Análise Matricial de Estruturas Parte 3-2021 2

TC036 - Mecânica das Estruturas II Prof. Marcos Arndt 4. Análise Matricial de Estruturas – Parte 3 Exemplo 3: Utilizando o Método da Rigidez Direta determine o diagrama de momentos fletores da viga hiperestática abaixo com rigidez à flexão EI constante. Discretização: com 𝑑1 = 𝑑3 = 𝑑5 = 0 Matrizes elementares de rigidez: 𝐾𝑒 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 𝐾𝑒1 = 𝐸𝐼 83 12 48 48 256 −12 48 −48 128 −12 −48 48 128 12 −48 −48 256 𝐾𝑒2 = 𝐸𝐼 9,53 12 57 57 361 −12 57 −57 180,5 −12 −57 57 180,5 12 −57 −57 361 Matriz de Rigidez: 𝐾 = 𝐸𝐼 0,023 0,094 −0,023 0,094 0,500 −0,094 −0,023 −0,094 0,037 0,094 0 0 0,250 0 0 −0,028 −0,014 0,066 0,094 0,250 −0,028 0 0 −0,014 0 0 0,066 0,921 −0,066 0,211 −0,066 0,014 −0,066 0,211 −0,066 0,421 3 4 5 6 1 2 3 4 3 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 𝐾𝑒1 = 𝐸𝐼 0,023 0,094 0,094 0,500 −0,023 0,094 −0,094 0,250 −0,023 −0,094 0,094 0,250 0,023 −0,094 −0,094 0,500 𝐾𝑒2 = 𝐸𝐼 0,014 0,066 0,066 0,421 −0,014 0,066 −0,066 0,211 −0,014 −0,066 0,066 0,211 0,014 −0,066 −0,066 0,421 2 3 4 5 6 Matriz de Rigidez: 𝐾 = 𝐸𝐼 0,023 0,094 −0,023 0,094 0,500 −0,094 −0,023 −0,094 0,037 0,094 0 0 0,250 0 0 −0,028 −0,014 0,066 0,094 0,250 −0,028 0 0 −0,014 0 0 0,066 0,921 −0,066 0,211 −0,066 0,014 −0,066 0,211 −0,066 0,421 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Vetor de Forças: −10 −13,333 −10 − 19 13,333 − 30,083 −19 30,083 13,333 10 10 13,333 19 19 30,083 30,083 0 0 0 0 0 0 𝑅𝐴 0 𝑅𝐵 0 𝑅𝐶 0 Vetor de Forças: 𝐹 = −10 −13,333 −10 − 19 13,333 − 30,083 −19 30,083 + 0 0 0 0 0 0 + 𝑅𝐴 0 𝑅𝐵 0 𝑅𝐶 0 = −10 + 𝑅𝐴 −13,333 −29 + 𝑅𝐵 −16,750 −19 + 𝑅𝐶 30,083 Reordenação dos vetores e matrizes: 2 4 6 1 3 5 𝐷 = 𝑑1 = 0 𝑑2 𝑑3 = 0 𝑑4 𝑑5 = 0 𝑑6 𝐷𝑜𝑟𝑑 = 𝑑2 𝑑4 𝑑6 𝑑1 = 0 𝑑3 = 0 𝑑5 = 0 com 𝑑1 = 𝑑3 = 𝑑5 = 0 Reordenação dos vetores e matrizes: 𝐾 = 𝐸𝐼 0,023 0,094 −0,023 0,094 0,500 −0,094 −0,023 −0,094 0,037 0,094 0 0 0,250 0 0 −0,028 −0,014 0,066 0,094 0,250 −0,028 0 0 −0,014 0 0 0,066 0,921 −0,066 0,211 −0,066 0,014 −0,066 0,211 −0,066 0,421 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 𝐾𝑜 = 𝐸𝐼 0,500 0,250 0 0,250 0,921 0,211 0 0,211 0,421 0,094 −0,094 0 0,094 −0,028 −0,066 0 0,066 −0,066 0,094 0,094 0 −0,094 −0,028 0,066 0 −0,066 −0,066 0,023 −0,023 0 −0,023 0,037 −0,014 0 −0,014 0,014 2 4 6 1 3 5 2 4 6 1 3 5 Reordenação dos vetores e matrizes: 𝐹 = −10 + 𝑅𝐴 −13,333 −29 + 𝑅𝐵 −16,750 −19 + 𝑅𝐶 30,083 𝐹𝑜𝑟𝑑 = −13,333 −16,750 30,083 −10 + 𝑅𝐴 −29 + 𝑅𝐵 −19 + 𝑅𝐶 2 4 6 1 3 5 𝐸𝐼 0,500 0,250 0 0,250 0,921 0,211 0 0,211 0,421 0,094 −0,094 0 0,094 −0,028 −0,066 0 0,066 −0,066 0,094 0,094 0 −0,094 −0,028 0,066 0 −0,066 −0,066 0,023 −0,023 0 −0,023 0,037 −0,014 0 −0,014 0,014 𝑑2 𝑑4 𝑑6 0 0 0 = −13,333 −16,750 30,083 −10 + 𝑅𝐴 −29 + 𝑅𝐵 −19 + 𝑅𝐶 Sistema