Slide Regra da Cadeia

Regra da cadeia (f \circ \sigma): \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} U x y z = f(x,y) v v u u x_0 = x(u_0, v_0) = \sigma(u_0, v_0) (x_0, y_0) = \sigma(u_0, v_0) x = x(u,v)\, y = y(u,v) (x_0, y_0) = (x, y) (x_0, y_0) = (x, y) y (x_0, y_0) = (x, y) f \sigma (x_0, y_0) = x(u_0, v_0) = x(u_0, v_0) (x_0, y_0)\, (x_0, y_0) (x_0, y_0) = (x, y) = (x, y)(u, v) u_0\, v_0 x = x(u,v)\, y = y(u,v) y (x, y) = \sigma(u,v)(x, y)(x_0, y_0)(x_0, y_0), (x_0, y_0) =f(x,y) z=f(x,y) =\mathbb{R}^2 =U (x, y) = \sigma(u,v) R x(u,v),y(u,v) f \circ \sigma U U (x, y) = f(x_0,y_0) U (x_0, y_0) x=\sigma(u,v) U (x_0, y_0) z=f(x,y) (\sigma(u,v) = \sigma(u_0,v_0)) f \circ \sigma R x_0 = x(u_0, v_0)\, y_0 = y(u_0, v_0) \sigma(u,v) = (x,y) \sigma: U \rightarrow R\, [x(u,v), y(u,v)] = [(x, y)(x_0, y_0), (x_0, y_0)] x = x(u, v) (u_0, v_0), y = y(u, v) (u_0, v_0) \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[\sigma: U \rightarrow \mathbb{R}: (x_0, y_0), (x_0, y_0)] (x, y)(x, y)\rightarrow \sigma(u,v) = (x,y) y \tau \cdot \omega(U) (v_0, u_0)\quad R U \omega(\tau \cdot v(U)) Regra da cadeia Exemplo Nos exercícios a seguir, calcule \frac{dz}{dt} de duas maneiras diferentes: (a) usando a regra da cadeia; (b) determinando a função composta z = z(t) e derivando em relação a t. 1. z = ye^x + xe^y, \; x = \cos t, \; y = \sin t. 2. z = (x^2 + y^2) \ln \sqrt{x^2 + y^2}, \; x = e^t, \; y = e^{-t}. 3. \tan \left(\frac{x}{y}\right), \; x = t, \; y = e^t. 4. w = e^{-x}y^2 \sin(z), \; x = t, \; y = 2t, \; z = 3t. 5. w = x^2 + y^2 + z^2, \; x = e^t \cos(t), \; z = e^t \sin(t) 6. z = \ln(x) + \ln(y) + xy, \; x = e^t, \; y = e^{-t} UFPR\cm202 Regra da cadeia Exemplo Nos exercícios a seguir, calcule \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} de duas maneiras diferentes: (a) usando a regra da cadeia; (b) determinando a função composta z = z(u, v) e derivando em relação a u e em relação a v. 1. z = x^2 - y^2, \; x = 3u - v, \; y = u + 2v 2. z = x^2y^{-2}, \; x = u^2 - v, \; y = 2uv 3. z = \sqrt{1 + x^2 + y^2}, \; x = ve^u, \; y = ve^{-u} Exemplo Seja z = xy, onde x = f(u) e y = g(u). Supondo que f e g são diferenciáveis e que f(1) = 2, \; g(1) = -2, \; \frac{dx}{du}(1) = -1 e \frac{dy}{du}(1) = 5. Calcule \frac{dz}{du}(1) UFPR\cm202 Regra da cadeia dz dt (t0) = ∂f ∂x (x0, y0)dx dt (t0) + ∂f ∂y (x0, y0)dy dt (t0) equivalente dz dt (t0) = ∇f (x0, y0) · σ ′(t0) UFPR CM202 Regra da cadeia considerando as hip´oteses do teorema acima, podemos fazer uso do seguinte diagrama para determinar a formula da derivada de composi¸c˜ao de fun¸c˜oes: UFPR CM202 Regra da cadeia Teorema Suponhamos que f (x, y) ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel e que x = x(u, v) e y = y(u, v) s˜ao duas fun¸c˜oes diferenci´aveis, ent˜ao g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel de