Análise Matricial de Estruturas Parte 5-2021 2

TC036 - Mecânica das Estruturas II Prof. Marcos Arndt 4. Análise Matricial de Estruturas – Parte 5 4.5 Análise Matricial de Pórticos Planos Seja o pórtico abaixo: Discretização: Nó i Nó j el. 1 1 3 el. 2 2 4 el. 3 3 4 Discretização: Nó i Nó j el. 1 1 3 el. 2 2 4 el. 3 3 4 Matriz de Rigidez elementar no sistema local: u1 = 1 v1 = 1 Matriz de Rigidez Elementar para Pórticos Planos 𝐾𝑒 = Τ 𝐸𝐴 𝐿𝑒 0 0 Τ −𝐸𝐴 𝐿𝑒 0 0 0 Τ 12𝐸𝐼 𝐿𝑒3 Τ 6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 0 Τ −12𝐸𝐼 𝐿𝑒3 Τ 6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 0 Τ 6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Τ 4𝐸𝐼 𝐿𝑒 0 Τ −6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Τ 2𝐸𝐼 𝐿𝑒 Τ −𝐸𝐴 𝐿𝑒 0 0 Τ 𝐸𝐴 𝐿𝑒 0 0 0 Τ −12𝐸𝐼 𝐿𝑒3 Τ −6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 0 Τ 12𝐸𝐼 𝐿𝑒3 Τ −6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 0 Τ 6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Τ 2𝐸𝐼 𝐿𝑒 0 Τ −6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Τ 4𝐸𝐼 𝐿𝑒 Matriz de Rigidez elementar no sistema global: e e TU u = e i j L  = x − x cos e i j L  = y − y sen ( ) ( ) 2 2 i j i j e y y x x L − + − =                                     − − =                   j j j i i i v u v u v u v u             1 0 0 0 0 0 0 cos sen 0 0 0 0 sen cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sen 0 0 0 0 sen cos 2 2 2 1 1 1 Matriz de Rigidez elementar no sistema global: 𝑲𝒆𝒖𝒆 = 𝑭𝒆 𝑲𝒆𝑻𝑼𝒆 = 𝑭𝒆 Pré-multiplicando ambos os lados da equação por TT: 𝑻𝑻 𝑲𝒆𝑻𝑼𝒆 = 𝑻𝑻 𝑭𝒆 𝑲𝒆𝑮𝑼𝒆 = 𝑭𝒆𝑮 𝑲𝒆𝑮 = 𝑻𝑻 𝑲𝒆𝑻 𝑭𝒆𝑮 = 𝑻𝑻 𝑭𝒆 Montagem da matriz de rigidez global: Exemplo Nó i Nó j el. 1 1 3 el. 2 2 4 el. 3 3 4 Montagem da matriz de rigidez global: Exemplo Nó i Nó j el. 1 1 3 el. 2 2 4 el. 3 3 4 Montagem da matriz de rigidez global: Exemplo Nó i Nó j el. 1 1 3 el. 2 2 4 el. 3 3 4 Vetor de Forças: O vetor de forças elementar no sistema local 𝑭𝒆 para cada elemento é obtido considerando apenas os carregamentos aplicados nos elementos (cargas nodais equivalentes). Depois se determina o vetor de forças elementar no sistema global 𝑭𝒆𝑮 fazendo: 𝑭𝒆𝑮 = 𝑻𝑻 𝑭𝒆 Vetor de Forças: Em seguida se procede à montagem do vetor de forças global e a