Indução Matemática e Desigualdade de Bernoulli - Lista de Exercícios Resolvidos

1 Para n 1 temos 1 r1 1 r Por outro lado 1 1r 11 1 r22 1 r Logo 1 r1 1 1r Suponha que para n k vale 1 rk 1 kr kk 1 r2 2 Queremos mostrar que também vale a desigualdade para k 1 ou seja vale 1 rk1 1 k 1 r k 1 k r2 2 Temos 1 rk1 1 rk 1 r 1 kr kk1 r2 2 1 r 1 kr kk1 r2 2 r kr2 kk1 r3 2 1 kr kk1 r2 2 kk1 r3 2 r kr2 1 rk 1 k2 r2 r2 k2 r3 r3 2k r2 2 1 rk 1 r2 k2 1 kr r 2k 2 1 rk 1 k 1 k r2 2 Portanto a desigualdade vale n N Questão 01 Mostre por indução que Dado r 0 1 rn 1 nr nn12 r2 n N 2ª desigualdade de Bernoulli Questão 02 Prove que lim nn 1 n 2 Temos lim n ⁿn lim n n1n Como n1n eln nn Então lim n ⁿn lim n eln nn AFirmação lim n ln nn 0 A Função ln xx é definida x 1 e concorda com a sequência dada em números inteiros positivos Logo lim n ln nn lim x ln xx Pela regra de LHôpital lim x ln xx lim x 1x1 01 0 Logo lim n ln nn 0 Como lim n ⁿn lim n eln nn e0 1 Portanto lim n ⁿn 1