Apostila com Exercícios Resolvidos-módulo 2-2021 2

1 Período de Transição (Terceiro Ciclo de Oferta em Ensino Remoto – 31/05 à 17/08) LOGÍSTICA DE SUPRIMENTOS – MÓDULO 2 Prof. Thiago Guimarães Conteúdo: 1. Dimensionamento de Lotes com Faltas Planejadas 2. Dimensionamento de Lotes com Descontos por Quantidade 3. Dimensionamento de Lotes de Produção 1. Dimensionamento de Lotes com Faltas Planejadas No modelo clássico de dimensionamento de lotes abordado no Módulo 1, uma hipótese importante foi considerada: o lote obtido deveria ser suficiente para atender à demanda do ciclo. Em outras palavras, não era permitido que o item faltasse. Do ponto de vista gerencial, as faltas não planejadas são absolutamente indesejadas. Geram inúmeras consequências prejudiciais ao processo, como a receita perdida, multas, dano à marca e ao relacionamento com o cliente, entre outras. Esses custos intangíveis (dano à marca e ao relacionamento) são difíceis de mensurar, enquanto que multas contratuais podem ser obtidas de forma direta e explicitadas nos contratos de fornecimento. Embora o não atendimento deva ser evitado ao máximo, há situações em que as faltas planejadas podem servir como um instrumento de flexibilidade para o fornecedor, mas isso depende do grau de aceitação dos clientes. Quando o não atendimento é na verdade um atraso, os fornecedores podem se beneficiar dessa possibilidade e ampliar o contexto decisório – ou seja, o cliente está disposto a aguardar e a falta no momento não gera a perda da venda. Quando o custo pelo não atendimento (multa pelo atraso) for possível de ser medido e este não for exorbitantemente alto, pode ser vantajoso para o fornecedor atrasar a entrega em algum tempo. Isso é válido quando o não atendimento puder ser recuperado nos ciclos futuros, ou seja, o cliente receberá o lote, ainda que atrasado. O modelo de dimensionamento de lotes com faltas planejadas considera as seguintes hipóteses: I) A demanda dos clientes é constante e conhecida a priori. II) A quantidade não atendida em um determinado ciclo é recuperada no ciclo imediatamente seguinte. III) O lote (Q) é entregue de uma única vez. IV) Como há quantidades em atraso, parte do lote é destinada a essas quantidades que estão atrasadas do ciclo anterior, e dessa forma, o nível máximo que o estoque atinge é dado por S, onde S < Q. V) O nível máximo de falta é dado por Q-S. VI) O custo de estoque (h) e custo de setup (K) são constantes ao longo do tempo. 2 VII) O custo da falta (p) é conhecido (revise o Módulo 1), e depende da quantidade faltante e do tamanho do atraso, ou seja, é dado em $/unidade*tempo. Lembrando que no modelo clássico do módulo 1, quando as faltas não eram permitidas, não havia atrasos a serem recuperados. Assim, o lote Q chegava ao cliente (após o Lead Time) no exato momento em que o estoque zerava. Dessa forma, o nível máximo do estoque ocorria justamente após a chegada do lote Q, e esse nível era igual à Q. Relembre a figura a seguir: Lembre-se que o sistema de ressuprimento no modelo clássico envolvia três componentes de custo (volte ao Módulo 1 se tiver dúvidas): I) Custo de Pedir ---> Dependente do custo de setup K e do número de pedidos (para o ciclo tempo um único pedido, para qualquer unidade de tempo temos a razão d/Q que calcula o número de pedidos de tamanho Q necessários ao atendimento da demanda por tempo d ) II) Custo de Obter --> Dependente do custo de compra/produção c e da quantidade comprada (para o ciclo essa quantidade era igual à Q, para qualquer unidade de tempo essa quantidade é igual à demanda d) III) Custo de Manter --> Dependente do custo de manutenção dos estoques (h), da quantidade média mantida em estoque (estoque médio) (Q/2) e do tempo que esse estoque médio é mantido ( uma unidade de tempo se for o custo por tempo, ou o tempo de ciclo Q/d se for o custo por ciclo) O tradeoff ocorria entre o custo de pedir e o custo de manter. Quanto maior o tamanho do lote Q menos pedidos seriam necessários para o atendimento da demanda e menor seria o custo de pedir. Porém, maior seria o estoque médio e consequentemente o maior seria o custo de manter. 3 De forma equivalente, Quanto menor o tamanho do lote Q mais pedidos seriam necessários para o atendimento da demanda e maior seria o custo de pedir. Porém, menor seria o estoque médio e consequentemente o maior seria custo de manter. O custo por ciclo, custo por tempo, lote econômico e tempo de ciclo ótimo era da por: 𝑪𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐 = 𝑲 + 𝒄𝑸 + 𝒉 𝑸𝟐 𝟐𝒅 Equação 1 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = 𝑲 𝒅 𝑸 + 𝒄𝒅 + 𝒉 𝑸 𝟐 Equação 2 𝑸∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 Equação 3 𝒕𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐 = √𝟐𝑲 𝒉𝒅 Equação 4 Para o modelo com faltas planejadas, temos: Vejam que agora nosso ciclo envolve quatro diferentes custos I) Custo de pedir, idêntico ao modelo clássico. II) Custo de obter, idêntico ao modelo clássico. III) Custo de manter, válido apenas para o período onde o estoque é maior ou igual à zero, ou seja, para o ciclo real. IV) Custo de faltar, válido para o ciclo da falta. 