Lista de Exercícios Resolvidos sobre Sequências e Séries Numéricas

1 Prove que se xn converge com xn 0 então xn n também converge 2 Suponha que xn 0 Prove que se xn converge então xn 1 xn também converge 3 Verifique se as séries dadas abaixo são convergente ou divergentes a 1 n n 1 b n 2 n n 1 c 1 log n d 1 n² log n e 1 nⁿ f 1 1 n² g log n n 4 Verifique se a série 1 12 13 14 15 é converge ou divergente 5 Verifique se a série 1 13 15 17 19 é converge ou divergente 6 Dado a 0 defina indutivamente a sequência xnnN pondo x1 a e xn1 a xn Prove que xnnN é convergente e calcule o seu limite 7 Defina indutivamente a sequência xnnN pondo x1 1 e xn1 1 xn Prove que xnnN é convergente e calcule o seu limite 8 Prove que lim n nⁿ 0 1 Se xn converge com xn 0 então xn n converge Prova Aplicando a desigualdade de Cauchy an bn ² an² bn² onde bn 1n e an xn temos xn n ² xn 1n² Logo como xn n xn n ² obtemos xn n xn n ² xn 1n² converge converge Pelo teste da comparação segue que xn n converge 3 a 1nn1 Resolução Sejam an 1nn1 e bn 1n Temos lim anbn lim 1nn1 n1 lim 1n1 1 Logo pelo teste da comparação de limite a série dada converge b n2nn1 Resolução Como 1n n2n1 1n e 1n diverge Pelo teste da comparação a série dada diverge c 1log n Resolução Aplicando teste da comparação Como n log n 1n 1log n Sabemos que 1n diverge portanto 1log n diverge 2 Se xn converge xn 0 Então xn1xn converge Prova Suponha que xn converge Como xn 0 então xn 1 1 1 11xn xn xn1xn Logo pelo teste da comparação segue que xn1xn converge d Σ 1n2 log n Resolução Aplicando teste de comparação Temos 1n 1log n 1n2 log Como Σ 1n diverge segue que Σ 1n2 log n diverge e Σ 1nn Resolução Σ 1nn Σ 1nn Aplicando o teste da raiz lim noo n1nn lim noo 1n 0 1 Portanto Σ 1nn converge f Σ 1n2 1 Resolução A Função fx 1x2 1 é contínua positiva e decrescente em 1 logo usamos o teste da integral 1 1x2 1 dx lim t 1t 1x2 1 dx lim t tg1x1t lim t tg1t π4 π2 π4 π4 Portanto a série é convergente 4 Resolução Temos que a série 1 12 13 14 15 Σ n1 to 1n1 n satisfaz i bn1 bn pois 1n1 1n ii lim n bn lim n 1n 0 Portanto pelo teste da série alternada a série dada é convergente 5 Resolução Temos que a série 1 13 15 17 19 Σ n0 to 1n2 2n1 satisfaz i bn1 bn pois 12n3 12n1 ii lim n bn lim n 12n1 0 Portanto pelo teste da série alternada a série dada converge 6 Prova Afirmação 1 xn é crescente Temos n 1 x1 a a x1 x2 Suponha que xn1 xn temos xn² a xn1 a xn xn1² ou seja xn é uma sequência monótona crescente Afirmação 2 xn é limitado superiormente C é a única raiz positiva da equação x² x a 0 De fato x 1 1 4a2 Logo como a 0 temos 4a 0 1 4a 1 1 4a 1 1 1 4a 0 1 1 4a 0 2 Portanto c 1 1 4a é a única raiz 2 positiva da equação x² x a 0 Afirmamos que xn c n IN Para n 1 temos x1 a 0 Pois c² a c isto é c² a entāo c a Suponha que para n k temos xk c entao para n k 1 xk1 a xk² a xk a c c² Logo xk1 c Portanto xn c n IN Pelas afirmações 1 e 2 a sequência xn é monótona e limitada Logo xn é convergente pois toda sequência monótona limitada é convergente Agora suponha lim xn L Temos xn1² a xn então lim xn1² lim a xn lim a lim xn Logo lim xn1² lim xn a 0 L² L a 0 L c Portanto lim xn c 1 1 4a 2 7 Prova Afirmação 1 xn é crescente Se n 1 então x2 2 x1 1 Suponha que xn1 xn então xn1 xn 1 xn1 1 xn xn2 xn1 Afirmação 2 xn é limitada superiormente por 3 Temos x1 3 Suponha xn 3 4 temos xn 2 1 xn 3 xn1 3 n Pelas afirmações 1 e 2 a sequência xn é monótona crescente e limitada Logo xn é convergente Limite de xn a 1 a a12 a a2 3a 1 0 Logo as raízes são 3 5 2 Não podemos ter a 3 5 2 pois 3 5 2 1 Logo lim xn 3 5 2 8 lim nnn 0 Prova Seja an n nn Aplicaremos o teste da razão an1 an n1 nn n1n1 n nn1n 1 1 1nn Logo lim n an1 an lim n 1n 1 1nn 1e 1 Portanto pelo teste da razão lim nnn 0