Exercícios Resolvidos sobre Relações de Equivalência em Teoria dos Números

Exercício Mostre que define uma relação de equivalência em A Decida se cada uma das sentenças abaixo define uma relação de equivalência Justifique a x ymod 30 b xy c MDCxy 1 d x y 77 Prove que xy x y xy xy define uma relação de equivalência sobre ℝ² A seguir descreva as classes 00 e 11 Finalmente descreva ℝ² Descreva a classe de equivalência e o conjunto quociente em relação a induzida pela função f ℝ x ℝ ℝ dada por fxy y Prove que se a 0 e bc ℤ então MDCab ac aMDCb c Quais dos seguintes subconjuntos I de ℤ são ideais de ℤ Justifique a I m Z MDC7m 1 b I m ℤ m é um divisor de 24 c I m ℤ 24 é um divisor de m Se I1 I2 In1 são ideais de Z Prove que J Ik é um ideal de Z Ache todas as soluções possíveis da congruência 4x 3 4mod 5 Prove que não existe inteiro x satisfazendo a congruência x² 35mod 100 Questão 1 o a Considere a seguinte relação x y se x y mod 30 Vejamos se é uma relação de equivalência 1 é Reflexiva x x mod 30 Pois 30xx desde que 0 300 Logo x x 2 é simétrica suponha x y então x y mod 30 ou seja 30xy Logo x y 30n com n ℤ ou seja y x 30n n ℤ Portanto y x mod 30 isto é y x 3 é transitiva suponha x y e y z então x y mod 30 e y z mod 30 ou seja 30xy e 30yz Logo x y 30n e y z 30m nm ℤ Assim obtemos x z x y y z x y y z 30n 30m 30 n m ℤ Logo 30 x z ou seja x z mod 30 Portanto é transitiva Portanto é uma relação de equivalência b considere a seguinte relação x y se x y Essa relação não é uma relação de equivalência Pois 2 4 mas 4 2 Logo não é simétrica c Considere a seguinte relação x y se MDCxy 1 Essa não é uma relação de equivalência Pois MDC22 2 Logo não é reflexivo d Considere a relação x y se x y 77 Essa não é uma relação em Z Pois se x x então x x 77 2x 77 x 772 x 385 Z Logo não é reflexiva Portanto a relação dada não é uma relação de equivalência em Z Questão 2 xy xy xy xy define uma relação de equivalência em ℝ² Prova Sejam xy xy xy ℝ² Temos i é reflexiva como xx xx então xx xx ii é simétrica Temos que se xy xy então xy xy logo xy xy e portanto xy xy iii é transitiva se xy xy e xy xy Então xy xy e xy xy Logo xy xy e portanto xy xy Portanto concluímos que é uma relação de equivalência sobre ℝ² Temos dado xy ℝ² tal que xy 00 então xy 00 0 Logo 00 xy ℝ² xy 0 Agora dado xy ℝ² tal que xy 11 Então xy 11 1 Portanto 11 xy ℝ² xy 1 ℝ² é o conjunto de hipérboles xy k com k ℝ Questão 3 Considere a relação x y se existe f IR x IR IR tal que fxy y Temos x y f IR x IR IR fxy y τ a o conjunto quociente é IR Questão 4 Prova Seja mdcbc d Queremos mostrar que mdcab ac ad Logo precisamos verificar que i ad ab e ad ac ii se x é um divisor comum de ab e ac então xad Então i como d mdcbc então d b logo dab Analogamente como dlc então gd I ac ii Pelo teorema de Bezout existem r s Z tais que d rb sc Logo ad arb asc rab sac Se d Z tal que d ab e d ac logo por segue d ad Portanto mdcab ac ad ou seja mdcab ac a mdcbc Questão 5 a Seja I m Z mdc 7 m 1 Vejamos se I é um ideal de Z Sejam 4 I e f Z Temos que 4 f 14 I pois mdc 7 14 7 Portanto I não é um ideal de Z b Considere I m Z m é um divisor de 24 ou seja 24 m k k Z I não é um ideal de Z Pois se m 24 I e 2 Z temos 2 24 48 I pois 48 não é um divisor de 24 c Considere I m Z 24 é um divisor de m ou seja m I então m 24 k com k Z Sejam m₁ m₂ I então m₁ 24 k e m₂ 24 q com k q Z Logo m₁ m₂ 24 k 24 q 24 k q I k Z Logo m₁ m₂ I Agora sejam a Z e m 24 k I Então am a 24 k 24 a k I a k Z Logo am I Portanto I é um ideal de Z Questão 6 Prova Sejam I₁ I₂ Iₖ Ik1 ideais de Z Considere J k1 Iₖ Primeiro observe que J Pois J é a união de conjuntos não vazios Sejam a b J Então existem k₁ k₂ tais que a Iₖ₁ e b Iₖ₂ Se k₁ k₂ então a b Iₖ₁ Como Iₖ₁ é um ideal de Z logo a b Iₖ₁ e portanto a b J Se k₁ k₂ então Iₖ₁ Iₖ₂ Logo a b Iₖ₂ como Iₖ₂ é um ideal de Z então a b Iₖ₂ Portanto a b J Se k₁ k₂ então Iₖ₂ Iₖ₁ Logo a b Iₖ₁ como Iₖ₁ é um ideal de Z segue a b Iₖ₁ Portanto a b J Pelos casos anteriores temos que se a b J então a b J Agora considere m Z e a J como a J existe k₁ tal que a Iₖ₁ Logo ma Iₖ₁ pois Iₖ₁ é ideal de Z implicando ma J Portanto J Iₖ é um ideal de Z Questão 7 Considere 4x 3 4 mod 5 ou seja 4x 1 mod 5 Como mdc 4 5 é 1 a congruência tem única solução Precisamos resolver a seguinte equação 4x 5y 1 Pelo algoritmo de Euclides 5 4 1 1 4 4 1 Logo 1 5 4 1 Donde obtemos que a solução é x 4 Questão 8 Prova Suponha que exista um inteiro x tal que x² 35 mod 100 Logo x² 35 mod 100 x² 35 100k₁ k₁ Z x² 100k₁ 35 x² 5 20k₁ 7 implicando 5 x² Como 5 é primo então 5 x² 5 x x 5k₂ k₂ Z x² 5k₂² x² 25k₂² 25 x² Logo x2 25m m Z Então temos as seguintes possibilidades x2 0 mod 100 se k2 é par x2 25 mod 100 se k2 é ímpar Ou seja os dois últimos de x2 são 00 ou 25 Contradição Pois supomos que x2 35 mod 100 Observe que x2 100 k1 35 x2 100 k1 25 10 x2 251 4 k1 1 10 x2 10 mod 251 o que contraria o fato de x2 ser múltiplo de 25 Portanto não existe x tal que x2 35 mod 100