Análise Matricial de Estruturas Parte 1-2021 2

TC036 - Mecânica das Estruturas II Prof. Marcos Arndt 4. Análise Matricial de Estruturas – Parte 1 4 Análise Matricial de Estruturas 4.1 Introdução O método dos deslocamentos é o que está mais direcionado a uma implementação computacional. Portanto, este capítulo apresenta uma formalização matricial desse método, que tem por objetivo aproximar a sua metodologia aos procedimentos adotados usualmente nos programas de computador. Essa nova roupagem do método dos deslocamentos é conhecida como método da rigidez direta (White, Gergely e Sexsmith, 1976), mas essencialmente segue a metodologia do método de origem. Essa formalização matricial também é conhecida como análise matricial das estruturas ou cálculo matricial das estruturas. 4.2 Discretização no Método da Rigidez Direta Os parâmetros de discretização são as componentes de deslocamentos e rotações dos nós do modelo estrutural. Os nós são os pontos de encontro de barras ou as extremidades livres. Também são considerados nós os pontos onde existem apoios ou mudanças abruptas das propriedades da barra. O elemento é o trecho da barra entre dois nós consecutivos. No contexto do método da rigidez direta, uma deslocabilidade é denominada grau de liberdade. Na formulação matricial, as restrições de apoio são consideradas em um estágio posterior da solução, assim é comum se referir a uma componente de deslocamento ou rotação nodal restrita por apoio também como grau de liberdade. Exemplos de discretização: nó elemento deslocabilidade ou grau de liberdade Exemplos de discretização: 2P P 2P PL P q = P L A B C D E J 2EJ 2EJ L 2 L 2 2L 2L 1 3 5 7 1 2 J 4 6 3 8 Exemplos de discretização: 35,00↑ 40,00↑ 5 t/m 160,00 m 122,50 m 35 m 40 m 38 m 1 3 5 7 1 4 3 2 6 3 8 2 4 4.3 Desenvolvimento do método Seja a viga hiperestática abaixo: com 𝑑1 = 𝑑3 = 𝑑5 = 𝑑6 = 0 A B C Sistema Hipergeométrico: com 𝑑1 = 𝑑3 = 𝑑5 = 𝑑6 = 0 