Lista 11 - Maximos e M nimos Ponto Crítico e Teste da Hessiana-2023 1

Lista 11 - M´aximos e M´ınimos: Ponto Cr´ıtico e Teste da Hessiana 1 Suponha que uma fun¸c˜ao 𝑢(𝑥, 𝑦) com derivadas parciais de segunda ordem cont´ınuas e que satisfa¸ca a equa¸c˜ao 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 3𝜕𝑢 𝜕𝑥 − 2𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2. Se soubermos que 𝑃0 = (0, 0) ´e ponto cr´ıtico de 𝑢 e que 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦(0, 0) = 1 que tipo de ponto cr´ıtico ser´a 𝑃0? 2 Determinar os pontos cr´ıticos das fun¸c˜oes abaixo e dizer quais deles s˜ao m´aximos locais, quais s˜ao m´ınimos locais e quais s˜ao pontos de sela. (a) 𝑧 = 18𝑥2 − 32𝑦2 − 36𝑥 − 128𝑦 − 110; (b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 1)2 + 2𝑦2; (c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 − 2𝑥 − 𝑦; (d) 𝑧 = 1 𝑥 − 64 𝑦 + 𝑥𝑦; (e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2)𝑒−(𝑥2+𝑦2); (f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 8 𝑥 + 𝑥 𝑦 + 𝑦. 3 Determinar e classificar todos os pontos extremos da fun¸c˜ao 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)6 + (𝑦 − 2)2. Note que o teorema dado em sala de aula n˜ao se aplica. 4 Determine os valores m´aximo e m´ınimo de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥𝑦 na regi˜ao retangular 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, −1 ≤ 𝑦 ≤ 2. 5 Determine os valores m´aximo e m´ınimo que 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 assume na regi˜ao delimitada pelo triˆangulo determinado pelas retas 𝑦 = 0, 𝑥 = 0 e 𝑥 + 𝑦 = 1. 1