inclusão das forças aplicadas nos nós e das reações de apoio. Nó i Nó j el. 1 1 3 el. 2 2 4 el. 3 3 4 Sistema de equações não restringido (sem considerar as condições de contorno dos apoios): Faz-se agora a reordenação da matriz K e dos vetores F e D da seguinte forma: a) Numera-se primeiro os graus de liberdade livres Dl e depois os graus de liberdade restringidos Dp , tal que: b) Neste caso Fl contém as forças nodais conhecidas e Fp contém as reações de apoio (desconhecidas): 𝐾 𝐷 = 𝐹 𝐊𝑙𝑙 𝐊𝑙𝑝 𝐊𝑝𝑙 𝐊𝑝𝑝 𝑫𝑙 𝑫𝑝 = 𝑭𝑙 𝑭𝑝 ൝ 𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 = 𝑭𝑙 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 = 𝑭𝑝 𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 = 𝑭𝑙 − 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 ⇒ Determina−se 𝑫𝑙 𝑭𝑝 = 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 ⇒ Determina−se 𝑭𝑝 Os esforços normais são obtidos pelo equilíbrio individual de cada elemento: Por equilíbrio do elemento: 𝐾𝑒 𝐷𝑒 = 𝐹𝑒 𝐹𝑒 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑑𝑎𝑖𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣. + 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 Exemplo 6: Utilizando o Método da Rigidez Direta resolva o pórtico abaixo. As duas barras têm o mesmo material com módulo de elasticidade E e a mesma seção transversal, cuja relação entre a área A e o momento de inércia I é dada por A/I = 2 m–2. Discretização: com 𝑑1 = 𝑑2 = 𝑑3 = 𝑑7 = 𝑑8 = 𝑑9 = 0 Nó i Nó j el. 1 1 2 el. 2 2 3 Matrizes elementares de rigidez: Elemento 1 𝑲𝒆𝑮 = 𝑻𝑻 𝑲𝒆𝑻 Nó i Nó j el. 1 1 2 el. 2 2 3 (0,0) (0,4) (6,4) 𝐾𝑒1 = Τ 2𝐸𝐼 4 0 0 Τ −2𝐸𝐼 4 0 0 0 Τ 12𝐸𝐼 64 Τ 6𝐸𝐼 16 0 Τ −12𝐸𝐼 64 Τ 6𝐸𝐼 16 0 Τ 6𝐸𝐼 16 Τ 4𝐸𝐼 4 0 Τ −6𝐸𝐼 16 Τ 2𝐸𝐼 4 Τ −2𝐸𝐼 4 0 0 Τ 2𝐸𝐼 4 0 0 0 Τ −12𝐸𝐼 64 Τ −6𝐸𝐼 16 0 Τ 12𝐸𝐼 64 Τ −6𝐸𝐼 16 0 Τ 6𝐸𝐼 16 Τ 2𝐸𝐼 4 0 Τ −6𝐸𝐼 16 Τ 4𝐸𝐼 4 𝐾𝑒 = Τ 𝐸𝐴 𝐿𝑒 0 0 Τ −𝐸𝐴 𝐿𝑒 0 0 0 Τ 12𝐸𝐼 𝐿𝑒3 Τ 6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 0 Τ −12𝐸𝐼 𝐿𝑒3 Τ 6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 0 Τ 6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Τ 4𝐸𝐼 𝐿𝑒 0 Τ −6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Τ 2𝐸𝐼 𝐿𝑒 Τ −𝐸𝐴 𝐿𝑒 0 0 Τ 𝐸𝐴 𝐿𝑒 0 0 0 Τ −12𝐸𝐼 𝐿𝑒3 Τ −6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 