4 Nosso objetivo é construir as equações necessárias para se minimizar o custo do sistema de ressuprimento com faltas planejadas. Para tal, vamos determinar inicialmente o custo por ciclo, depois derivar o custo por tempo, e por fim, obter o lote econômico e os componentes que dependem do lote (nível máximo de estoque, tempo de ciclo real ótimo, tempo de ciclo da falta ótimo e tempo de ciclo ótimo). 1.1 Custo por ciclo I) Custo de pedir: Idêntico ao modelo clássico. Temos um pedido por ciclo ao custo unitário de setup K ($/pedido) (lembre-se que o custo de setup se refere ao custo de se fazer um pedido e pode ser o custo de preparação das máquinas, quando produzido, ou o custo administrativo de se fazer um pedido, quando comprado). 𝑪𝒑𝒆𝒅𝒊𝒓 = 𝟏 ∗ 𝑲 = 𝑲 Equação 5 II) Custo de obter: Idêntico ao modelo clássico. Em um ciclo produzimos ou compramos um lote de tamanho Q (unidades) ao custo unitário c ($/unidade). 𝑪𝒐𝒃𝒕𝒆𝒓 = 𝒄 ∗ 𝑸 Equação 6 III) Custo de manter: o custo de manter ou estocar ou armazenar em um ciclo depende do estoque médio e do tempo que esse estoque médio é armazenado. Nesse caso, devemos considerar apenas o período em que os estoques são maiores ou iguais à zero, ou seja, apenas o tempo de ciclo real. Custo unitário de estoque: continua sendo dado por h , medido em ($/unidade*tempo) Estoque médio: no início do ciclo real, o estoque máximo é igual à S e ao final do ciclo real, o estoque é igual à zero. O estoque médio é portanto 𝑆+0 2 = 𝑺 𝟐. Tempo em estoque: é dado pelo tempo de ciclo real, ou seja, o tempo necessário para se exaurir o máximo nível de estoque S. Para uma taxa de demanda d , o tempo de ciclo real é a razão S/d. Temos então 5 𝑪𝒎𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓 = 𝒉 ∗ 𝑺 𝟐 ∗ 𝑺 𝒅 = 𝒉 𝑺𝟐 𝟐𝒅 Equação 7 IV) Custo de faltar: o custo de faltar em um ciclo é parecido com o custo de manter. Veja na figura acima que no início do ciclo da falta, a quantidade faltante é igual à zero, enquanto que no final do ciclo da falta (quando o lote Q chega no cliente), o nível de estoque é máximo e esse valor é dado pela diferença entre o lote Q e o nível máximo que o estoque atinge S. Portanto, tempos que calcular o nível médio de falta do estoque. Esse nível médio é mantido durante o ciclo da falta, ou seja, o tempo necessário para que a máxima quantidade faltante seja atingida, e ainda do custo unitário da falta, dado pelo parâmetro p, que nesse caso mede a multa por atraso e é dependente da quantidade e do tempo de atraso. Temos então: Custo unitário da falta: dado por p , medido em ($/unidade*tempo) Nível médio de falta: no início do ciclo da falta, o nível de falta é igual á zero, e no final do ciclo da falta, esse nível é máximo e é dado por Q-S. O nível médio de falta é portanto (𝑄−𝑆)+0 2 = (𝑸−𝑺) 𝟐 . Tempo em falta: é dado pelo tempo de ciclo da falta, ou seja, o tempo necessário para que a falta atinja o nível máximo S. Para uma taxa de demanda d , o tempo de ciclo da falta é a razão (Q-S)/d. Temos então 𝑪𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂𝒓 = 𝒑 ∗ (𝑸 − 𝑺) 𝟐 ∗ (𝑸 − 𝑺) 𝒅 = 𝒑 (𝑸 − 𝑺)𝟐 𝟐𝒅 Equação 8 Com isso, o custo de falta é incorporado ao custo por ciclo e este passa a ser calculado como a soma das quatro parcelas: pedir + obter + manter + faltar, conforme segue: 𝑪𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐 = 𝑪𝒑𝒆𝒅𝒊𝒓 + 𝑪𝒐𝒃𝒕𝒆𝒓 + 𝑪𝒎𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓 + 𝑪𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂𝒓 𝑪𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐 = 𝑲 + 𝒄𝑸 + 𝒉 𝑺𝟐 𝟐𝒅 + 𝒑 (𝑸 − 𝑺)𝟐 𝟐𝒅 Equação 9 Lembre-se do módulo 1 que o custo por ciclo é válido para o tempo de ciclo, e o tempo de ciclo é o tempo necessário para que um lote Q seja consumido pela demanda d . Ainda que no 6 modelo com faltas planejadas o lote tenha que atender aos atrasados, é justamente a demanda do cliente que gera a referida quantidade em atraso. Dessa forma, o tempo de ciclo continua sendo a razão Q/d (veja a segunda figura). 1.2 Custo por tempo Dividindo o custo por ciclo dado pela equação 9 pelo tempo de ciclo, temos: 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = 𝑪𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐 𝒕𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = 𝑲 + 𝒄𝑸 + 𝒉 𝑺𝟐 𝟐𝒅 + 𝒑 (𝑸 − 𝑺)𝟐 𝟐𝒅 𝑸 𝒅 Divisão de frações, mantem o numerador e multiplicamos pelo inverso do denominador: 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = [𝑲 + 𝒄𝑸 + 𝒉 𝑺𝟐 𝟐𝒅 + 𝒑 (𝑸 − 𝑺)𝟐 𝟐𝒅 ] 𝒅 𝑸 Lembre-se que (𝑸 − 𝑺)𝟐 = 𝑸𝟐 − 𝟐𝑸𝑺 + 𝑺𝟐 e distribuindo os fatores, temos: 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = [𝑲 𝒅 𝑸 + 𝒄𝑸 𝒅 𝑸 + 𝒉 𝑺𝟐 𝟐𝒅 𝒅 𝑸 + 𝒑 (𝑸𝟐 − 𝟐𝑸𝑺 + 𝑺𝟐 𝟐𝒅 ) 𝒅 𝑸] 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = [𝑲 𝒅 𝑸 + 𝒄𝑸 𝒅 𝑸 + 𝒉 𝑺𝟐 𝟐𝒅 𝒅 𝑸 + 𝒑 𝑸𝟐𝒅 𝟐𝒅𝑸 − 𝒑 𝟐𝑸𝑺𝒅 𝟐𝒅𝑸 + 𝒑 𝑺𝟐𝒅 𝟐𝒅𝑸] Cancelando os termos em vermelho, temos: 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = [𝑲 𝒅 𝑸 + 𝒄𝒅 + 𝒉 𝑺𝟐 𝟐𝑸 + 𝒑 𝑸 𝟐 − 𝒑𝑺 + 𝒑 𝑺𝟐 𝟐𝑸] Equação 10 Essa expressão do custo por tempo depende do tamanho do lote Q e do nível máximo S que o estoque atinge quando o lote é disponibilizado ao cliente. Veja que, uma vez conhecidos Q e S , automaticamente conseguimos calcular o atraso máximo permitido Q-S . Podemos dizer, então, que o modelo depende do lote e do atraso permitido. Nosso interesse agora é encontrar o valor de Q e de S que minimiza a equação 10. