Resumo - Condução Unidimensional em Regime Estacionário - Mecânica dos Fluidos

TH047 Elementos de Mecânica dos Fluidos II TH064 Fenômenos de Transporte na Eng de Produção Segundo Semestre de 2024 Resumo número 5 O resumo apresentado foi preparado com base no livro texto adotado na disciplina Incropera FP Dewitt DP Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa LTC 1998 Os tópicos apresentados também podem ser encontrados na bibliografia básica listada no texto que descreve as instruções gerais sobre a disciplina 3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO Solucionamse problemas aplicados em engenharia com a equação da difusão de calor unidimensional em regime estacionário As equações usadas são obtidas a partir de simplificações aplicadas na equação da difusão de calor 2𝑇 𝑞 𝑘 𝑇𝑡𝛼 1 As equações usadas são as seguintes a em coordenadas retangulares T em função da abscissa x 𝑑2𝑇𝑑𝑥2 𝑞 𝑘 0 2 b em coordenadas cilíndricas T em função do raio polar r 𝑑 𝑟𝑑𝑇𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑟𝑞 𝑘 0 3 c em coordenadas esféricas T em função do raio vetor r 𝑑 𝑟2𝑑𝑇𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑟2𝑞 𝑘 0 4 31 Parede Plana Solucionamse problemas com equação 2 considerandose o termo de geração de calor nulo 𝑞 0 𝑑2𝑇𝑑𝑥2 0 5 Os problemas são solucionados usandose o conceito de circuito térmico equivalente Alguns problemas são analisados com o objetivo de dimensionar isolamentos térmicos em paredes e recipientes Na seguinte figura apresentase um esboço de uma parede plana Na figura a parede separa dois fluidos em movimento Considerase que a parede tem uma condutividade térmica k as superfícies das paredes são isotérmicas e tem área perpendicular ao eixo x igual a A 311 Distribuição de temperatura A linha que une os pontos 1 a 4 representa a distribuição de temperatura No ponto 1 a temperatura é 𝑇1 no ponto 2 é 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 no ponto 3 é 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 e no ponto 4 é 𝑇2 Com a equação 5 determinase a distribuição de temperatura da superfície identificada pelo ponto 2 até a superfície identificada pelo ponto 3 Integrandose a equação 5 e considerandose que são conhecidas as temperaturas nos pontos 2 e 3 resulta 𝑇 𝑥 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑥𝐿 6 Aplicandose a equação 6 na lei de Fourier resulta 𝑞𝑥 𝑘𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑇𝑠𝑢𝑝 2𝐿 e 7 𝑞𝑥 𝑘𝐴𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑇𝑠𝑢𝑝 2𝐿 8 As equações 7 e 8 indicam que numa parede plana em estado estacionário e sem geração de calor a taxa de transferência de calor e o fluxo de calor são constantes 312 Resistência térmica Da teoria do potencial definese resistência como a razão entre a diferença de potencial que provoca um fluxo O conceito de resistência é amplamente usado em engenharia Exemplo1 Na seguinte figura representase um trecho de condutor elétrico de seção reta uniforme A comprimento L e condutividade elétrica σ Considerandose a definição de resistência e a expressão da lei de Ohm para a corrente elétrica resulta 𝑅 𝜙1 𝜙2 𝜎𝐴𝜙1 𝜙2𝐿 9 sendo R a resistência elétrica e 𝜙1 𝜙2 é o potencial elétrico entre os pontos 1 e 2 Simplificandose a equação 9 resulta 𝑅 𝐿𝜎𝐴 10 Para a parede plana considerandose que o potencial térmico é igual a 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 e usandose a equação 10 resulta 𝑅𝑡𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐿𝑘𝐴 11 As equações 10 e 11 são expressões usadas para o cálculo de resistências para dois diferentes fenômenos que são similares Os sistemas térmicos podem ser interpretados como circuitos térmicos que por analogia com os problemas