0 Τ 12𝐸𝐼 𝐿𝑒3 Τ −6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 0 Τ 6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Τ 2𝐸𝐼 𝐿𝑒 0 Τ −6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Τ 4𝐸𝐼 𝐿𝑒 Matrizes elementares de rigidez: Elemento 1 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 𝐿 = 0 − 0 4 = 0 𝑠𝑒𝑛𝛾 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑖 𝐿 = 4 − 0 4 = 1 Nó i Nó j el. 1 1 2 el. 2 2 3 (0,0) (0,4) (6,4) 𝑇𝑒1 = 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝐾𝑒1𝐺 = 𝐸𝐼 0,1875 0 −0,375 −0,1875 0 −0,375 0 0,5 0 0 −0,5 0 −0,375 0 1 0,375 0 0,5 −0,1875 0 0,375 0,1875 0 0,375 0 −0,5 0 0 0,5 0 −0,375 0 0,5 0,375 0 1 𝑲𝒆𝑮 = 𝑻𝑻 𝑲𝒆𝑻 Matrizes elementares de rigidez: Elemento 2 𝑲𝒆𝑮 = 𝑻𝑻 𝑲𝒆𝑻 Nó i Nó j el. 1 1 2 el. 2 2 3 (0,0) (0,4) (6,4) 𝐾𝑒2 = Τ 2𝐸𝐼 6 0 0 Τ −2𝐸𝐼 6 0 0 0 Τ 12𝐸𝐼 216 Τ 6𝐸𝐼 36 0 Τ −12𝐸𝐼 216 Τ 6𝐸𝐼 36 0 Τ 6𝐸𝐼 36 Τ 4𝐸𝐼 6 0 Τ −6𝐸𝐼 36 Τ 2𝐸𝐼 6 Τ −2𝐸𝐼 6 0 0 Τ 2𝐸𝐼 6 0 0 0 Τ −12𝐸𝐼 216 Τ −6𝐸𝐼 36 0 Τ 12𝐸𝐼 216 Τ −6𝐸𝐼 36 0 Τ 6𝐸𝐼 36 Τ 2𝐸𝐼 6 0 Τ −6𝐸𝐼 36 Τ 4𝐸𝐼 6 𝐾𝑒 = Τ 𝐸𝐴 𝐿𝑒 0 0 Τ −𝐸𝐴 𝐿𝑒 0 0 0 Τ 12𝐸𝐼 𝐿𝑒3 Τ 6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 0 Τ −12𝐸𝐼 𝐿𝑒3 Τ 6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 0 Τ 6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Τ 4𝐸𝐼 𝐿𝑒 0 Τ −6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Τ 2𝐸𝐼 𝐿𝑒 Τ −𝐸𝐴 𝐿𝑒 0 0 Τ 𝐸𝐴 𝐿𝑒 0 0 0 Τ −12𝐸𝐼 𝐿𝑒3 Τ −6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 0 Τ 12𝐸𝐼 𝐿𝑒3 Τ −6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 0 Τ 6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Τ 2𝐸𝐼 𝐿𝑒 0 Τ −6𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Τ 4𝐸𝐼 𝐿𝑒 Matrizes elementares de rigidez: Elemento 2 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 𝐿 = 6 − 0 6 = 1 𝑠𝑒𝑛𝛾 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑖 𝐿 = 4 − 4 6 = 0 Nó i Nó j el. 1 1 2 el. 2 2 3 (0,0) (0,4) (6,4) 𝑇𝑒2 = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 𝑲𝒆𝑮 = 𝑻𝑻 𝑲𝒆𝑻 𝐾𝑒2𝐺 = 𝐸𝐼 0,333 0 0 −0.333 0 0 0 0,056 0,167 0 −0,056 0,167 0 0,167 0,667 0 −0,167 0,333 −0,333 0 0 0,333 0 0 0 −0.056 −0,167 0 0,056 −0,167 0 0,167 0,333 0 −0,167 0,667 Matriz de Rigidez: 𝐾 = 𝐸𝐼 0,1875 0 −0,375 0 0,5 0 −0,375 0 1 −0,1875 0 −0,375 0 −0,5 