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivada. Sabemos que a derivada mede a inclinação da reta tangente 7 a um ponto no domínio da função. E no ponto de mínimo, essa inclinação é igual à zero. Portanto, precisamos derivar o custo por tempo e igualar à zero. Só que agora, esse custo depende de duas variáveis, Q e S, então teremos que derivar em relação à Q e depois derivar em relação à S. 1.3 Encontrando o lote econômico e o atraso ótimo Para o cálculo da derivada de uma função polinomial, lembre-se que 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1 e ainda, que a derivada de uma constante é igual à zero. Quando estamos derivando o custo pelo tempo em relação à Q , a variável S e constante. Já quando estamos derivando o custo pelo tempo em relação à S , a variável Q e constante. 𝝏𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝝏𝑸 = 𝟎 Vamos colocar a variável Q no numerador, mudando o sinal do expoente. Fica mais fácil para derivar assim: 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = [𝑲𝒅𝑸−𝟏 + 𝒄𝒅 + 𝒉 𝑺𝟐 𝟐 𝑸−𝟏 + 𝒑 𝑸 𝟐 − 𝒑𝑺 + 𝒑 𝑺𝟐 𝟐 𝑸−𝟏] Então: 𝝏𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝝏𝑸 = 𝟎 𝝏 [𝑲𝒅𝑸−𝟏 + 𝒄𝒅 + 𝒉 𝑺𝟐 𝟐 𝑸−𝟏 + 𝒑 𝑸 𝟐 − 𝒑𝑺 + 𝒑 𝑺𝟐 𝟐 𝑸−𝟏] 𝝏𝑸 = 𝟎 −𝟏 ∗ 𝑲𝒅𝑸−𝟐 + 𝟎 − 𝟏 ∗ 𝒉 𝑺𝟐 𝟐 𝑸−𝟐 + 𝒑 𝑸𝟎 𝟐 − 𝟎 − 𝟏 ∗ 𝒑 𝑺𝟐 𝟐 𝑸−𝟐 − 𝑲𝒅 𝑸𝟐 − 𝒉 𝑺𝟐 𝟐𝑸𝟐 + 𝒑 𝟐 − 𝒑 𝑺𝟐 𝟐𝑸𝟐 = 𝟎 𝒑 𝟐 = 𝑲𝒅 𝑸𝟐 + 𝒉 𝑺𝟐 𝟐𝑸𝟐 + 𝒑 𝑺𝟐 𝟐𝑸𝟐 Colocando o termo 𝟏 𝑸𝟐 em evidência, temos: Equação 11 8 𝒑 𝟐 = 𝟏 𝑸𝟐 [𝑲𝒅 + 𝒉𝑺𝟐 + 𝒑𝑺𝟐 𝟐 ] Resolvendo a fração no colchete, temos: 𝒑 𝟐 = 𝟏 𝑸𝟐 [𝟐𝑲𝒅 + 𝒉𝑺𝟐 + 𝒑𝑺𝟐 𝟐 ] Colocando 𝑺𝟐 em evidência, temos: 𝒑 𝟐 = 𝟏 𝑸𝟐 [𝟐𝑲𝒅 + 𝑺𝟐(𝒉 + 𝒑) 𝟐 ] E finalmente cortando o denominador 2 que aparece em ambos os lados da equação, temos: 𝒑 = 𝟏 𝑸𝟐 [𝟐𝑲𝒅 + 𝑺𝟐(𝒉 + 𝒑)] Isolando o lote ao quadrado, temos: 𝑸𝟐 = 𝟐𝑲𝒅 + 𝑺𝟐(𝒉 + 𝒑) 𝒑 Podemos observar que a variável S aparece na equação final 11. Precisamos agora derivar o custo por tempo em relação à S (lembre-se que nesse caso, a variável Q é constante), e igualar à zero. 𝝏𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝝏𝑺 = 𝟎 Onde 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = [𝑲 𝒅 𝑸 + 𝒄𝒅 + 𝒉 𝑺𝟐 𝟐𝑸 + 𝒑 𝑸 𝟐 − 𝒑𝑺 + 𝒑 𝑺𝟐 𝟐𝑸] Portanto: 𝝏 [𝑲 𝒅 𝑸 + 𝒄𝒅 + 𝒉 𝑺𝟐 𝟐𝑸 + 𝒑 𝑸 𝟐 − 𝒑𝑺 + 𝒑 𝑺𝟐 𝟐𝑸] 𝝏𝑺 = 𝟎 Equação 12 9 Pelas mesmas regras de derivação, temos: 𝟎 + 𝟎 + 𝟐𝒉 𝑺𝟏 𝟐𝑸 + 𝟎 − 𝟏 ∗ 𝒑𝑺𝟎 + 𝟐𝒑 𝑺𝟏 𝟐𝑸 = 𝟎 Cancelando os termos em vermelho, temos: 𝒉 𝑺 𝑸 − 𝒑 + 𝒑 𝑺 𝑸 = 𝟎 𝒉 𝑺 𝑸 + 𝒑 𝑺 𝑸 = 𝒑 Colocando 𝑺 𝑸 em evidência, temos: 𝑺 𝑸 (𝒉 + 𝒑) = 𝒑 Isolando S, temos: 𝑺 = 𝑸𝒑 (𝒉 + 𝒑) Substituindo o final da equação 12 no final da equação 13, temos: 𝑸𝟐 = 𝟐𝑲𝒅 + [ 𝑸𝒑 (𝒉 + 𝒑)] 𝟐 (𝒉 + 𝒑) 𝒑 Distribuindo a potência para o termo S, temos: 𝑸𝟐 = 𝟐𝑲𝒅 + [ (𝑸𝒑)𝟐 (𝒉 + 𝒑)𝟐] (𝒉 + 𝒑) 𝒑 Podemos agora eliminar o termo (𝒉 + 𝒑). Temos: 𝑸𝟐 = 𝟐𝑲𝒅 + (𝑸𝒑)𝟐 𝒉 + 𝒑 𝒑 Divisão de frações. Mantemos o numerador e multiplicamos pelo inverso do denominador. Temos: Equação 13 10 𝑸𝟐 = [𝟐𝑲𝒅 + (𝑸𝒑)𝟐 (𝒉 + 𝒑)] 𝟏 𝒑 Lembrando que a potência do produto é o produto das potências, e distribuindo o multiplicador 1/p , temos: 𝑸𝟐 = 𝟐𝑲𝒅 𝒑 + 𝑸𝟐𝒑𝟐 (𝒉 + 𝒑) 𝟏 𝒑 Eliminando os termos em vermelho, temos: 𝑸𝟐 = 𝟐𝑲𝒅 𝒑 + 𝑸𝟐𝒑 (𝒉 + 𝒑) Isolando 𝑸𝟐, temos: 𝑸𝟐 − 𝑸𝟐𝒑 (𝒉 + 𝒑) = 𝟐𝑲𝒅 𝒑 Colocando 𝑸𝟐 em evidência, temos: 𝑸𝟐 [𝟏 − 𝒑 (𝒉 + 𝒑)] = 𝟐𝑲𝒅 𝒑 Resolvendo para o colchetes, temos: 𝑸𝟐 [𝒉 + 𝒑 − 𝒑 (𝒉 + 𝒑) ] = 𝟐𝑲𝒅 𝒑 E finalmente: 𝑸𝟐 [ 𝒉 (𝒉 + 𝒑)] = 𝟐𝑲𝒅 𝒑 Isolando Q2, temos: 𝑸𝟐 = 𝟐𝑲𝒅 𝒑 (𝒉 + 𝒑) 𝒉 Para melhor entender o efeito do atraso permitido, vamos isolar o expoente quadrado em Q pelos dois termos da fração. Temos por fim: 𝑸∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 √(𝒉 + 𝒑) 𝒑 11 Ou seja, quando o custo unitário da falta (p) é muito maior que o custo de estoque (h) , a expressão (𝒉+𝒑) 𝒑 tende à 1, e o lote econômico com faltas planejadas tende ao modelo clássico, pois: 𝑸∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 ∗ 𝟏 = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 Vamos agora resolver para S . Para isso, basta substituir a equação 13 na equação 12. Temos: 𝑺 = 𝑸𝒑 (𝒉 + 𝒑) Podemos reescrever: 𝑺 = 𝑸 𝒑 (𝒉 + 𝒑) Onde 𝑸∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 √(𝒉 + 𝒑) 𝒑 Então: 𝑺 = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 √(𝒉 + 𝒑) 𝒑 𝒑 (𝒉 + 𝒑) O que é equivalente à: 𝑺 = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 [(𝒉 + 𝒑) 𝒑 ] 𝟏/𝟐 𝒑 (𝒉 + 𝒑) 𝑺 = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 [(𝒉 + 𝒑)𝟏/𝟐 𝒑𝟏/𝟐 ] [ 𝒑 (𝒉 + 𝒑)] Agrupando os termos: Equação 14 12 𝑺 = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 [(𝒉 + 𝒑)𝟏/𝟐 (𝒉 + 𝒑) ][ 𝒑 𝒑𝟏/𝟐] Mesma base, subtrai-se os expoentes: 𝑺 = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 [(𝒉 + 𝒑)−𝟏/𝟐][𝒑𝟏/𝟐] Expoente negativo vai para o denominador 𝑺 = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 [ 𝒑𝟏/𝟐 (𝒉 + 𝒑)𝟏/𝟐] E finalmente: 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 √ 𝒑 (𝒉 + 𝒑) Da solução tiramos a seguinte conclusão: 1) Quando o custo da falta é muito maior que o custo de estoque, temos que: √ (𝒉+𝒑) 𝒑 → 𝟏 e 𝑸∗ → √𝟐𝑲𝒅 𝒉 √ 𝒑 (𝒉+𝒑) → 𝟏 e 𝑺∗ → √𝟐𝑲𝒅 𝒉 Ou seja, 𝑺∗ → 𝑸∗ e a falta tende à zero. Portanto, só faz sentido atrasar, quando o custo pelo atraso não é exageradamente maior que o custo de manter. Esse é o tradeoff no modelo com faltas planejadas. Atrasar versus manter. À medida em que o atraso aumenta, o estoque diminui, e vice versa. 13 Exercícios 1. Com base nas equações 13 e 14, derive uma expressão que calcule o tempo de ciclo ótimo: 2. Ainda com base nas equações 13 e 14, derive uma expressão que calcule o tempo de ciclo real. 14 3. Derive uma expressão para o nível máximo de falta Q*- S* Sabemos que: 𝑸∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 √(𝒉 + 𝒑) 𝒑 E 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 √ 𝒑 (𝒉 + 𝒑) Então, temos: 𝑸∗ − 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 √(𝒉 + 𝒑) 𝒑 − √𝟐𝑲𝒅 𝒉 √ 𝒑 (𝒉 + 𝒑) Colocando o termo do lote econômico clássico em evidência, temos: 𝑸∗ − 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 (√(𝒉 + 𝒑) 𝒑 − √ 𝒑 (𝒉 + 𝒑)) Resolvendo para a subtração nos parênteses, temos: 𝑸∗ − 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 ( (𝒉 + 𝒑)𝟏/𝟐 𝒑𝟏/𝟐 − 𝒑𝟏/𝟐 (𝒉 + 𝒑)𝟏/𝟐) 𝑸∗ − 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 ( (𝒉 + 𝒑)𝟏/𝟐(𝒉 + 𝒑)𝟏/𝟐 − 𝒑𝟏/𝟐𝒑𝟏/𝟐 𝒑𝟏/𝟐(𝒉 + 𝒑)𝟏/𝟐 ) 𝑸∗ − 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 ( 𝒉 + 𝒑 − 𝒑 𝒑𝟏/𝟐(𝒉 + 𝒑)𝟏/𝟐) 15 𝑸∗ − 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 ( 𝒉 𝒑𝟏/𝟐(𝒉 + 𝒑)𝟏/𝟐) 𝑸∗ − 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 ( 𝒉 √𝒑√𝒉 + 𝒑 ) 𝑸∗ − 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒑 ( 𝒉 √𝒉√𝒉 + 𝒑 ) 𝑸∗ − 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒑 𝟏 √𝒉 + 𝒑 ( 𝒉 √𝒉 ) Já sabemos que 𝒉 √𝒉 = 𝒉𝟏−𝟏/𝟐 = 𝒉𝟏/𝟐 = √𝒉 Então: 𝑸∗ − 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒑 𝟏 √𝒉 + 𝒑 √𝒉 𝑸∗ − 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒑 √𝒉 √𝒉 + 𝒑 𝑸∗ − 𝑺∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒑 √ 𝒉 𝒉 + 𝒑 16 4. Suponha que a demanda para um produto seja de 30 unidades por mês e os itens sejam retirados em uma taxa constante. O custo de implantação cada vez que se assume a produção de um lote de peças para reabastecer os estoques é de US$ 15. O custo de produção é de US$ 1 por item e o custo de manutenção de estoque é de US$ 0,30 por item por mês. a. Supondo-se que não seja tolerada a falta de produto, determine com que frequência realizar a produção de um lote de peças e qual deve ser o tamanho do lote. b. Caso seja permitida a falta de produto, porém o custo seja de US$ 3 por item por mês, determine com que frequência realizar a produção de um lote de peças e qual deve ser o tamanho do lote. Calcule por quanto tempo haverá falta do produto e qual é o máximo nível de falta. 17 c. Compare os custo mensal mínimo do item a e do item b. 18 6. A Speedy Wheels é um distribuidor de bicicletas no atacado. Seu gerente de estoques, Ricky Sapolo, está revendo no momento a política de estoques para um modelo popular que está vendendo uma média de 250 unidades por mês. O custo administrativo para se fazer um pedido desse modelo para o fabricante é de US$ 200 e o preço de compra é de US$ 70 por bicicleta. O custo anual do capital imobilizado em estoque é de 20% do valor (baseado no preço de compra) dessas bicicletas. O custo adicional para armazenar as bicicletas — incluindo aluguel de depósito, seguro, impostos e outros — é de US$ 6 por bicicleta por ano. a. Use o modelo EOQ básico para determinar a quantidade ótima a ser encomendada e o custo de todas as parcelas (pedir, obter e manter) por ano. b. Os clientes da Speedy Wheel (lojas varejistas) geralmente não se importam com pequenos atrasos na entrega de seus pedidos. Portanto, a gerência concordou com uma nova política com pequenas faltas de produto ocasionais para reduzir o custo de estoque variável. Após consultas com a gerência, Ricky estima que o custo de escassez anual (incluindo negócios futuros perdidos) seria de US$ 30 vezes o número médio de bicicletas em falta durante o ano. Use o modelo EOQ com falta de produto planejada para determinar a nova política de estoques ótima. Calcule o custo mínimo anual. 