u e v, tendo-se ∂g ∂u = ∂f ∂x (x(u, v), y(u, v))∂x ∂u (u, v) + ∂f ∂y (x(u, v), y(u, v))∂y ∂u (u, v) ∂g ∂v = ∂f ∂x (x(u, v), y(u, v))∂x ∂v (u, v) + ∂f ∂y (x(u, v), y(u, v))∂y ∂v (u, v) UFPR CM202 Regra da cadeia considerando as hip´oteses do teorema acima, podemos fazer uso do seguinte diagrama para determinar a formula da derivada de composi¸c˜ao de fun¸c˜oes: UFPR CM202 Regra da cadeia A regra da cadeia pode ser estendida a um n´umero arbitr´ario de vari´aveis, conforme se vˆe nos seguintes teoremas Teorema Se w ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel de n vari´aveis: u1, u2, u3, ..., un e cada ui ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel de uma vari´avel t, ent˜ao w ´e uma fun¸c˜ao de t e dw dt = ∂w ∂u1 du1 dt + ∂w ∂u2 du2 dt + ... + ∂w ∂un dun dt UFPR CM202 Regra da cadeia Teorema Se w ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel de n vari´aveis: u1, u2, u3, ..., un e cada ui ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel de m vari´aveis: x1, x2, x3, ..., xn, ent˜ao w ´e uma fun¸c˜ao de x1, x2, x3, ..., xn e dw dxi = ∂w ∂u1 du1 dxi + ∂w ∂u2 du2 dxi + ... + ∂w ∂un dun dxi para i = 1, 2, 3, ..., m UFPR CM202 Regra da cadeia Exemplo Suponha que z = f (x, y) ´e uma fun¸c˜ao de classe C 1, f (1, 3) = −1, ∂f ∂x (1, 3) = 4 e ∂f ∂y (1, 3) = −3. Sabe-se que a curva de equa¸c˜ao σ(t) = (t2, 4t − 1, z(t)), com t ∈ R, est´a contida no gr´afico da fun¸c˜ao z = f (x, y). a Calcule dz dt (t) b Ache uma equa¸c˜ao da reta tangente `a curva σ(t) no ponto σ(1). c Mostre que a reta tangente encontrada no item (b) est´a contida no plano tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao z = f (x, y) no ponto (1, 3, −1). UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita Parte II Diferencia¸c˜ao Implicita UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita Teorema (Teorema das fun¸c˜oes impl´ıcitas. Caso F(x, y) = 0) Seja F(x, y) uma fun¸c˜ao definida em um conjunto aberto Ω e (x0, y0) ∈ Ω. Se tivermos as seguinte hip´oteses: i F(x, y) de classe C 1 em Ω, ii F(x0, y0) = 0 e iii ∂F ∂y (x0, y0) ̸= 0 ent˜ao existem um intervalo aberto I centrado em x0 e uma ´unica fun¸c˜ao y = f (x) onde f : I → R satisfaz: y0 = f (x0) e F(x, f (x)) = 0 ∀x ∈ I. Al´em disso, f ´e diferenci´avel em I e dy dx = −Fx(x, y) Fy(x, y) UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita Observa¸c˜ao ´E claro que se trocamos a hip´otese (iii) do teorema por ∂F ∂x (x0, y0) ̸= 0. Neste caso, a equa¸c˜ao F(x, y) = 0 define uma fun¸c˜ao x = g(y), com dx dy = −Fy(x, y) Fx(x, y) Exemplo Verifique que a equa¸c˜ao x3y 3 − x − y + 1 = 0 define y como fun¸c˜ao de x numa vizinhan¸ca do ponto (1, 1), e obtenha a derivada dy dx no ponto x = 1. Solu¸c˜ao: Considerando F(x, y) = x3y 3 − x − y + 1, obtemos que : Fx(x, y) = 3x2y 3 − 1 e Fy(x, y) = 3x3y 2 − 1 UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita Logo, verifica-se: i F(x, y) de classe C 1 em R2, ii F(1, 1) = 0 e iii ∂F ∂y (1, 1) = 2 ̸= 0. Pelo teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita temos que a equa¸c˜ao x3y 3 − x − y + 1 = 0 define y = f (x) onde f ´e diferenci´avel, f (1) = 1 e F(x, f (x)) = 0. Alem disso: dy dx (1) = −Fx(1, f (1)) Fy(1, f (1)) = −2 2 = −1 UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita Observa¸c˜ao UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita Teorema (Teorema das fun¸c˜oes impl´ıcitas. Caso F(x, y, z) = 0) Seja F(x, y, z) uma fun¸c˜ao definida em um conjunto aberto Ω e (x0, y0, z0) ∈ Ω. Se tivermos as seguinte hip´oteses: i F(x, y, z) de classe C 1 em Ω, ii F(x0, y0, z0) = 0 e iii ∂F ∂z (x0, y0, z0) ̸= 0 ent˜ao existem uma bola aberta de centro (x0, y0) e raio r: B = Br(x0, y0) e uma ´unica fun¸c˜ao z = f (x, y) onde f : B → R satisfaz: z0 = f (x0, y0) e F(x, y, f (x, y)) = 0 ∀(x, y) ∈ B. Al´em disso, f ´e diferenci´avel em B e dz dx = −Fx(x, y) Fz(x, y) e dz dy = −Fy(x, y) Fz(x, y) UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita Observa¸c˜ao ´E claro que se trocamos a hip´otese (iii) do teorema por ∂F ∂x (x0, y0, z0) ̸= 0. Neste caso, a equa¸c˜ao F(x, y, z) = 0 define uma fun¸c˜ao x = g(y, z), com dx dy = −Fy(x, y, z) Fx(x, y, z) e dx dz = −Fz(x, y, z) Fx(x, y, z) ´E claro que se trocamos a hip´otese (iii) do teorema por ∂F ∂y (x0, y0, z0) ̸= 0. Neste caso, a equa¸c˜ao F(x, y, z) = 0 define uma fun¸c˜ao y = h(x, z), com dy dx = −Fx(x, y, z) Fy(x, y, z) e dy dz = −Fz(x, y, z) Fy(x, y, z) UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita Os teoremas a seguir no d´a uma interpreta¸c˜ao geom´etrica pra o vetor gradiente: Teorema Seja z = f (x, y) diferenci´avel em um conjunto aberto Ω ⊂ R2 que contem o ponto P0 = (x0, y0) com ∇f (P0) ̸= ⃗0 e C uma curva de n´ıvel f (x, y) = k (k- constante) que contem P0, ent˜ao o vetor ∇f (P0) ´e normal `a curva C em P0. UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita Teorema Seja w = f (x, y, z) diferenci´avel em um conjunto aberto Ω ⊂ R3 que contem o ponto P0 = (x0, y0, z0) com ∇f (P0) ̸= ⃗0 e S uma superf´ıcie de n´ıvel f (x, y, z) = k (k- constante) que contem P0, ent˜ao o vetor ∇f (P0) ´e normal `a superf´ıcie S em P0, ou seja, ∇f (P0) ´e perpendicular a qualquer vetor tangente a S em P0. UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita UFPR CM202 Diferencia¸c˜ao Implicita Exemplo 1 Determine uma equa¸c˜ao do plano tangente e uma equa¸c˜ao da reta normal ao hiperboloide de equa¸c˜ao : x2 − 2y 2 − 4z2 = 10 no ponto (4, −1, 1). 2 Determine a equa¸c˜ao do plano tangente `a x2 − 2y 2 − 4z2 = 16 e que ´e paralelo ao plano 4x − 2y + 4z = 5. 3 Determine a equa¸c˜ao da reta tangente `a interse¸c˜ao das superf´ıcies x2 − y = 0 e y + z2 = 16 no ponto (4, 16, 0). UFPR CM202