Caso 0: Pode ser dividido em 3 etapas a) Cargas ao longo dos elementos: b) Cargas aplicadas nos nós: c) Reações de apoio: 𝛽0 ∗ 𝛽10 𝛽20 𝛽30 𝛽40 𝛽50 𝛽60 −𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑠 𝑛ó𝑠 −𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 Da condição de equilíbrio do Método dos Deslocamentos: 𝛽0 = 𝛽0 ∗ + −𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑠 𝑛ó𝑠 + −𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 𝛽0 + 𝐾 𝐷 = 0 𝐾 𝐷 = − 𝛽0 𝐾 𝐷 = 𝐹 𝐹 = − 𝛽0 𝐹 = − 𝛽0 ∗ + 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑠 𝑛ó𝑠 + 𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 Vetor de cargas nodais equivalentes Vetor de forças Cargas nodais equivalentes: q q M_A M_B V_A V_B V_A V_B M_A M_B Vetor de Forças: −𝑃/2 −𝑃𝐿1/8 − 𝑃 2 − 𝑞𝐿2 2 𝑃𝐿1 8 − 𝑞𝐿2 2 12 −𝑞𝐿2/2 𝑞𝐿2 2/12 𝑃𝐿1/8 𝑃/2 𝑃/2 𝑃𝐿1/8 𝑞𝐿2/2 𝑞𝐿2/2 𝑞𝐿2 2/12 𝑞𝐿2 2/12 0 0 0 𝑀 0 0 𝑅𝐴 0 𝑅𝐵 0 𝑅𝐶 𝑀𝐶 ∗ Vetor de Forças: 𝐹 = − 𝑃 2 − 𝑃𝐿1 8 − 𝑃 2 − 𝑞𝐿2 2 𝑃𝐿1 8 − 𝑞𝐿2 2 12 − 𝑞𝐿2 2 𝑞𝐿2 2 12 + 0 0 0 𝑀 0 0 + 𝑅𝐴 0 𝑅𝐵 0 𝑅𝐶 𝑀𝐶 ∗ = − 𝑃 2 + 𝑅𝐴 − 𝑃𝐿1 8 − 𝑃 2 − 𝑞𝐿2 2 + 𝑅𝐵 𝑃𝐿1 8 − 𝑞𝐿2 2 12 + 𝑀 − 𝑞𝐿2 2 + 𝑅𝐶 𝑞𝐿2 2 12 + 𝑀𝐶 ∗ Casos 1 a 6: Analisando um trecho de viga qualquer de comprimento L: Fazendo Di = 1 obtemos K1i, K2i, K3i e K4i (coluna i de uma matriz 4x4 que corresponde à matriz de rigidez da viga) 𝐾𝑒 = 12𝐸𝐼/𝐿3 6𝐸𝐼/𝐿2 6𝐸𝐼/𝐿2 4𝐸𝐼/𝐿 −12𝐸𝐼/𝐿3 6𝐸𝐼/𝐿2 −6𝐸𝐼/𝐿2 2𝐸𝐼/𝐿 −12𝐸𝐼/𝐿3 −6𝐸𝐼/𝐿2 6𝐸𝐼/𝐿2 2𝐸𝐼/𝐿 12𝐸𝐼/𝐿3 −6𝐸𝐼/𝐿2 −6𝐸𝐼/𝐿2 4𝐸𝐼/𝐿 𝐾𝑒 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 D1 = 1 D2 = 1 D3 = 1 D4 = 1 Matriz de Rigidez Elementar para Vigas Casos 1 a 6: 𝐾𝑒1 = 𝐸𝐼 𝐿1 3 12 6𝐿1 6𝐿1 4𝐿1 2 −12 6𝐿1 −6𝐿1 2𝐿1 2 −12 −6𝐿1 6𝐿1 2𝐿1 2 12 −6𝐿1 −6𝐿1 4𝐿1 2 𝐾𝑒2 = 𝐸𝐼 𝐿2 3 12 6𝐿2 6𝐿2 4𝐿2 2 −12 6𝐿2 −6𝐿2 2𝐿2 2 −12 −6𝐿2 6𝐿2 2𝐿2 2 12 −6𝐿2 −6𝐿2 4𝐿2 2 Casos 1 a 6: 𝐾𝑒1 = 𝐸𝐼 12/𝐿1 3 6/𝐿1 2 6/𝐿1 2 4/𝐿1 −12/𝐿1 3 6/𝐿1 2 −6/𝐿1 2 2/𝐿1 −12/𝐿1 3 −6/𝐿1 2 6/𝐿1 2 2/𝐿1 12/𝐿1 3 −6/𝐿1 2 −6/𝐿1 2 4/𝐿1 𝐾𝑒2 = 𝐸𝐼 12/𝐿2 3 6/𝐿2 2 6/𝐿2 2 4/𝐿2 −12/𝐿2 3 6/𝐿2 2 −6/𝐿2 2 2/𝐿2 −12/𝐿2 3 −6/𝐿2 2 6/𝐿2 2 2/𝐿2 12/𝐿2 3 −6/𝐿2 2 −6/𝐿2 2 4/𝐿2 𝐾 = 𝐸𝐼 12/𝐿1 3 6/𝐿1 2 −12/𝐿1 3 6/𝐿1 2 4/𝐿1 −6/𝐿1 2 −12/𝐿1 3 −6/𝐿1 2 12 𝐿1 3 + 12 𝐿2 3 6/𝐿1 2 0 0 2/𝐿1 0 0 − 6 𝐿1 2 + 6 𝐿2 2 −12/𝐿2 3 6/𝐿2 2 6/𝐿1 2 2/𝐿1 − 6 𝐿1 2 + 6 𝐿2 2 0 0 −12/𝐿2 3 0 0 6/𝐿2 2 4 𝐿1 + 4 𝐿2 −6/𝐿2 2 2/𝐿2 −6/𝐿2 2 12/𝐿2 3 −6/𝐿2 2 2/𝐿2 −6/𝐿2 2 4/𝐿2 3 4 5 6 1 2 3 4 3 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Sistema de equações não restringido (sem considerar as condições de contorno dos apoios): Faz-se agora a reordenação da matriz K e dos vetores F e D da seguinte forma: a) Numera-se primeiro os graus de liberdade livres Dl e depois os graus de liberdade restringidos Dp , tal que: b) Neste caso Fl contém as forças nodais conhecidas e Fp contém as reações de apoio (desconhecidas): 𝐾 𝐷 = 𝐹 𝐊𝑙𝑙 𝐊𝑙𝑝 𝐊𝑝𝑙 𝐊𝑝𝑝 𝑫𝑙 𝑫𝑝 = 𝑭𝑙 𝑭𝑝 ൝ 𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 = 𝑭𝑙 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 = 𝑭𝑝 𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 = 𝑭𝑙 − 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 ⇒ Determina−se 𝑫𝑙 𝑭𝑝 = 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 ⇒ Determina−se 𝑭𝑝 Reordenação dos vetores e matrizes: 2 4 1 3 5 6 𝑑1 = 𝑑3 = 𝑑5 = 𝑑6 = 0 𝐷 = 𝑑1 = 0 𝑑2 𝑑3 = 0 𝑑4 𝑑5 = 0 𝑑6 = 0 𝐷𝑜𝑟𝑑 = 𝑑2 𝑑4 𝑑1 = 0 𝑑3 = 0 𝑑5 = 0 𝑑6 = 0 Reordenação dos vetores e matrizes: 𝐾 = 𝐸𝐼 12/𝐿1 3 6/𝐿1 2 −12/𝐿1 3 6/𝐿1 2 4/𝐿1 −6/𝐿1 2 −12/𝐿1 3 −6/𝐿1 2 12 𝐿1 3 + 12 𝐿2 3 6/𝐿1 2 0 0 2/𝐿1 0 0 − 6 𝐿1 2 + 6 𝐿2 2 −12/𝐿2 3 6/𝐿2 2 6/𝐿1 2 2/𝐿1 − 6 𝐿1 2 + 6 𝐿2 2 0 0 −12/𝐿2 3 0 0 6/𝐿2 2 4 𝐿1 + 4 𝐿2 −6/𝐿2 2 2/𝐿2 −6/𝐿2 2 12/𝐿2 3 −6/𝐿2 2 2/𝐿2 −6/𝐿2 2 4/𝐿2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 𝐾𝑜𝑟𝑑 = 𝐸𝐼 4/𝐿1 2/𝐿1 6/𝐿1 2 2/𝐿1 4 𝐿1 + 4 𝐿2 6/𝐿1 2 6/𝐿1 2 6/𝐿1 2 12/𝐿1 3 −6/𝐿1 2 0 0 − 6 𝐿1 2 + 6 𝐿2 2 −6/𝐿2 2 2/𝐿2 −12/𝐿1 3 0 0 −6/𝐿1 2 − 6 𝐿1 2 + 6 𝐿2 2 −12/𝐿1 3 0 −6/𝐿2 2 0 0 2/𝐿2 0 12 𝐿1 3 + 12 𝐿2 3 −12/𝐿2 3 6/𝐿2 2 −12/𝐿2 3 12/𝐿2 3 −6/𝐿2 2 6/𝐿2 2 −6/𝐿2 2 4/𝐿2 2 4 1 3 5 6 2 4 1 3 5 6 