19 2. Dimensionamento de Lotes com Descontos por Quantidade Em função do ganho de escala, é comum que o custo de obtenção (produção ou compra) dado por c tenha relação com a quantidade produzida/comprada. Nesse sentido, essa seção apresenta um modelo de forma que, na medida em que o lote Q aumenta, o custo de obtenção por unidade reduz. Vamos assumir que todas as outras hipóteses do modelo clássico (veja o Módulo 1) são mantidas. O modelo será apresentado a partir de um exemplo. Uma empresa fabricante de televisores produz seus próprios alto-falantes, que são usados na produção de seus aparelhos de TV. Os televisores são montados em uma linha de produção contínua a uma taxa de 8500 unidades mensais, sendo necessário um alto-falante por aparelho (a demanda de alto-falantes é igual a 8500 unidades mensais). Cada vez que um lote é produzido, incorre-se em um custo de implantação de US$ 12.000. Esse custo inclui o custo de “ferramental”, custos administrativos, manutenção de registros e assim por diante. O custo de manutenção de estoque estimado de manter um alto-falante em estoque é de US$ 0,30 por mês. O custo unitário para cada alto-falante depende do tamanho do lote, como segue: • 𝑐1 = 𝑈𝑆$ 11/𝑢𝑛, se forem produzidos menos de 10.000 alto-falantes. • 𝑐2 = 𝑈𝑆$ 10/𝑢𝑛, se forem produzidos entre 10.000 e 80.000 alto-falantes. • 𝑐3 = 𝑈𝑆$ 8,5/𝑢𝑛, se forem produzidos mais de 80.000 alto-falantes. A empresa está interessada em determinar quando produzir um lote de alto-falantes e quantos alto-falantes produzirem em cada lote. A resolução do problema revela o modelo de lotes com descontos por quantidades. De forma geral, temos três níveis de custo por tempo (mensal, no caso), sendo um para cada categoria de custo unitário de produção. De forma geral, podemos escrever a equação do custo por tempo para a faixa j da seguinte maneira: 𝐶𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 𝑗 = 𝐾 𝑑 𝑄 + 𝑐𝑗𝑑 + ℎ 𝑄 2 , 𝑗 = 1,2,3 … 𝑛 Equação 15 No exemplo, temos 3 faixas de acordo com o custo unitário de produção, ou seja, j=1, 2 e 3. Detalhadamente, temos: • Faixa 1 ( j=1 ) o 𝑐1 = 𝑈𝑆$ 11/𝑢𝑛 o 𝐾 = $12.000/𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 o 𝑑 = 8.500 𝑢𝑛/𝑚ê𝑠 o ℎ = $0,30/𝑢𝑛 ∗ 𝑚ê𝑠 o 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟏 = 12000 8500 𝑸𝟏 + 𝟏𝟏 ∗ (8500) + 0,30 𝑸𝟏 2 , onde 0 ≤ 𝑸𝟏 ≤ 10.000 𝑢𝑛 20 • Faixa 2 ( j=2 ) o 𝑐2 = 𝑈𝑆$ 10/𝑢𝑛 o 𝐾 = $12.000/𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 o 𝑑 = 8.500 𝑢𝑛/𝑚ê𝑠 o ℎ = $0,30/𝑢𝑛 ∗ 𝑚ê𝑠 o 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟐 = 12000 8500 𝑸𝟐 + 𝟏𝟎 ∗ (8500) + 0,30 𝑸𝟐 2 , onde 10.000 < 𝑸𝟐 ≤ 80.000 𝑢𝑛 • Faixa 3 ( j=3 ) o 𝑐3 = 𝑈𝑆$ 8,50/𝑢𝑛 o 𝐾 = $12.000/𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 o 𝑑 = 8.500 𝑢𝑛/𝑚ê𝑠 o ℎ = $0,30/𝑢𝑛 ∗ 𝑚ê𝑠 o 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟑 = 12000 8500 𝑸𝟑 + 𝟖, 𝟓 ∗ (8500) + 0,30 𝑸𝟑 2 , onde , 𝑸𝟑 > 80.000 𝑢𝑛 Vamos gerar o gráfico de custo mensal para as três faixas. É importante observar que a curva de custos é válida somente para a faixa do tamanho do lote correspondente, ou seja, a curva válida para a faixa 1 considera um tamanho de lote menor que 10.000 unidades, e este trecho está representado pelo traço contínuo em azul. Já a curva válida para a faixa 2 considera um tamanho de lote maior que 10.000 unidades e menor que 80.000 unidades, e este trecho está representado pelo traço contínuo em vermelho. Por fim, a curva válida para a faixa 3 considera apenas os lotes maiores que 80.000 unidades. Dessa maneira, o trecho é representado pelo traço contínuo em verde. O gráfico mostra ainda que o lote econômico é independente da faixa, sendo o mesmo para todas elas. Isso ocorre por que o custo de estoque é o mesmo para cada faixa. Se as curvas fossem válidas para qualquer valor de lote, é óbvio perceber que a faixa com o menor custo de obtenção seria aquela que geraria o menor custo por tempo, e isso ocorreria para o lote econômico. Porém, como as curvas não são válidas para cada faixa, devemos observar onde os custos mínimos ocorrem. Para faixa 1, o custo mínimo ocorrem quando Q1=10.000, e isso está indicado no gráfico como o limite da faixa. O mesmo ocorre para a faixa 3, onde o custo mínimo ocorre quando Q3=80.000 unidades, e isso também ocorre no limite da faixa. Para a faixa 2, o custo mínimo ocorre quando o lote Q2 é igual ao lote econômico da faixa, pois, para a faixa 2 o ponto de mínimo está contido nos limitantes quantitativos do lote. 21 Comparando os custos mínimos, é possível perceber que 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟑 < 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟐 < 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟏 . Um procedimento algébrico é apresentado na sequência, para que esse tipo de problema possa ser resolvido sem a necessidade de se elaborar um gráfico de custo em escala. Procedimento algébrico: Passo 1: Se o custo de estoque for o mesmo, calcule o lote econômico e identifique a faixa ao qual o lote pertence. Se o custo de estoque for diferente, calcule o lote econômico de cada faixa e verifique quais lotes são permitidos de acordo com os extremos de cada faixa. 