Slide Método dos Deslocamentos Pt4-2022 1

TC036 - Mecânica das Estruturas II Prof. Marcos Arndt 3. Método dos Deslocamentos – Parte 4 3.5 Método dos Deslocamentos com redução de deslocabilidades Vantagens do Método dos Deslocamentos em relação ao Método das Forças: 1. Só existe uma opção para a escolha do sistema hipergeométrico; 2. Cálculo dos coeficientes de rigidez é muito mais simples (soma direta de coeficientes de rigidez de barras). Esses dois fatores justificam o fato de a maioria dos programas de computador para análise de estruturas adotar o método dos deslocamentos em suas implementações. Entretanto, a aplicação desse método (na forma apresentada até agora) para a resolução manual de uma estrutura é muito trabalhosa. Isso se deve ao grande número de incógnitas (deslocabilidades) que resulta da solução, mesmo para estruturas simples, e à complexidade na consideração de barras inclinadas. A forma até agora apresentada para o método dos deslocamentos é adequada para uma solução por computador. Para a resolução manual de estruturas, sem auxílio de computador, utilizando o Método dos Deslocamentos procuramos diminuir ao máximo o número de deslocabilidades. São introduzidas simplificações no comportamento das barras com respeito às suas deformações, isto é, são adotadas restrições nas deformações das barras, como, por exemplo, a hipótese de que as barras não se deformam axialmente. Essa hipótese também é comumente adotada na resolução manual pelo Método das Forças. Além disso, utilizamos alguns macetes de cálculo, como eliminação de trechos em balanço, que também reduzem o número de incógnitas, sem introduzir nenhuma simplificação quanto ao comportamento das estruturas. Resumindo, este tópico apresenta o Método dos Deslocamentos com algumas simplificações que têm os seguintes objetivos: a) reduzir o número de deslocabilidades da estrutura, visando principalmente uma resolução manual; b) caracterizar o comportamento de pórticos (quadros) com respeito aos efeitos de deformações axiais e de deformações por flexão das barras. Pode-se classificar as simplificações adotadas para diminuir o número de deslocabilidades na solução de uma estrutura reticulada em quatro tipos: a) “eliminação” de trechos em balanço; b) consideração de barras inextensíveis; c) eliminação de deslocabilidades do tipo rotação de nós quando todas as barras adjacentes são articuladas no nó; d) consideração de barras infinitamente rígidas. a) “Eliminação” de trechos em balanço Trechos em balanço de pórticos podem ter seus esforços internos determinados isostaticamente (basta calcular os esforços a partir das extremidades livres do balanço). Logo, a estrutura é dividida em duas partes: o trecho em balanço e o restante. O balanço é calculado como uma estrutura isostática engastada no ponto de contato com o restante do pórtico. O pórtico, sem o balanço, é calculado para uma força e um momento obtidos pelo transporte da força que atua no balanço para o ponto de contato. Exemplo: Fonte: Martha (2017) O cálculo de deslocamentos nos pontos do balanço depende da resposta do restante da estrutura. Entretanto, esse cálculo pode ser feito por superposição de efeitos, somando-se aos deslocamentos do balanço, considerado engastado, o movimento de corpo rígido associado aos deslocamentos e à rotação do ponto de contato do restante do pórtico com o balanço. 21 deslocabilidades 6 deslocabilidades b) Consideração de barras inextensíveis Em algumas estruturas as deformações axiais são pequenas em relação às deformações por flexão e podem ser desprezadas. Nestes casos deve-se considerar que as barras são axialmente rígidas (inextensíveis), ou seja, não sofrem alongamentos nem encurtamentos, somente deformações por flexão. Logo, nós que estejam ligados por barras axialmente rígidas a nós indeslocáveis (apoios), permanecem indeslocáveis na direção da barra. Estas considerações fazem com que o número de deslocabilidades no SH seja reduzido. Pode-se resumir a consequência da combinação da hipótese de barras inextensíveis com a hipótese de pequenos deslocamentos da seguinte maneira: os dois nós extremos de uma barra só