Continuidade de Funcoes Polinomiais Reais de Duas Variaveis - Demonstracao

Calculo II Isaque Duarte 6 de novembro de 2024 Demonstre que toda funcao polinomial real de duas variaveis reais e contınua em R2 Para todo a b R2 Teorema 1 Continuidade em termos de limites Uma funcao f de duas variaveis reais e contınua em um ponto a b se e somente se lim xyab fx y fa b Teorema 2 Limite da Soma Sejam f e g funcoes de duas variaveis reais contınuas em um ponto a b Entao lim xyabf gx y lim xyab fx y lim xyab gx y Teorema 3 Limite do Produto Sejam f e g funcoes de duas variaveis reais contınuas em um ponto a b Entao lim xyabf gx y lim xyab fx y lim xyab gx y Teorema 4 Produto de funcoes contınuas Sejam f R2 R e g R2 R funcoes contınuas em R2 Definimos uma nova funcao h R2 R por meio do produto de f e g ou seja hx y fx y gx y para todos x y R2 1 Então a função h é contínua em R2 Agora consideremos a função polinomial real de duas variáveis definida por f R2 R onde para cada par x y temos fx y i0 to n j0 to m aij xi yj onde aij são constantes reais e i j são inteiros não negativos Queremos mostrar que f é contínua em um ponto arbitrário a b R2 Demonstração Consideremos o limite de fx y quando x y tende a a b lim xyab fx y lim xyab i0 to n j0 to m aij xi yj Utilizando o Teorema 2 Limite da Soma lim xyab fx y i0 to n j0 to m lim xyab aij xi yj Cada termo aij xi yj pode ser analisado separadamente Sendo aij uma constante real xi e yj são funções contínuas em R pois são potências da função identidade Pelo Teorema 4 Produto de funções contínuas o produto de funções contínuas é uma função contínua Expressamos xi e yj como produtórios xi k1 to i x yj l1 to j y Assim cada monômio pode ser escrito como aij xi yj aij k1 to i x l1 to j y Analisamos o limite de cada termo utilizando o Teorema 3 Limite do Produto lim xyab aij k1 to i x l1 to j y aij k1 to i lim xa x l1 to j lim yb y Como lim xa x a e lim yb y b obtemos aij k1 to i a l1 to j b Simplificando os produtórios k1 to i a ai l1 to j b bj Portanto lim xyab aij xi yj aij ai bj Substituindo de volta no somatório lim xyab fx y i0 to n j0 to m aij ai bj fa b Pelo Teorema 1 Continuidade em termos de limites concluímos que f é contínua em a b Conclusão Como a b é um ponto arbitrário em R2 isso implica que f é contínua em todo R2