Aula 9 Vetor Gradiente e Derivadas Direcionais e de Ordem Superior

111 Aula 9 Vetor gradiente e derivadas direcional e de ordem superior Prof Dr Alex Paulo Francisco Campus Pontal do Parana Centro de Estudos do Mar Universidade Federal do Parana October 4 2023 Prof Dr Alex Paulo Francisco Aula 9 Vetor gradiente e derivadas direcional e de ordem superior October 4 2023 211 Aula 91 Vetor Gradiente Definicao Seja z f x y uma funcao que tem derivadas parciais em x0 y0 O vetor f x0 y0 f x x0 y0 f y x0 y0 e dito vetor gradiente de f em x0 y0 Geometricamente visualizamos o gradiente como sendo um vetor que sai do ponto x0 y0 Prof Dr Alex Paulo Francisco Aula 9 Vetor gradiente e derivadas direcional e de ordem superior October 4 2023 311 Aula 91 Vetor Gradiente Example 1 Calcule o vetor gradiente de f x y x2 y2 avalie no ponto 1 1 e represente graficamente 2 Calcule o vetor gradiente de f x y x2y 3 Calcule o vetor gradiente de f x y ex2y2 4 Calcule o vetor gradiente de f x y x y 5 Calcule o vetor gradiente de f x y z x2 y2 z2 Prof Dr Alex Paulo Francisco Aula 9 Vetor gradiente e derivadas direcional e de ordem superior October 4 2023 411 Aula 92 Derivada Direcional Definicao Seja f Df R2 R uma funcao e u a b um vetor unitario definimos a derivada direcional de f no ponto x0 y0 Df e na direcao u como sendo f u x0 y0 lim t0 f x0 at y0 bt f x0 y0 t Observacao i f u x0 y0 e a taxa de derivacao de f no ponto x0 y0 e na direcao u ii As derivadas parciais sao derivadas direcionais f x x0 y0 f e1 x0 y0 e f y x0 y0 f e2 x0 y0 onde e1 1 0 e e2 0 1 Prof Dr Alex Paulo Francisco Aula 9 Vetor gradiente e derivadas direcional e de ordem superior October 4 2023 511 Aula 92 Derivada Direcional Teorema Sejam f A R2 R A aberto x0 y0 A e u a b vetor unitario Se f for diferenciavel em x0 y0 entao f admitira derivada direcional em x0 y0 na direcao u e f u x0 y0 f x0 y0 u Teorema Seja f A R2 R A aberto diferenciavel em x0 y0 e tal que f x0 y0 0 Entao o valor maximo de f u x0 y0 ocorre quando u f x0 y0 f x0 y0 e o valor maximo de f u x0 y0 e f x0 y0 Observacao O teorema anterior diz que a direcao e sentido de maior crescimento da funcao e a do gradiente f x0 y0 Prof Dr Alex Paulo Francisco Aula 9 Vetor gradiente e derivadas direcional e de ordem superior October 4 2023 611 Aula 92 Derivada Direcional Example 1 Calcular f u 1 2 onde f x y x2 xy e u e o versor de a v 1 1 b w 3 4 2 Seja f x y x2y a Determine u de modo que f u 1 1 seja maximo b Qual o valor maximo de f u 1 1 c Estando em 1 1 que direcao e sentido devese tomar para que f cresca mais rapidamente Prof Dr Alex Paulo Francisco Aula 9 Vetor gradiente e derivadas direcional e de ordem superior October 4 2023 711 Aula 93 Regra da Cadeia Teorema Sejam f A R2 R A aberto e γ I R2 tais que γt A para todo t no intervalo I Nessas condicoes se γ for diferenciavel em t0 e f em X0 γt0 entao a composta Ft f γt sera diferenciavel em t0 e vale a regra da cadeia F t0 f γt0 γt0 Example 1 Sejam f x y xy e γt t3 t2 Encontre F t de modo direto e usando a regra da cadeia 2 Sejam f x y x2y e γt et2 2t 1 Encontre F t de modo direto e usando a regra da cadeia Prof Dr Alex Paulo Francisco Aula 9 Vetor gradiente e derivadas direcional e de ordem superior October 4 2023 811 Aula 93 Regra da Cadeia Proposicao Seja f A R2 R A aberto uma funcao diferenciavel em A Entao o vetor gradiente de f em x0 y0 A e ortogonal a curva de nıvel z c f x0 y0 Vale o mesmo para funcoes de 3 variaveis Proposicao Seja f A R3 R A aberto e diferenciavel em A entao o vetor gradiente de f em x0 y0 z0 A e ortogonal a superfıcie de nıvel w c f x0 y0 z0 Prof Dr Alex Paulo Francisco Aula 9 Vetor gradiente e derivadas direcional e de ordem superior October 4 2023 911 Aula 94 Derivadas de ordem superior Definicao Dada uma funcao z f x y Vimos como calcular f x x y e f y x y Da mesma forma podemos construir as funcoes 2f x2 x f x 2f y 2 y f y 2f xy x f y 2f yx y f x 3f x3 x 2f x2 3f xyx x 2f yx Prof Dr Alex Paulo Francisco Aula 9 Vetor gradiente e derivadas direcional e de ordem superior October 4 2023 Example 1 Encontre todas as derivadas parciais de 2º ordem de fxy4x5 y4 6x2 y 3 2 Seja fxy xy3x2y2 se xy00 0 se xy00 Calcular ²fxy00 e ²fyx00 Definição Uma função f AR²R A aberto é dita de classe Cⁿ em A se f admite todas as derivadas parciais de ordem n contínuas em A Teorema de Schwarz Seja f AR²R A aberto Se f é de classe C² em A então ²fxyxy ²fyxxy para todo xyA Example Seja fxy xyx²y²x²y² se xy 00 0 se xy 00 Calcule ²fxy 00 e ²fyx00