0 0,375 0 0,5 −0,1875 0 0,375 0 −0,5 0 −0,375 0 0,5 0,1875 0 0,375 0 0,5 0 0,375 0 1 1 2 3 4 5 6 𝐾𝑒1𝐺 = 𝐸𝐼 0,1875 0 −0,375 −0,1875 0 −0,375 0 0,5 0 0 −0,5 0 −0,375 0 1 0,375 0 0,5 −0,1875 0 0,375 0,1875 0 0,375 0 −0,5 0 0 0,5 0 −0,375 0 0,5 0,375 0 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Matriz de Rigidez: 𝐾 = 𝐸𝐼 0,1875 0 −0,375 0 0,5 0 −0,375 0 1 −0,1875 0 −0,375 0 −0,5 0 0,375 0 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,1875 0 0,375 0 −0,5 0 −0,375 0 0,5 0,5205 0 0,375 0 0,556 0,167 0,375 0,167 1,667 −0,333 0 0 0 −0,056 0,167 0 −0,167 0,333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,333 0 0 0 −0,056 −0,167 0 0,167 0,333 0,333 0 0 0 0,056 −0,167 0 −0,167 0,667 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝐾𝑒2𝐺 = 𝐸𝐼 0,333 0 0 −0.333 0 0 0 0,056 0,167 0 −0,056 0,167 0 0,167 0,667 0 −0,167 0,333 −0,333 0 0 0,333 0 0 0 −0.056 −0,167 0 0,056 −0,167 0 0,167 0,333 0 −0,167 0,667 Vetor de Forças: Neste exemplo não há cargas aplicadas no elementos. 𝐹 = 𝐻1 𝑉1 𝑀1 ∗ 10 −6 0 𝐻3 𝑉3 𝑀3 ∗ Reordenação dos vetores e matrizes: 𝐷 = 𝑑1 = 0 𝑑2 = 0 𝑑3 = 0 𝑑4 𝑑5 𝑑6 𝑑7 = 0 𝑑8 = 0 𝑑9 = 0 𝐷𝑜𝑟𝑑 = 𝑑4 𝑑5 𝑑6 𝑑1 = 0 𝑑2 = 0 𝑑3 = 0 𝑑7 = 0 𝑑8 = 0 𝑑9 = 0 com 𝑑1 = 𝑑2 = 𝑑3 = 𝑑7 = 𝑑8 = 𝑑9 = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Reordenação dos vetores e matrizes: 𝐾 = 𝐸𝐼 0,1875 0 −0,375 0 0,5 0 −0,375 0 1 −0,1875 0 −0,375 0 −0,5 0 0,375 0 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,1875 0 0,375 0 −0,5 0 −0,375 0 0,5 0,5205 0 0,375 0 0,556 0,167 0,375 0,167 1,667 −0,333 0 0 0 −0,056 0,167 0 −0,167 0,333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,333 0 0 0 −0,056 −0,167 0 0,167 0,333 0,333 0 0 0 0,056 −0,167 0 −0,167 0,667 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝐾 = 𝐸𝐼 0,5205 0 0,375 0 0,556 0,167 0,375 0,167 1,667 −0,1875 0 0,375 0 −0,5 0 −0,375 0 0,5 −0,333 0 0 0 −0,056 0,167 0 −0,167 0,333 −0,1875 0 −0,375 0 −0,5 0 0,375 0 0,5 0,1875 0 −0,375 0 0,5 0 −0,375 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,333 0 0 0 −0,056 −0,167 0 0,167 0,333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,333 0 0 0 0,056 −0,167 0 −0,167 0,667 4 5 6 1 2 3 7 8 9 4 5 6 1 2 3 7 8 9 Reordenação dos vetores