elétricos podem ser resolvidos com os métodos conhecidos para a solução de circuitos elétricos de corrente contínua A unidade usada para a resistência elétrica é o Ohm Ω VA e para a resistência térmica é KW A definição de resistência também pode ser usada para estabelecer equações para o cálculo da resistência térmica por convecção e radiação térmica 𝑅𝑡𝑐𝑜𝑛𝑣 1ℎ𝐴 12 𝑅𝑡𝑟𝑎𝑑 1ℎ𝑟𝐴 13 Na seguinte figura representase o circuito térmico equivalente a parede plana esquematizada no início do item 31 Os números identificam os nós do circuito e as resistências térmicas nos ramos do circuito são 𝑅1 1ℎ1𝐴 𝑅2 𝐿𝑘𝐴 e 𝑅3 1ℎ2𝐴 Podese determinar o fluxo de calor usandose os métodos que são usados para solucionar os problemas de circuitos elétricos de corrente contínua Em função dos ramos do circuito em que os potenciais térmicos são conhecidos calculase a resistência térmica correspondente Por exemplo conhecendose 𝑇1 e 𝑇2 resulta 𝑞𝑥 𝑇1 𝑇2 𝑅1 𝑅2 𝑅3 14 313 Parede composta Na seguinte figura esquematizase uma parede composta em série pelos materiais A e B A parede da figura tem área perpendicular ao eixo x igual a A A linha que une os pontos 1 a 5 representa a distribuição de temperatura No ponto 1 a temperatura é 𝑇1 no ponto 2 é 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 no ponto 3 é 𝑇𝐴𝐵 no ponto 4 é 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 e no ponto 5 é 𝑇2 Na seguinte figura representase o circuito térmico equivalente para a parede composta em série Os números identificam as temperaturas em cada ponto do circuito e as resistência térmicas são 𝑅1 1ℎ1𝐴 𝑅2 𝐿𝐴𝑘𝐴𝐴 𝑅3 𝐿𝐵𝑘𝐵𝐴 e 𝑅4 1ℎ2𝐴 Existem paredes planas compostas por vários materiais e arranjadas de forma complexa Estas paredes podem ser representadas por circuitos térmicos equivalentes incluindo a combinação de resistências térmicas em série paralelo estrela triângulo etc Em paredes planas complexas a transferência de calor é bidimensional Geralmente soluções exatas somente podem ser obtidas numericamente Soluções aproximadas podem ser obtidas considerandose os problemas como unidimensionais Em função das hipóteses consideradas podem ser propostos diferentes circuitos térmicos equivalentes Na seguinte figura apresentase um diagrama esquemático de uma parede composta em paralelo por três materiais A parede da figura tem área perpendicular ao eixo x igual a A e largura na direção z perpendicular ao plano do papel igual a L Considerase que no plano abc a temperatura é 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 e no plano ghi a temperatura é 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 A parede representada na figura pode ser solucionada propondose dois circuitos térmicos equivalentes As hipóteses consideradas são a o plano vertical def é isotérmico A parede pode ser representada pelo seguinte circuito térmico equivalente Sendo 𝑇1 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑇3 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 𝑅𝐴 𝐿𝐴𝑘𝐴𝐴 𝑅𝐵 𝐿𝐵𝑘𝐵𝐿𝐻𝐵 e 𝑅𝐶 𝐿𝐶𝑘𝐶𝐿𝐻𝐶 b o plano horizontal beh é adiabático A parede pode ser representada pelo seguinte circuito térmico equivalente Sendo 𝑅1 𝐿𝐴𝑘𝐴 𝐿𝐵𝑘𝐵 𝐿𝐻𝐵 e 𝑅2 𝐿𝐴𝑘𝐴 𝐿𝐶𝑘𝐶 𝐿𝐻𝐶 314 Resistência térmica de contato Em sistemas de paredes compostas nas interfaces das junções entre os materiais podem ocorrer grandes quedas de temperaturas Para uma área de interface unitária a resistência térmica de contato é definida pela equação 𝑅𝑡𝑐 𝑇2 𝑇3𝑞𝑥 15 A unidade usada para a resistência térmica de contato é m²KW A existência da resistência térmica de contato devese principalmente as rugosidades existentes nas faces das paredes a serem justapostas Regiões de contato total são entremeadas por regiões contendo ar ou adesivos que muitas