reordenado: Kll Kpl Klp Kpp Dl Dp Fl Fp 𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 = 𝑭𝑙 − 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 𝐸𝐼 0,500 0,250 0 0,250 0,921 0,211 0 0,211 0,421 𝑑2 𝑑4 𝑑6 = −13,333 −16,750 30,083 𝑑2 = − 8,440 𝐸𝐼 ; 𝑑4 = − 36,452 𝐸𝐼 ; 𝑑6 = 89,725 𝐸𝐼 Sistema reordenado: −10 + 𝑅𝐴 −29 + 𝑅𝐵 −19 + 𝑅𝐶 = 𝐸𝐼 0,094 0,094 0 −0,094 −0,028 0,066 0 −0,066 −0,066 −8,440/𝐸𝐼 −36,452/𝐸𝐼 89,725/𝐸𝐼 𝑭𝑝 = 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑅𝐶 = 5,780 36,736 15,484 𝐸𝐼 0,500 0,250 0 0,250 0,921 0,211 0 0,211 0,421 0,094 −0,094 0 0,094 −0,028 −0,066 0 0,066 −0,066 0,094 0,094 0 −0,094 −0,028 0,066 0 −0,066 −0,066 0,023 −0,023 0 −0,023 0,037 −0,014 0 −0,014 0,014 𝑑2 𝑑4 𝑑6 0 0 0 = −13,333 −16,750 30,083 −10 + 𝑅𝐴 −29 + 𝑅𝐵 −19 + 𝑅𝐶 Kll Kpl Klp Kpp Dl Dp Fl Fp 𝐾𝑒 𝐷𝑒 = 𝐹𝑒 𝐸𝐼 0,023 0,094 0,094 0,500 −0,023 0,094 −0,094 0,250 −0,023 −0,094 0,094 0,250 0,023 −0,094 −0,094 0,500 𝑑1 = 0 −8,440/𝐸𝐼 𝑑3 = 0 −36,452/𝐸𝐼 = −10 + 𝑉𝐴 −13,333 + 𝑀𝐴 −10 + 𝑉𝐵 13,333 + 𝑀𝐵 𝑉𝐴 𝑀𝐴 𝑉𝐵 𝑀𝐵 = 5,780 0 14,220 −33,669 Esforços internos - elemento 1: 13,333 10 10 13,333 𝐾𝑒 𝐷𝑒 = 𝐹𝑒 𝐸𝐼 0,014 0,066 0,066 0,421 −0,014 0,066 −0,066 0,211 −0,014 −0,066 0,066 0,211 0,014 −0,066 −0,066 0,421 𝑑3 = 0 −36,452/𝐸𝐼 𝑑5 = 0 89,725/𝐸𝐼 = −19 + 𝑉𝐵 −30,083 + 𝑀𝐵 −19 + 𝑉𝐶 30,083 + 𝑀𝐶 𝑉𝐵 𝑀𝐵 𝑉𝐶 𝑀𝐶 = 22,516 33,669 15,484 0 Esforços internos - elemento 2: 19 19 30,083 30,083 Diagramas de esforços internos: 𝑉𝐴 𝑀𝐴 𝑉𝐵 𝑀𝐵 = 5,780 0 14,220 −33,669 𝑉𝐵 𝑀𝐵 𝑉𝐶 𝑀𝐶 = 22,516 33,669 15,484 0 M (kN.m) Q (kN) Exemplo 4: Obtenha a matriz de rigidez da viga hiperestática abaixo com rigidez à flexão EI = 10000 kN.m2. Discretização: com 𝑑1 = 𝑑3 = 𝑑5 = 𝑑7 = 0 Matrizes elementares de rigidez: 𝐾𝑒 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 𝐾𝑒1 = 10000 63 12 36 36 144 −12 36 −36 72 −12 −36 36 72 12 −36 −36 144 𝐾𝑒3 = 10000 53 12 30 30 100 −12 30 −30 50 −12 −30 30 50 12 −30 −30 100 𝐾𝑒2 = 10000 83 12 48 48 256 −12 48 −48 128 −12 −48 48 128 12 −48 −48 256 Matriz de Rigidez: 3 4 5 6 1 2 3 4 3 4 5 6 1 2 3 4 𝐾𝑒1 = 555,56 1666,67 1666,67 6666,67 −555,56 1666,67 −1666,67 3333,33 −555,56 −1666,67 1666,67 3333,33 555,56 −1666,67 −1666,67 6666,67 𝐾𝑒2 = 234,38 937,50 937,50 5000 −234,38 937,50 −937,50 2500 −234,38 −937,50 937,50 2500 234,38 −937,50 −937,50 5000 5 6 7 8 𝐾𝑒3 = 960 2400 2400 8000 −960 2400 −2400 4000 −960 −2400 2400 4000 960 −2400 −2400 8000 ﷯ 5 6 7 8 Matriz de Rigidez: 𝐾 = 555,56 1666,67 1666,67 6666,67 −555,56 1666,67 −1666,67 3333,33 −555,56 −1666,67 1666,67 3333,33 789,94 −729,17 −729,17 11666,67 0 0 0 0 0 0 0 0 −234,38 937,50 −937,50 2500 0 0 0 0 0 0 0 0 −234,38 −937,50 937,50 2500 0 0 0 0 0 0 0 0 1194,38 1462,50 1462,50 13000 −960 2400 −2400 4000 −960 −2400 2400 4000 960 −2400 −2400 8000 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8