𝑸∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 = √𝟐(𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎)(𝟖𝟓𝟎𝟎) 𝟎, 𝟑 = 𝟐𝟔. 𝟎𝟕𝟔, 𝟖 𝒖𝒏−→ 𝑭𝑨𝑰𝑿𝑨 𝟐 (𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 < 𝑸∗ ≤ 𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎) Passo 2: Se o custo de estoque for o mesmo calcule o custo mínimo da faixa que contém o lote econômico. Lembre-se que para essa faixa, o custo mínimo por tempo será obtido justamente quando Q é o lote econômico. Se o custo de estoque for diferente, calcule o custo mínimo para todas as faixas cujo lote econômico está contido nos extremos daquela faixa. 22 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟐 = 12000 8500 𝑸𝟐 + 𝟏𝟎 ∗ (8500) + 0,30 𝑸𝟐 2 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟐 = 12000 8500 𝟐𝟔. 𝟎𝟕𝟔, 𝟖 + 𝟏𝟎 ∗ (8500) + 0,30 𝟐𝟔. 𝟎𝟕𝟔, 𝟖 2 = $𝟗𝟐. 𝟖𝟐𝟑, 𝟎𝟒/𝒎ê𝒔 Passo 3: Para as outras faixas que não continham o lote econômico, encontre o extremo mais próximo do valor do lote econômico (o lote geral, se o custo de estoque for o mesmo para todas as faixas ou o lote econômico de cada faixa, se o custo de estoque for diferente para cada faixa), e calcule o custo mensal correspondente para esse valor. Como as faixas 1 e 3 possuem apenas um extremo (a faixa 1 exige 𝑄 ≤ 10.000 e a faixa 3 exige 𝑄 > 80.000), basta calcular o custo correspondente para esses extremos. Já foi mostrado no gráfico que o custo será mínimo para o ponto extremo mais próximo do lote econômico. Faixa 1 𝑸𝟏 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒖𝒏 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟏 = 12000 8500 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟏 ∗ (8500) + 0,30 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 2 = $𝟏𝟎𝟓. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎/𝒎ê𝒔 Faixa 3 𝑸𝟑 = 𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒖𝒏 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟑 = 12000 8500 𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟖, 𝟓 ∗ (8500) + 0,30 𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎 2 = $𝟖𝟓. 𝟓𝟐𝟓, 𝟎𝟎/𝒎ê𝒔 Passo 4: Encontre o lote ótimo. É aquele que produz o menor custo por tempo. Após o cálculo do custo mensal para todas as faixas, verificamos que: 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟑 < 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟐 < 𝑪𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 𝟏 $𝟖𝟓. 𝟓𝟐𝟓, 𝟎𝟎/𝒎ê𝒔 < $𝟗𝟐. 𝟖𝟐𝟑, 𝟎𝟒/𝒎ê𝒔 < $𝟏𝟎𝟓. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎/𝒎ê𝒔 Então, o lote econômico será: 𝑸𝟑 ∗ = 𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒖𝒏 23 Exercícios 5. A MBI é um fabricante de computadores pessoais. Todos seus computadores pessoais usam uma unidade de disquete flexível de alta densidade de 3,5” que é adquirida da Ynos. A MBI opera sua fábrica 52 semanas por ano, o que requer a montagem de 100 dessas unidades de disquete nos computadores por semana. A taxa anual de custo de manutenção de estoque da MBI é de 30% do valor (baseado no custo de aquisição) do estoque. Independentemente do tamanho do pedido, o custo administrativo de se fazer um pedido de compra com a Ynos foi estimado em US$ 50. É oferecido um desconto por volume pela Ynos para grandes pedidos, conforme mostrado a seguir, em que o preço para cada categoria se aplica a cada unidade de disquete adquirida. a. Determine a quantidade ótima a ser encomendada de acordo com o modelo EOQ com descontos por quantidade. Qual é o custo total por ano resultante? Vamos aplicar o método algébrico. Vejam que agora o custo de estoque também varia com as faixas. Os custos anuais incorridos por faixa são: 𝑪𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝟏 = 50 5200 𝑸𝟏 + 𝟏𝟎𝟎 ∗ (5200) + 30 𝑸𝟏 2 , onde 0 ≤ 𝑸𝟏 ≤ 99 𝑢𝑛 𝑪𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝟐 = 50 5200 𝑸𝟐 + 𝟗𝟓 ∗ (5200) + 28,5 𝑸𝟐 2 , onde 100 ≤ 𝑸𝟐 ≤ 499 𝑢𝑛 𝑪𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝟑 = 50 5200 𝑸𝟑 + 𝟗𝟎 ∗ (5200) + 27 𝑸𝟑 2 , onde 𝑸𝟑 ≥ 500 𝑢𝑛 Passo 1: Temos agora que os custos de estoque são diferentes em cada faixa. Teremos portanto, três lotes econômicos (um para cada faixa). 24 𝑸𝑭𝑨𝑰𝑿𝑨 𝟏 ∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 = √𝟐(𝟓𝟎)(𝟓𝟐𝟎𝟎) 𝟑𝟎 = 𝟏𝟑𝟏, 𝟔𝟓 𝒖𝒏−→ 𝑭𝑶𝑹𝑨 𝑫𝑨 𝑭𝑨𝑰𝑿𝑨: 0 ≤ 𝑸𝟏 ≤ 99 𝑢𝑛 𝑸𝑭𝑨𝑰𝑿𝑨 𝟐 ∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 = √𝟐(𝟓𝟎)(𝟓𝟐𝟎𝟎) 𝟐𝟖, 𝟓 = 𝟏𝟑𝟓, 𝟎𝟕 𝒖𝒏−→ 𝑫𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐!: 100 ≤ 𝑸𝟐 ≤ 499 𝑢𝑛 𝑸𝑭𝑨𝑰𝑿𝑨 𝟑 ∗ = √𝟐𝑲𝒅 𝒉 = √𝟐(𝟓𝟎)(𝟓𝟐𝟎𝟎) 𝟐𝟕 = 𝟏𝟑𝟖, 𝟕 𝒖𝒏−→ 𝑭𝑶𝑹𝑨 𝑫𝑨 𝑭𝑨𝑰𝑿𝑨: 𝑸𝟑 ≥ 500 𝑢𝑛 Passo 2: Apenas a faixa 2 contém o lote econômico dentro da faixa. Calculamos o custo anual para ela então: 𝑪𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝟐 = 50 5200 𝟏𝟑𝟓, 𝟎𝟕 + 𝟗𝟓 ∗ (5200) + 28,5 𝟏𝟑𝟓, 𝟎𝟕 2 = $𝟒𝟗𝟕. 