vezes são usados para realizar colagens Na seguinte figura apresentase um diagrama esquemático de uma junção entre dois diferentes materiais onde ocorre uma queda de temperatura 32 Análise alternativa da condução Podese demonstrar que em sistemas de condução sem geração de calor em estado estacionário e sem perdas de calor nos contornos o fluxo de calor é constante Assim sendo a distribuição de temperatura pode ser obtida integrandose diretamente a equação que representa a lei de Fourier 𝑘 𝑇 𝑑𝑇 𝑇𝑥 𝑇0 𝑞𝑥 𝑑𝑥𝐴𝑥 𝑥 𝑥0 16 Exemplo 2 O corpo esboçado na seguinte figura é fabricado em cobre Possui seção transversal reta com diâmetro 𝐷 07𝑥06 com x e D em metros No plano ab situado em 𝑥0 01 m a temperatura é igual a 𝑇0 300C e no plano cd em 𝑥0 08 m a temperatura é igual a 𝑇1 100C Considerandose que o fluxo de calor é unidimensional usar a análise alternativa da condução para determinar o fluxo de calor através do corpo Aplicandose a expressão 16 aos dados do problema obtêmse 401 𝑇1 𝑇0 𝑞𝑥 4 𝑥12𝑑𝑥 𝑥1 𝑥0 049𝜋 17 Resolvendose a integral da expressão 17 e explicitandose resulta 𝑞𝑥 1145 kW 33 Sistemas radiais Solucionamse problemas com as equações 3 e 4 considerandose o termo de geração de calor nulo 𝑞 0 Os problemas são solucionados usandose o conceito de circuito térmico equivalente Alguns problemas são analisados com o objetivo de dimensionar isolamentos térmicos em recipientes tubos e condutores elétricos São considerados sistemas cilíndricos e esféricos com fluxo de calor na direção radial Os fluxos de calor nos sistemas radiais também podem ser determinados pelos métodos que são usados para solucionar os problemas de circuitos elétricos de corrente contínua como no caso dos sistemas com paredes planas Em função do trecho do circuito em que os potenciais térmicos são conhecidos calculase a resistência térmica correspondente Na seguinte figura apresentase um esboço de uma superfície curva que tanto pode representar um cilindro longo ou um recipiente esférico A superfície 1 tem raio 𝑟1 e temperatura 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 e a superfície 2 tem raio 𝑟2 e temperatura 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 A convecção interna ocorre com um fluido em movimento com temperatura 𝑇1e coeficiente de transferência de calor por convecção ℎ1 e a convecção externa ocorre com um fluido em movimento com temperatura 𝑇2e coeficiente de transferência de calor por convecção ℎ2 Nos itens seguintes apresentamse as expressões para a determinação da distribuição de temperatura em paredes cilíndricas 331 e esféricas 332 331 Cilindro Integrandose a equação 18 e considerandose que são conhecidas as temperaturas nas superfícies 1 e 2 resulta a equação 19 𝑑 𝑟𝑑𝑇𝑑𝑟 𝑑𝑟 0 18 𝑇 𝑟 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 ln𝑟𝑟1ln𝑟2𝑟1 19 Usandose 18 na equação da lei de Fourier determinase 𝑞𝑟 2𝜋𝐿𝑘 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 ln𝑟2𝑟1 20 sendo L 𝑟2 o comprimento do cilindro longo Considerandose a definição de resistência e a expressão da lei de Fourier resulta a seguinte expressão para a resistência térmica 𝑅𝑡𝑐𝑜𝑛𝑑 ln 𝑟2𝑟1 2𝜋𝐿𝑘 21 332 Esfera Integrandose a equação 22 e considerandose que são conhecidas as temperaturas nas superfícies 1 e 2 resulta a equação 23 𝑑 𝑟2𝑑𝑇𝑑𝑟 𝑑𝑟 0 22 𝑇 𝑟 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 1 𝑟1r 1 𝑟1𝑟2 23 Usandose 23 na equação da lei de Fourier determinase 𝑞𝑟 4𝑘𝜋 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 1𝑟1 1𝑟2 24 Considerandose a definição de resistência e a expressão da lei de Fourier resulta a seguinte expressão para a resistência térmica 𝑅𝑡𝑐𝑜𝑛𝑑 1𝑟1 1𝑟24𝑘𝜋 25 Exemplo 3 A figura apresentada a seguir esquematiza um sistema radial cilíndrico ou esférico