e matrizes: 𝐹 = 𝐻1 𝑉1 𝑀1 ∗ 10 −6 0 𝐻3 𝑉3 𝑀3 ∗ 𝐹𝑜𝑟𝑑 = 10 −6 0 𝐻1 𝑉1 𝑀1 ∗ 𝐻3 𝑉3 𝑀3 ∗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 1 2 3 7 8 9 𝐸𝐼 0,5205 0 0,375 0 0,556 0,167 0,375 0,167 1,667 −0,1875 0 0,375 0 −0,5 0 −0,375 0 0,5 −0,333 0 0 0 −0,056 0,167 0 −0,167 0,333 −0,1875 0 −0,375 0 −0,5 0 0,375 0 0,5 0,1875 0 −0,375 0 0,5 0 −0,375 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,333 0 0 0 −0,056 −0,167 0 0,167 0,333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,333 0 0 0 0,056 −0,167 0 −0,167 0,667 𝑑4 𝑑5 𝑑6 0 0 0 0 0 0 = 10 −6 0 𝐻1 𝑉1 𝑀1 ∗ 𝐻3 𝑉3 𝑀3 ∗ Sistema reordenado: Kll Kpl Klp Kpp Dl Dp Fl Fp 𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 = 𝑭𝑙 − 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 𝐸𝐼 0,5205 0 0,375 0 0,556 0,167 0,375 0,167 1,667 𝑑4 𝑑5 𝑑6 = 10 −6 0 𝑑4 = 22,10/𝐸𝐼; 𝑑5 = −9,59/𝐸𝐼; 𝑑6 = −4,01/𝐸𝐼 𝐻1 𝑉1 𝑀1 ∗ 𝐻3 𝑉3 𝑀3 ∗ = 𝐸𝐼 −0,1875 0 −0,375 0 −0,5 0 0,375 0 0,5 −0,333 0 0 0 −0,056 −0,167 0 0,167 0,333 22,10/𝐸𝐼 −9,59/𝐸𝐼 −4,01/𝐸𝐼 𝑭𝑝 = 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 Sistema reordenado: 𝐸𝐼 0,5205 0 0,375 0 0,556 0,167 0,375 0,167 1,667 −0,1875 0 0,375 0 −0,5 0 −0,375 0 0,5 −0,333 0 0 0 −0,056 0,167 0 −0,167 0,333 −0,1875 0 −0,375 0 −0,5 0 0,375 0 0,5 0,1875 0 −0,375 0 0,5 0 −0,375 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,333 0 0 0 −0,056 −0,167 0 0,167 0,333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,333 0 0 0 0,056 −0,167 0 −0,167 0,667 𝑑4 𝑑5 𝑑6 0 0 0 0 0 0 = 10 −6 0 𝐻1 𝑉1 𝑀1 ∗ 𝐻3 𝑉3 𝑀3 ∗ Sistema reordenado: Kll Kpl Klp Kpp Dl Dp Fl Fp 𝐻1 𝑉1 𝑀1 ∗ 𝐻3 𝑉3 𝑀3 ∗ = −2,64 4,80 6,28 −7,36 1,21 −2,94 𝐾𝑒 𝑢𝑒 = 𝐹𝑒 Esforços internos - elemento 1: 𝑢𝑒 = 𝑇 𝑈𝑒 𝑢𝑒 = 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝑑1 = 0 𝑑2 = 0 𝑑3 = 0 𝑑4 = 22,10/𝐸𝐼 𝑑5 = −9,59/𝐸𝐼 𝑑6 = −4,01/𝐸𝐼 = 0 0 0 −9,59/𝐸𝐼 −22,10/𝐸𝐼 −4,01/𝐸𝐼 Nó i Nó j el. 1 1 2 el. 2 2 3 𝐾𝑒 𝑢𝑒 = 𝐹𝑒 𝐸𝐼 0,5 0 0 −0,5 0 0 0 0,1875 0,375 0 −0,1875 0,375 0 0,375 1 0 −0,375 0,5 −0,5 0 0 0,5 0 0 0 −0,1875 −0,375 0 0,1875 −0,375 0 0,375 0,5 0 −0,375 1 0 0 0 −9,59/𝐸𝐼 −22,10/𝐸𝐼 −4,01/𝐸𝐼 = 𝑁𝐴 𝑉𝐴 𝑀𝐴 𝑁𝐵 𝑉𝐵 𝑀𝐵 Esforços internos - elemento 1: 𝑢𝑒 = 𝑇 𝑈𝑒 Nó i Nó j el. 1 1 2 el. 2 2 3 𝑁𝐴 𝑉𝐴 𝑀𝐴 𝑁𝐵 𝑉𝐵 𝑀𝐵 = 4,80 2,64 6,28 −4,80 −2,64 4,28