ γ Além disso é comutativo 3 Sejam α a1 b1 b1 a1 β a2 b2 b2 a2 γ a3 b3 b3 a3 A Temos i α β γ a1 b1 b1 a1 a2 a3 b2 b3 a2 b3 b2 a3 b2 a3 a2 b3 b2 b3 a2 a3 a1 a2 a3 b2 b3 b1 b2 a3 a2 b3 a1 a2 b3 b2 a3 b1 b2 b3 a2 a3 b1 a2 a3 b2 b3 a1 b2 a3 a2 b3 b1 a2 b3 b2 a3 a1 b2 b3 a2 a3 Por outro lado α β γ a1 a2 b1 b2 a1 b2 b1 a2 b1 a2 a1 b2 b1 b2 a1 a2 a3 b3 b3 a3 a1 a2 b1 b2 a3 b3 a1 b2 b1 a2 a1 a2 b1 b2 b3 a3 a1 b2 b1 a2 b1 a2 a1 b2 a3 b3 b1 b2 a1 a2 b3 b1 b2 0 a1 a3 b1 b2 0 a1 Logo αβγ αβγ ii Suponha que exista Id α b b α A tg α Id Id α α Logo a1 b1 b1 a1α b b α a1a b1b a1b b1a b1a ba1 b1b aa1 a1 b1 b1 a1 a1a b1b a1 b1a ba1 b1 a1b b1a b1 b1b aa1 a1 Portanto Id 1 0 0 1 iii Se α α Id Então a1a b1b 1 1 b1a ba1 0 2 a1b b1a 0 b1b aa1 1 1 a 1 b1ba1 2 b1 b1 a b Logo a 0 b 1b1 b1 0 Logo simétrico é α 0 1b1 1b1 0 Portanto A é um grupo 4 Sejam x y z IR Temos i x y z x y3 z3 x3 y3 z33 x3 y3 z3 Por outro lado x y z x3 y3 z x3 y33 z3 x3 y3 z3 Logo x y z x y z ii Suponha que exista e IR tal que e x x e x x IR Então e x e3 x3 x e3 x3 x e3 x33 x3 e3 x3 x3 e3 0 e 0 Portanto elemento neutro é e 0 iii Suponha que x x 0 para algum x IR Então x x x3 x3 0 x3 x3 0 x x Logo simétrico de x é x iv x y x3 y3 y3 x3 y x Ou seja x y y x Portanto IR é um grupo abeliano 5 Sejam x y z IR Temos i x y z x x z 3 x y z 3 3 x y z 6 Por outro lado x y z x y 3 z x y 3 z 3 x y z 6 Logo x y z x y z ii Suponha que exista e IR tal que x e e x x x IR Então x e x e 3 x x e 3 x e 3 Portanto elemento neutro é e 3 iii Suponha que exista x IR tal que x x x x 3 Então x x 3 3 x x 3 x x 6 Logo o simétrico de x é x 6 iv x y x y 3 y x 3 y x ou seja x y y x Portanto IR é um grupo abeliano 6 Sejam ab cd ef IR x IR 00 i ab cd ef ac bd ad bc ef ac bde od bcf ac bdf od bce Por outro lado ab cd ef ab ce df cf de ace df bcf de acf de bce df ace odf bcf bde acf ade bce bdf ac bde ad bcf ac bdf ad bce Logo ab cd ef ab cd ef ii Suponha que exista e1 e2 IR x IR 00 tal que ab e1 e2 e1 e2 ab ab Logo ae1 be2 ae2 be1 ab ou seja ae1 be2 a 1 ae2 be1 b 1 e1 a be2 a 2 ae2 b a be2a b ae2 baa b2 e2a b a2 b2e2 a 0 e2 0 e1 1 Logo elemento neutro é 10 iii Suponha que a b a b 1 0 para algum a b R x R 00 aa bb ab ba 1 0 ou seja aa bb 1 1 ab ba 0 2 1 a 1 bb a 2 ab b b² b a 0 a² b b² b b a a² b² b b b b a² b² a 1 b b a² b² a a 1 b² a² b² 1 a a 1 b² a³ ab² Logo simétrico é 1 b² a³ ab² b a² b² a b c d ac bd ad bc Por outro lado c d a b ca db cb da ac bd ad bc Logo a b c d c d a b Portanto R x R 00 é um grupo abeliano 7 Sejam a b c d e f R x R i a b c d e f ac bd bc d e f ac e bc d e f Por outro lado a b c d e f a b ce de f a ce b ce de f ac e bc d e f Logo a b c d e f a b c d e f ii Suponha que exista e₁ e₂ R x R tal que a b e₁ e₂ a b ou seja ae₁ be₁ e₂ a b Logo ae₁ a e₁ 1 be₁ e₂ b e₂ 0 Elemento neutro é 10 iii Suponha que exista a b ℝ x ℝ com a ba b a ba b 10 ou seja aa ba b 10 Logo aa 1 a 1a ba b 0 b ba Simétrico é 1a ba Portanto ℝ x ℝ é um grupo 8 G e a Seja e o elemento neutro e a e e a a a e 9 G e a b Seja e o elemento neutro e a b e e a b a a b e b b e a 10 G e a b c d f e a b c d f e e a b c d f a a b c d f e b b c d f e a c c d f e a b d d f e a b c f f e a b c d 11 Sejam G um grupo e a b c G Temos abc¹ e onde e é o elemento neutro de G Então abcabc¹ e abcabc¹ e a¹abcabc¹ a¹ e bcabc¹ a¹ b¹bcabc¹ b¹a¹ cabc¹ b¹a¹ c¹cabc¹ c¹b¹a¹ abc¹ c¹b¹a¹ Portanto abc¹ c¹b¹a¹ 12 Seja G um grupo tal que x² e x G Observe que x² xx e x¹xx x¹ e x x¹ Sejam x y G temos xy xy¹ y¹ x¹ yx Logo xy yx x y G Portanto G é abeliano 13 Seja G um grupo tal que ab² a² b² para a b G Temos ab² abab Por outro lado ab² a² b² Logo abab a²b² abab aabb a¹ababb¹ a¹aabbb¹ ba ab Portanto G é comutativo 14 Seja G um grupo tal que x x1 x G Temos xy xy1 y1 x1 yx Logo xy yx e portanto G é abeliano 15 Seja G um grupo de ordem par Sabemos que um elemento e seu inverso tem a mesma ordem Logo existe um número ímpar de elementos diferentes da identidade Considere x G tal que x 2 Tomando os pares x x1 2 Ó existe um elemento não emparelhado então existe a G tal que a2 e