podem se deslocar relativamente na direção transversal ao eixo da barra. Dito de outra forma, o que se considera na hipótese de barras inextensíveis (com pequenos deslocamentos) é que a distância, na direção do eixo indeformado, entre os dois nós extremos de uma barra não se altera quando esta se deforma transversalmente por flexão. A consideração de barras inextensíveis não afeta as deslocabilidades do tipo rotação. Essa hipótese apenas reduz o número de deslocabilidades do tipo translação. Ao determinarmos os coeficientes de rigidez de estruturas sem deformação axial devemos considerar apenas a influência das barras sujeitas a flexão e não utilizaremos os deslocamentos impostos axiais das soluções básicas nas tabelas de coeficientes de rigidez. Exemplo: 6 deslocabilidades 3 deslocabilidades Terminologia: • deslocabilidades internas: são as deslocabilidades do tipo rotação; • deslocabilidades externas: são as deslocabilidades do tipo translação; A maneira mais simples de se determinarem as deslocabilidades externas de um pórtico com barras inextensíveis é introduzindo os apoios fictícios para a criação do SH: a cada apoio necessário para fixar uma translação nodal é identificada uma deslocabilidade externa. Conceito de contraventamento: um nó que estiver ligado a dois nós fixos à translação por duas barras inextensíveis não alinhadas (formando um triângulo) também fica fixo à translação. Regras de triangulação: 1. Um nó que estiver ligado a dois nós fixos à translação por duas barras inextensíveis não alinhadas (formando um triângulo) também fica fixo à translação. 2. Um conjunto de barras inextensíveis agrupadas em uma triangulação se comporta como um corpo rígido. Portanto, deve-se procurar adicionar apoios para impedir o movimento de corpo rígido do conjunto. 6 1 2 5 3 4 1 2 3 4 8 7 6 5 12 1 2 3 4 9 5 6 7 8 10 11 4 2 1 3 5 4 1 2 3 c) Simplificação para articulações completas No caso de um nó completamente articulado, Martha (2017) mostra que alterando-se a consideração da deslocabilidade o resultado final não se altera. Por exemplo: Nota-se que os valores de D1 e D3 são os mesmos obtidos nas soluções (a) e (b). Os momentos fletores (ou qualquer outro esforço interno ou reações de apoio) também resultam nos mesmos valores obtidos nas outras soluções. Também se observa que, na solução (c), a superposição envolve apenas três casos: M = M0 + M1 ⋅ D1 + M3 ⋅ D3. SH Simplificação para articulações completas: simplesmente desconsidera-se a deslocabilidade interna de um nó completamente articulado. A rotação do nó fica indeterminada. Utilizam-se as soluções básicas de barras com articulação do formulário. Não permite simplificação na rótula. Outro macete de cálculo pode ser feito no caso de um apoio simples do 2o gênero no qual converge apenas uma barra. O “truque” consiste em interpretar a liberação da rotação como uma articulação da barra, considerando o apoio como um engaste. Dessa forma, elimina-se a deslocabilidade interna do nó do apoio. Nesse caso, a deslocabilidade interna do nó do apoio deve ser considerada. Exemplo 4: Utilizando o Método dos Deslocamentos determine o diagrama de momentos fletores do pórtico hiperestático abaixo com rigidez à flexão EI. Considere as barras inextensíveis (axialmente rígidas). SH Caso 0: 𝛽10 = 10 62 8 = 45 𝑘𝑁. m 𝛽20 = −10 𝑘𝑁 Caso 1: 𝐾11 = 4𝐸𝐼 4 + 3𝐸𝐼 6 = 3𝐸𝐼 2 𝑘𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 𝐾21 = 6𝐸𝐼 42 + 0 = 3𝐸𝐼 8 𝑘𝑁 𝑟𝑎𝑑 Caso 2: 𝐾12 = 6𝐸𝐼 42 + 0 = 3𝐸𝐼 8 𝑘𝑁. 𝑚 𝑚 = 𝐾21 𝐾22 = 12𝐸𝐼 43 + 3𝐸𝐼 43 = 15𝐸𝐼 64 𝑘𝑁 𝑚 𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 = 0 𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 = 0 45 + 3𝐸𝐼 2 𝐷1 + 3𝐸𝐼 8 𝐷2 = 0 −10 + 3𝐸𝐼 8 𝐷1 + 15𝐸𝐼 64 𝐷2 = 0 45 −10 + 𝐸𝐼 3 2 3 8 3 8 15 64 𝐷1 𝐷2 = 0 0 𝑑1 = −67,7778 𝑑2 = 151,111 𝑑𝑖 = 𝐸𝐼𝐷𝑖 𝐷1 = − 67,78 𝐸𝐼 rad 𝐷2 = 151,11 𝐸𝐼 𝑚 45 −10 + 3 2 3 8 3 8 15 64 𝑑1 𝑑2 = 0 0 - Diagrama de momentos fletores na convenção de sinais do método: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝐷1 + 𝑀2𝐷2 𝐷1 = −67,78/𝐸𝐼 𝐷2 = 151,11/𝐸𝐼 - Diagrama de momentos fletores final: M [kNm] +11.1 −11.1 0 +22.8 +28.3 11.1 11.1 22.8 28.3 M [kNm] 11.1 11.1 22.8 45 28.3