Lista de Exercícios Resolvidos sobre Números Reais Indução e Desigualdades

Lista 1 Questão 01 Mostre usando a função sucessor que a 459 b 339 Questão 02 Mostre pelo princípio da indução matemática que 1 3 5 2n1 n 2 Questão 03 Mostre pelo princípio da indução matemática que 1 22 2n 2 1 62n 33n 2n Questão 04 Mostre o ínfimo de um subconjunto nãovazio de um corpo ordenado quando existe é único Questão 05 Mostre o ínfimo de um subconjunto nãovazio de um corpo ordenado quando existe é único Questão 06 Prove a desigualdade triangular ab a b Questão 07 Prove a desigualdade triangular generalizada a1a2an a1 a2 an Questão 08 Prove a segunda desigualdade triangular ab a b Questão 09 Prove que ab ab 2 Questão 10 Prove a desigualdade de CauchySchwarz i1 n aibi 2 i1 n ai 2 i1 n bi 2 Questão 11 Prove que a soma de um número racional com um irracional é irracional Questão 12 Prove que o produto de um número racional nãonulo com um irracional é irracional Questão 13 Encontre o ínfimo e o supremo do conjunto A 1 n n nℕ Questão 14 Seja I n a1 n a1 n para nℕ mostre que I n a Questão 15 Seja Jn a a 1 n para nℕ mostre que Jn Questão 16 Prove a desigualdade de Bernoulli Seja x1 é válido que 1x n 1 nx para todo nℕ Questão 17 Mostre quex y x y se e somente se xy 0 Questão 18 Prove o teorema dos intervalos encaixantes Dados dois conjuntos an nℕ e bn nℕ tais que i anbnan1bn1 nℕ ii ε 0n0ℕ bn0an0 ε Então existe um único α ℝ tal que α anbn nℕ Questões 19 Prove a densidade nos conjunto dos números irracionais Se ab então existe t ℝℚ tal que a t b Questão 20 Mostre quex y x y se e somente se xy 0 Questão 7 Provando por indução Base Primeiro a₁ a₂ a₁ a₂ pela desigualdade triangular Passo Suponha para n1 que a₁ a₂ an1 a₁ a₂ an1 Logo a₁ a₂ an1 an a₁ a₂ an1 an a₁ a₂ an1 an pela Desigualdade triangular basica Logo a₁ a₂ an a₁ an1 an a₁ a₂ an1 an pelo passo indutivo logo a₁ a₂ an a₁ a₂ an Como queríamos provar Questão 8 Primeiro a a b b a a b b a a b b a b b pela desigualdade triangular Logo a b a b Reciprocarmente b b a a b b a a b b a a b a a pela desigualdade triangular Logo b a b a a b b a a b Como b a a b e a b a b logo maxb a a b a b a b a b Questão 9 Sabemos que a b2 0 a² 2ab b² 0 a² 2ab b² 4ab a b² 4ab a b 2ab a b2 ab Como queríamos demonstrar Questão 10 Primeiro é claro que aibi λ ai λ bi2 0 e daí fλ i1 to n ai λ bi2 0 i1 to n ai2 λ2 i1 to n aibi λ² i1 to n bi2 0 Logo Δ 0 2 i1 to n aibi2 4i1 to n ai2 i1 to n bi2 0 4i1 to n aibi2 4 i1 to n ai2 i1 to n bi2 i1 to n aibi2 i1 to n ai2 i1 to n bi2 como queríamos demonstrar Questão 11 Suponha por absurdo que ab racional somado a x irracional é racional igual a cd abcd ℤ e b0 e d0 Daí x ab cd x cd ab bc adbd como abcd ℤ então bc ad ℤ e bd ℤ como b0 e d0 então bd 0 Logo x seria racional o que é um absurdo Logo a soma é irracional Questão 12 Suponha por absurdo que ab 0 racional multiplicado por x irracional seja igual a um racional cd com b 0 d 0 abcd ℤ Daí x ab cd x bcad e como abcd ℤ então bc ℤ e ad ℤ e como ab 0 então a 0 e com d 0 od 0 Logo x seria racional o que é um absurdo Logo a multiplicação é irracional Questão 16 Por indução em n Base para n1 é claro que 1x1 1 1x em particular 1x1 1 x 1 1x Passo Suponha válido para n logo 1xn1 1xn 1x 1nx1x 1 nx x nx2 1xn1 1 n1x nx2 como x2 0 então nx2 0 logo 1xn1 1 n1x e assim é válido para n1