Lista de Exercicios Resolvidos sobre Aritmetica e Inducao Matematica

134 Exercícios 1 Prove as seguintes propriedades da adição A1 Associatividade m n p m n p para todo mnp N A2 Comutatividade m n n m para todo mn N A3 Lei do Corte m n m p implica que n p 2 Prove as seguintes propriedades da Multiplicação M1 Associatividade m n p m n p para todo mnp N M2 Comutatividade m n n m para todo mn N M3 Lei do Corte m n m p implica que n p M4 Distributividade m n p m n m p para todo mnp N 3 Prove as seguintes propriedades de Ordem O1 Transitividade Se m n e n p então m p O2 Tricotomia Dados mn N só temse apenas três possibilidades ou m n ou m n ou n m O3 Monotonicidade da adição m n implica que m p n p para todo p N O4 Monotonicidade da multiplicação m n implica que m p n p para todo p N 4 Prove que assumindo os axiomas de P1 e P2 verdadeiros o axioma P3 é equivalente ao seguinte axioma Para todo conjunto A N temse que A sA 0 5 Mostre por indução que a 1 2 3 n nn 12 b 1 2² 3² n² n2n² 3n 16 c 1 2³ 3³ n³ 1 2 3 n² 6 Dados ab N prove que existe um número natural m tal que m a b 7 Seja a N Se um conjunto X é tal que a X e além disso n X implica que n 1 X então X contem todos os naturais p tal que p a 8 Mostre que a n 2ⁿ para todo n 4 b 2ⁿ n² para todo n 4 9 Mostre que todo número natural maior ou igual que 2 possui uma decomposição em fatores primos