composto por dois materiais A superfície 1 tem raio 𝑟1 e temperatura 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 a superfície 2 tem raio 𝑟2 e temperatura desconhecida e a superfície 3 tem raio 𝑟3 e temperatura 𝑇𝑠𝑢𝑝 3 A convecção interna ocorre com um fluido em movimento com temperatura 𝑇1e coeficiente de transferência de calor por convecção ℎ1 e a convecção externa ocorre com um fluido em movimento com temperatura 𝑇3e coeficiente de transferência de calor por convecção ℎ3 Na seguinte figura representase o circuito térmico equivalente para o sistema radial composto em série Os números identificam as temperaturas em cada ponto do circuito e as resistências térmicas são 𝑅1 1ℎ1𝐴1 𝑅4 1ℎ3𝐴3 e para 𝑅2 e 𝑅3 usamse as expressões para as resistências térmicas por condução para cilindros ou esferas em função do tipo de sistema radial em análise A área 𝐴1 é função de 𝑟1 e a área 𝐴3 é função de 𝑟3 No caso de sistema cilíndrico são calculadas como a área lateral do cilindro 2πrL e no caso de sistema esférico é a área da superfície da esfera 4πr² 35 Condução com Geração de Energia Térmica Com as equações 2 3 e 4 podem ser analisadas situações em que a energia térmica é gerada pela conversão de outras formas de energia Alguns exemplos de processos que produzem calor são os seguintes aquecimento resistivo em condutores elétricos reações químicas em misturas de substâncias e reações nucleares em elementos de combustíveis Considerandose que taxa de geração de calor 𝑞 é constante integrandose a equação 1 para o caso da parede plana esquematizada na figura do item 31 obtêmse a seguinte expressão para a determinação da temperatura 𝑇 𝑥 𝑞 𝑥𝐿 𝑥 2𝑘 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑥𝐿 26 Se em 𝑥 0 a parede é isolada térmicamente resulta 𝑇 𝑥 𝑞 𝐿2 𝑥2 2𝑘 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 27 No caso dos sistemas radiais como esquematizado na figura do item 33 as distribuições de temperatura são apresentadas nas seguintes equações Para a parede cilíndrica 𝑇 𝑟 𝑞 𝑟2 4𝑘 𝐶1 ln 𝑟 𝐶2 28 𝐶1 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑞 𝑟2 2 𝑟1 2 4𝑘 ln𝑟2𝑟1 29 𝐶2 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 𝑞 𝑟2 2 4𝑘 𝐶1ln𝑟2 30 No caso de uma barra com 𝑟1 0 𝐶1 0 Para a parede esférica 𝑇 𝑟 𝑞 𝑟2 6𝑘 𝐶1𝑟 𝐶2 31 𝐶1 𝑇𝑠𝑢𝑝 2 𝑇𝑠𝑢𝑝 1 𝑞 𝑟2 2 𝑟1 2 6𝑘 1𝑟1 1𝑟2 32 𝐶2 𝑇𝑠𝑢𝑝2 𝑞 𝑟2 2 6𝑘 𝐶1𝑟2 33 No caso de uma esfera com 𝑟1 0 𝐶1 0 Constantes e Propriedades físicas g981ms² σ 5670 108Wm2K4 𝑇K 𝑇C 273 𝑇 C 𝑇 F 32 18 hp746W bar100kPa atm101325Pa mmHg1333224Pa lbfin²6894757Pa 83145JmolK0082058atmLmolK Rar2869JkgK kar14 Rvapor água4610JkgK kvapor água133 Rhélio2077JkgK khélio166 NA602214210²³mol Evágua216 109Pa in254cm ft3048cm lbm04535924kg slug1459390kg lbf4448222N Massa molar M Substância Al Ar ar B C Ca Cl H Mgmol 2698 3995 2897 1081 1201 4008 3545 1008 Substância K N Na O S Zn Mgmol 3910 1401 2299 1599 3206 6538 Propriedade Substância Ρ kgm³ k WmK cp kJkgK µ Pas hlf kJkg hlv kJkg pv Pa Acetona l 791 0180 2151 0000337 962 521 Aço s 7800 43 0473 Água l 1000 0628 4178 0000891 334 2257 2340 Água g 00195 1868 0000009 2257 Alumínio s 2700 237 0903 85 Amônia l 612 0521 4798 00002196 322 1357 910000 ar g 1269 00240 10065 00000175 Benzeno l 883 0161 1675 00006850 126 394 10100 Cobre s 8933 401 0385 209 Concreto 2400 14 0950 Chumbo s 11340 353 0130 234 Etanol l 789 0167 2840 0001060 108 855 5700 Etileno glycol l 1096 0258 2505 00007570 181 800 12 Ferro s 7272 52 420 Gasolina l 680 000031 55100 Glicerina l 1264 0286 2386 1519 201 974 0014 Hélio g 0152 5193 00000199 Mercúrio l 13560 8515 0139 01534 114 295 00011 Metanol l 779 0198 2577 00005088 992 1100 13400 Óleo de motor 878 0145 1950 0253 Querosene l 820 20 00017 251 3110 l Líquido g Gás