𝟖𝟒𝟗, 𝟔𝟕/𝒂𝒏𝒐 Passo 3: Verificando qual o extremo de cada faixa está mais próximo do lote econômico da faixa Faixa 1: 0 ≤ 𝑸𝟏 ≤ 99 𝑢𝑛 e 𝑸𝑭𝑨𝑰𝑿𝑨 𝟏 ∗ = 𝟏𝟑𝟏, 𝟔𝟓 𝒖𝒏 ---> 𝑸𝟏 = 𝟗𝟗 𝒖𝒏 𝑪𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝟏 = 50 5200 𝟗𝟗 + 𝟏𝟎𝟎 ∗ (5200) + 30 𝟗𝟗 2 = $𝟓𝟐𝟒. 𝟏𝟏𝟏, 𝟐𝟔/𝒂𝒏𝒐 Faixa 3: 𝑸𝟑 ≥ 500 𝑢𝑛 e 𝑸𝑭𝑨𝑰𝑿𝑨 𝟑 ∗ = 𝟏𝟑𝟖, 𝒖𝒏 ---> 𝑸𝟑 = 𝟓𝟎𝟎 𝒖𝒏 𝑪𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝟑 = 50 5200 𝟓𝟎𝟎 + 𝟗𝟎 ∗ (5200) + 27 𝟓𝟎𝟎 2 = $𝟒𝟕𝟓. 𝟐𝟕𝟎, 𝟎𝟎/𝒂𝒏𝒐 Passo 4: Organizando os resultados, temos: 𝑪𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝟑 < 𝑪𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝟐 < 𝑪𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝟏 $𝟒𝟕𝟓. 𝟐𝟕𝟎, 𝟎𝟎/𝒂𝒏𝒐 < $𝟒𝟗𝟕. 𝟖𝟒𝟗, 𝟔𝟕/𝒂𝒏𝒐 < $𝟓𝟐𝟒. 𝟏𝟏𝟏, 𝟐𝟔/𝒂𝒏𝒐 Portanto o lote econômico é o extremo inferior da faixa 3: 𝑸𝑭𝑨𝑰𝑿𝑨 𝟑 = 𝟓𝟎𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 25 b. Com essa quantidade encomendada, quantos pedidos de compra precisam ser feitos por ano? Qual é o intervalo de tempo entre os pedidos? O número de pedidos é a razão entre a demanda anual e o lote considerado: 𝑁𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 = 𝑑 𝑸𝑭𝑨𝑰𝑿𝑨 𝟑 = 5200 𝟓𝟎𝟎 = 𝟏𝟎, 𝟒 𝒑𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐𝒔 O intervalo de tempo entre os pedidos é o tempo de ciclo. Vamos calcular o tempo de ciclo em semanas, pois a demanda anual é substancialmente maior que o lote. Dos dados do exercício, a demanda semanal é 100 unidades. Então: 𝑡𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑙 = 𝑸𝑭𝑨𝑰𝑿𝑨 𝟑 𝑑𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑙 = 𝟓𝟎𝟎 100 = 𝟓 𝒔𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒔 6. A família Gilbreth bebe uma caixa de Royal Cola todos os dias, 365 dias por ano. Felizmente, um distribuidor local oferece descontos por quantidade para grandes pedidos, conforme mostrado na tabela a seguir, em que o preço para cada categoria se aplica a toda caixa adquirida. Considerando-se o custo da gasolina, Sr. Gilbreth estima que custe a ele cerca de US$ 5 para ir buscar uma encomenda de Royal Cola. O Sr. Gilbreth também é um investidor no mercado de ações, onde ele vem tendo um retorno anual médio de 20%. Ele considera o retorno perdido por comprar a Royal Cola em vez da ação como o único custo de manutenção de estoque para a Royal Cola. (Não há gabarito para este exercício. Siga o roteiro do exercício resolvido. Compare o resultado com seus colegas). a. Determine a quantidade ótima a ser encomendada de acordo com o modelo EOQ com descontos por quantidade. Qual é o custo total por ano resultante? b. Com essa quantidade encomendada, quantos pedidos de compra precisam ser feitos por ano? Qual é o intervalo de tempo entre os pedidos? 26 7. Sarah dirige uma barraquinha sob concessão em um local no centro durante o ano. Um dos itens mais populares é o amendoim torrado, vendendo cerca de 200 saquinhos por mês. Sarah compra o amendoim torrado da Peanut Shop de Peter. Ela vem comprando 100 saquinhos por vez. Entretanto, para encorajar compras maiores, Peter está oferecendo a ela no momento descontos para pedidos de compra maiores de acordo com a seguinte tabela de preços, na qual o preço para cada categoria se aplica a todo saquinho adquirido. (Não há gabarito para este exercício. Siga o roteiro do exercício resolvido. Compare o resultado com seus colegas). Sarah quer usar o modelo EOQ com descontos por quantidade para determinar qual deveria ser a quantidade encomendada. Para essa finalidade, ela estima uma taxa de custo de manutenção de estoque anual de 17% do valor (baseado no preço de compra) dos amendoins. Ela também estima um custo de implantação de US$ 4 para fazer cada pedido de compra. a. Para cada categoria de desconto, escreva uma expressão para o custo total por ano (TC – total cost) em função da quantidade encomendada Q. b. Para cada categoria de desconto, use a fórmula EOQ para o modelo EOQ básico para calcular o valor de Q (viável ou inviável) que fornece o valor mínimo de TC. c. Para cada categoria de desconto, use os resultados dos itens (a) e (b) para determinar o valor viável de Q que fornece o valor mínimo viável de TC e para calcular esse valor de TC. d. Use os resultados dos itens (c) e (d) para determinar a quantidade ótima a ser encomendada e o valor correspondente de TC. 27 3. Dimensionamento de Lotes de Produção Finalizamos o módulo 2 com uma variação do modelo clássico EOQ. No dimensionamento de lotes de produção, fazemos uma única alteração em relação às premissas do modelo clássico. Consideramos que o lote Q não é entregue ao cliente tudo de uma vez. O lote possui uma taxa de entrega, dado pela taxa de produção, que deve ser maior que a demanda, caso contrário, faltaria produto. O exemplo a seguir ajudará a entender o modelo. No modelo EOQ básico, suponha que o estoque seja reabastecido uniformemente (em vez de instantaneamente) a uma taxa de b itens por unidade de tempo (essa é a taxa de