Reordenação dos vetores e matrizes: 1 2 3 4 5 6 𝐹 = − 𝑃 2 + 𝑅𝐴 − 𝑃𝐿1 8 − 𝑃 2 − 𝑞𝐿2 2 + 𝑅𝐵 𝑃𝐿1 8 − 𝑞𝐿2 2 12 + 𝑀 − 𝑞𝐿2 2 + 𝑅𝐶 𝑞𝐿2 2 12 + 𝑀𝐶 ∗ 2 4 1 3 5 6 𝐹𝑜𝑟𝑑 = − 𝑃𝐿1 8 𝑃𝐿1 8 − 𝑞𝐿2 2 12 + 𝑀 − 𝑃 2 + 𝑅𝐴 − 𝑃 2 − 𝑞𝐿2 2 + 𝑅𝐵 − 𝑞𝐿2 2 + 𝑅𝐶 𝑞𝐿2 2 12 + 𝑀𝐶 ∗ Sistema reordenado: 𝐸𝐼 4/𝐿1 2/𝐿1 6/𝐿1 2 2/𝐿1 4 𝐿1 + 4 𝐿2 6/𝐿1 2 6/𝐿1 2 6/𝐿1 2 12/𝐿1 3 −6/𝐿1 2 0 0 − 6 𝐿1 2 + 6 𝐿2 2 −6/𝐿2 2 2/𝐿2 −12/𝐿1 3 0 0 −6/𝐿1 2 − 6 𝐿1 2 + 6 𝐿2 2 −12/𝐿1 3 0 −6/𝐿2 2 0 0 2/𝐿2 0 12 𝐿1 3 + 12 𝐿2 3 −12/𝐿2 3 6/𝐿2 2 −12/𝐿2 3 12/𝐿2 3 −6/𝐿2 2 6/𝐿2 2 −6/𝐿2 2 4/𝐿2 𝑑2 𝑑4 0 0 0 0 = − 𝑃𝐿1 8 𝑃𝐿1 8 − 𝑞𝐿2 2 12 + 𝑀 − 𝑃 2 + 𝑅𝐴 − 𝑃 2 − 𝑞𝐿2 2 + 𝑅𝐵 − 𝑞𝐿2 2 + 𝑅𝐶 𝑞𝐿2 2 12 + 𝑀𝐶 ∗ Kll Kpl Klp Kpp Dl Dp Fl Fp 𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 = 𝑭𝑙 − 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 𝐸𝐼 4 𝐿1 2 𝐿1 2 𝐿1 4 𝐿1 + 4 𝐿2 𝑑2 𝑑4 = − 𝑃𝐿1 8 𝑃𝐿1 8 − 𝑞𝐿2 2 12 + 𝑀 𝑑2 𝑑4 Sistema reordenado: 𝐸𝐼 4/𝐿1 2/𝐿1 6/𝐿1 2 2/𝐿1 4 𝐿1 + 4 𝐿2 6/𝐿1 2 6/𝐿1 2 6/𝐿1 2 12/𝐿1 3 −6/𝐿1 2 0 0 − 6 𝐿1 2 + 6 𝐿2 2 −6/𝐿2 2 2/𝐿2 −12/𝐿1 3 0 0 −6/𝐿1 2 − 6 𝐿1 2 + 6 𝐿2 2 −12/𝐿1 3 0 −6/𝐿2 2 0 0 2/𝐿2 0 12 𝐿1 3 + 12 𝐿2 3 −12/𝐿2 3 6/𝐿2 2 −12/𝐿2 3 12/𝐿2 3 −6/𝐿2 2 6/𝐿2 2 −6/𝐿2 2 4/𝐿2 𝑑2 𝑑4 0 0 0 0 = − 𝑃𝐿1 8 𝑃𝐿1 8 − 𝑞𝐿2 2 12 + 𝑀 − 𝑃 2 + 𝑅𝐴 − 𝑃 2 − 𝑞𝐿2 2 + 𝑅𝐵 − 𝑞𝐿2 2 + 𝑅𝐶 𝑞𝐿2 2 12 + 𝑀𝐶 ∗ Kll Kpl Klp Kpp Dl Dp Fl Fp − 𝑃 2 + 𝑅𝐴 − 𝑃 2 − 𝑞𝐿2 2 + 𝑅𝐵 − 𝑞𝐿2 2 + 𝑅𝐶 𝑞𝐿2 2 12 + 𝑀𝐶 ∗ = 𝐸𝐼 6 𝐿1 2 − 6 𝐿1 2 6 𝐿1 2 − 6 𝐿1 2 + 6 𝐿2 2 0 0 − 6 𝐿2 2 2 𝐿2 𝑑2 𝑑4 𝑭𝑝 = 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑅𝐶 𝑀𝐶 ∗ Os esforços internos são obtidos pelo equilíbrio individual de cada elemento: Por equilíbrio do elemento: 𝐾𝑒 𝐷𝑒 = 𝐹𝑒 𝐹𝑒 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑑𝑎𝑖𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣. + 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑃𝐿1/8 𝑃/2 𝑃/2 𝑃𝐿1/8 𝐾𝑒 𝐷𝑒 = 𝐹𝑒 𝐸𝐼 𝐿1 3 12 6𝐿1 6𝐿1 4𝐿1 2 −12 6𝐿1 −6𝐿1 2𝐿1 2 −12 −6𝐿1 6𝐿1 2𝐿1 2 12 −6𝐿1 −6𝐿1 4𝐿1 2 𝑑1 = 0 𝑑2 𝑑3 = 0 𝑑4 = − 𝑃 2 + 𝑉𝐴 − 𝑃𝐿1 8 + 𝑀𝐴 − 𝑃 2 + 𝑉𝐵 𝑃𝐿1 8 + 𝑀𝐵 𝑉𝐴 𝑀𝐴 𝑉𝐵 𝑀𝐵