Slide Integral Tripla-2022 1

C´alculo diferencial e integral de varias vari´aveis Juan Carlos Vila Bravo Universidade Federal do Paran´a UFPR CM202 Integral tripla Parte I Integral tripla UFPR CM202 f . ea Lana / Ey a] : dx w=f(x,y,z) oy dy yp x Definimos a soma de Riemann de f sobre S. n n n Sn = S> S> S> F(X}, Vj, Ze )Ax Ay Az, i=1 j=1 k=1 Definicao Se a sequencia {S,} das somas de Riemann da fun¢ao f converge quando n tende para +oo e este limite é independente da escolha dos pontos (X;,¥;,Zx) nos subparalelepipedo Rie = [xi, X44] X [Yj ¥ita] [ZK, Ze42] entao, dizemos que f é integravel na regiao S e escrevemos: /I/ f (x,y,z) dx dy dz= lim Sn S Observacdo A integral tripla de f sobre o solido S as vezes é indicada pelas seguintes expresdes: J [[ Fosv.2) dV ou J [fray S S Teorema Toda funcdo continua definida numa regido fechada e limitada S C R? é integravel sobre S. Teorema Seja S uma regiao fechada e limitada do espaco (R°). Se f é continua, exceto num conjunto de volume nulo, entdo f é integravel em S. Observacdo conjuntos de volume nulo no espa¢o: pontos, curvas e superticies. Propriedades: Sejam f e g funcoes integraveis sobre o sdlido S e A constante real. e@ Entao f + Ag é integravel sobre R e J[[roreav= f[[ravea [[fe av S S S @ Se f(x,y,z) > g(x, y,z), V(x, y,z) € S entado [[fio> [lJ S S ° [feel < [fine S S @ Sejam S; e Sz dois sdlidos de R*: int(S1)N int(S2) =e S = 8S; US» entao J[[rav= [[[rave [[frav S Si So @ Se f(x,y,z) =1 em S, entao: volume de (S) = /ffp dV S @ Se p(x, y,z) € continua e positiva em S, e representa a densidade volumétrica de massa ( massa por unidade de volume), entdo a massa M de S é dada por: m(s)= [[f oxy.2) av S @ O centro de massa do sdlido S é (x, y,Z) onde | [[ ecex2) dV [| [[ yeox2) dv y—_S zy _& “ M(S) De M(S) [|] no > _S§ nn) e@ A carga eléctrica num sdlido S é dada por [][ nora ov S onde p(x, y,z) € a funcdo que indica a densidade da carga em cada ponto. @ O momento de inércia em relacdo a um eixo L é dado por I = Jf [Pox 2delsx2) dV S onde r(x, y, Zz) = distancia de (x, y,z) ao eixo L. @ Se eixo L = eixo z, entdo |, = /I/ (x? + y?)p(x, y,z) dV S @ Se eixo L = eixo y, entao |, = /I/ (x? + z*)p(x, y,z) dV S @ Se eixo L = eixo x, entado I, = /// (y? +27)p(x,y,z) dV S resettle) Reducao do Calculo de uma Integral Tripla a uma Integral Dupla: Observamos que o dominio de integracdo S pode ser descrito por: e S= {(x,y,z) ER’; (xy) € Sy eax, y) Sz < alx,y)} Z{%Y) Ss 7 ‘a ip Sxy onde S,, € a projecdo de S sobre o plano xy e z:(x, y), Zo(x, y) funcdes continuas; eS= {(x, y, Z) ER; (x,z) CSgem(x,z)<y< y2(x, z) } y=yil%z) ) Mz , y= ¥, (zz) ¥ x onde S,, 6 a projecdo de S sobre o plano xz e yi(x,Z), yo(x, Z) fun¢gdes continuas; eS= {(x, y, Z) € RS; (y,Z) € Sy, e x (y, Z) <x < x(y,z)} MEK (952) z " x =X, (0,2) x ¥ onde Sy, € a projecdo de S sobre o plano yz e x1(yz), xo(y,z) fun¢gdes continuas; Prova-se 22(x,Y) | [[ fev dx dy de= |f / f(x, y,z)dz| dx dy; z(x,y) s Swy XY yo(x,z) | [[ Foor) dx dy dz = // / f(x,y,z)dy| dx dz; é So yi(x,z) x2(y,z) J [[ Fosxv2) dx dy de= |f / f(x, y,z)dx| dy dz; xi(y,z) s Sys TY resettle) Exercicios @ Expresse a integral tripla /I/ f(x, y,z) dV como uma integral D iterada e, em seguida, calcule o seu valor no caso em que f(x, y¥,Z) = xyz ea regido D é descrita por: @ -1<x<2, O<y<l, 1<z<2. @ -Vy<x<vy, O<y<4, 0<z<4-y. @ 0<x<2, x-z<y<xtz, 1<z<2. @ Em cada caso, identifique o sdlido S e calcule seu volume por integracao tripla. @ 5S édelimitado pelo cilindro y = x? e pelos planos y+ z=4ez=0. @ S édelimitado pelo cilindro z = 1 — y” e pelos planos x = z, x =0 ey=0.