produção) até a quantidade encomendada Q ser atendida. São feitas retiradas do estoque a uma taxa de d itens por unidade de tempo (essa é a demanda), em que d < b. Durante um certo período, são feitos reabastecimentos e retiradas simultâneas do estoque. Nessa parte do ciclo, o nível de estoque aumenta. Quando o lote é completamente produzido, a produção cessa e temos apenas retiradas do estoque. Há ainda um custo de setup K e um custo unitário de estoque h com as mesmas premissas do modelo clássico. Numericamente, vamos supor que a taxa de produção é de 3 unidades por dia (b = 3 un/dia), e a demanda é de 2 unidades por dia (d = 3 un/dia). Para um lote de Q=30 unidades, temos a seguinte dinâmica: Dia Qtde produzida no dia Qtde produzida acumulada Demanda Estoque 1 3 3 2 1 2 3 6 2 2 3 3 9 2 3 4 3 12 2 4 5 3 15 2 5 6 3 18 2 6 7 3 21 2 7 8 3 24 2 8 9 3 27 2 9 10 3 30 2 10 11 2 8 12 2 6 13 2 4 14 2 2 15 2 0 Em amarelo temos primeiro ciclo, quando ocorre produção e demanda. Como a produção diária é de 3 unidades e a demanda é de 2 unidades, o estoque aumenta em uma unidade por dia. A produção acaba no dia 10, quando as 30 unidades do lote são produzidas. A partir do dia 11, temos apenas a demanda ocorrendo. O estoque acumulado foi de 10 unidades, e irá demorar mais 5 dias para que a demanda de 2 unidades diárias consuma todo o estoque 28 remanescente. O ciclo total demora 15 dias, sendo 10 dias com produção e demanda, e 5 dias com apenas demanda. Graficamente, temos: Vamos determinar o lote econômico a partir da equação que calcula o custo por tempo. A única mudança é que o estoque máximo não é igual ao lote. Na verdade precisamos desenvolver uma equação que calcula o estoque máximo, para daí podermos calcular o estoque médio. Pelos dados numéricos, observamos que o estoque máximo ocorre no dia 10, ou seja ao final do ciclo 1 (produção e demanda). Pela tabela, a taxa de aumento diário no estoque é de uma unidade (a diferença entre a taxa de produção b e a taxa de demanda d) e isso ocorre durante 10 dias (tempo do ciclo 1). O tempo do ciclo 1 é o tempo necessário para produzir o lote, dado a taxa de produção b . Temos então 𝑡𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 1 = 𝑄 𝑏 Equação 16 O estoque aumenta à taxa b-d durante o tempo de ciclo 1. Então, basta multiplicar o tempo de ciclo para calcular o estoque máximo. Temos: 𝐸𝑀𝐴𝑋 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ∗ 𝑡𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 1 𝐸𝑀𝐴𝑋 = (𝑏 − 𝑑) 𝑄 𝑏 Equação 17 29 𝐸𝑀𝐴𝑋 = 𝑄 𝑏 𝑏 − 𝑄 𝑏 𝑑 𝐸𝑀𝐴𝑋 = 𝑄 − 𝑄 𝑏 𝑑 𝐸𝑀𝐴𝑋 = 𝑄 (1 − 𝑑 𝑏) Podemos então calcular o estoque médio (𝐸𝑀), que nada mais é do que a média entre o estoque máximo e o estoque mínimo. Como o estoque mínimo é zero, temos: 𝐸𝑀 = 𝐸𝑀𝐴𝑋 + 0 2 𝐸𝑀 = 𝑄 (1 − 𝑑 𝑏) + 0 2 𝐸𝑀 = 𝑄 (1 − 𝑑 𝑏) 1 2 𝐸𝑀 = 𝑄 2 (1 − 𝑑 𝑏) Equação 18 Portanto, basta substituir o final da equação 18 na equação que calcula o custo por tempo do modelo clássico. Temos então: 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = 𝑲 𝒅 𝑸 + 𝒄𝒅 + 𝒉𝐸𝑀 Onde o estoque médio era dado por 𝑸 𝟐. Utilizando agora o estoque médio da equação 18, temos: 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = 𝑲 𝒅 𝑸 + 𝒄𝒅 + 𝒉 𝑸 𝟐 (𝟏 − 𝒅 𝒃) Equação 19 30 Derivando a equação 19 em relação ao lote Q e igualando à zero (relembre as premissas na seção 1), encontramos o lote econômico de produção Q* que minimiza o custo por tempo. 𝝏𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝝏𝑸 = 𝟎 É vantajoso distribuir o custo de estoque na equação 19 da seguinte forma: 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = 𝑲 𝒅 𝑸 + 𝒄𝒅 + 𝒉 𝑸 𝟐 − 𝒉 𝒅 𝒃 𝑸 𝟐 Passando o lote Q para o numerador, temos: 𝑪𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = 𝑲𝒅𝑸−𝟏 + 𝒄𝒅 + 𝒉 𝑸 𝟐 − 𝒉 𝒅 𝒃 𝑸 𝟐 Agora a derivação fica mais simples: 𝝏 [𝑲𝒅𝑸−𝟏 + 𝒄𝒅 + 𝒉 𝑸 𝟐 − 𝒉 𝒅 𝒃 𝑸 𝟐] 𝝏𝑸 = 𝟎 −𝟏𝑲𝒅𝑸−𝟐 + 𝟎 + 𝒉 𝑸𝟎 𝟐 − 𝒉 𝒅 𝒃 𝑸𝟎 𝟐 = 𝟎 − 𝑲𝒅 𝑸𝟐 + 𝒉 𝟐 − 𝒉 𝟐 𝒅 𝒃 = 𝟎 𝒉 𝟐 − 𝒉 𝟐 𝒅 𝒃 = 𝑲𝒅 𝑸𝟐 𝒉 𝟐 (𝟏 − 𝒅 𝒃) = 𝑲𝒅 𝑸𝟐 E isolando Q2, temos: 𝑸𝟐 = 𝟐𝑲𝒅 𝒉 (𝟏 − 𝒅 𝒃) Temos portanto o lote econômico de produção: Equação 20 31 𝑸∗ = √ 𝟐𝑲𝒅 𝒉 (𝟏 − 𝒅 𝒃) É interessante observar que, quando a taxa de produção b tende ao infinito, ou seja, quando todo o lote é produzido ao mesmo tempo, a razão d/b tende à zero, e o modelo recai na formulação clássica. Exercícios 8. Formule uma equação que calcula o tempo de ciclo em função dos parâmetros do modelo. Lembre-se que o tempo de ciclo é a soma do ciclo 1 (produção – demanda) e do ciclo 2 (demanda), e isso equivale ao tempo necessário para exaurir o lote Q à uma taxa de demanda d. 32 9. Considerando os dados do exemplo (b = 3 unidades/dia , d = 2 unidades/dia ) e ainda K=$35/ordem e h=$0,05/unidade*dia, calcule o lote econômico de produção. Verifique o tempo de ciclo ótimo desenvolvido na questão anterior. 10. Calcule o custo mínimo diário para o lote econômico calculado no exercício anterior. Considere que o custo unitário de produção é $10/unidade.