Resumo Transferencia de Calor e Massa Incropera-Dewitt 1998

TH047 Elementos de Mecânica dos Fluidos II TH064 Fenômenos de Transporte na Eng de Produção Segundo Semestre de 2024 Resumo número 1 O resumo apresentado foi preparado com base no livro texto adotado na disciplina Incropera FP Dewitt DP Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa LTC 1998 Os tópicos apresentados também podem ser encontrados na bibliografia básica listada no texto que descreve as instruções gerais sobre a disciplina Um resumo ampliado também pode ser obtido no seguinte artigo Pellegrini CC A busca pelo copo ideal um estudo de otimização em transferência de calor Revista Brasileira de Ensino de Física vol 41 nº 3 wwwsbfisicaorgbr 2019 1 INTRODUÇÃO Em fenômenos de transporte estudase a capacidade das substâncias transferirem matéria energia e quantidade de movimento de um local para outro De modo geral são estudados os modelos reduzidos matemáticos computacionais etc que governam a migração das propriedades da matéria energia e quantidade de movimento no espaço e no tempo Alguns exemplos de processos de transporte são os seguintes Atkins PW Físico Química vol3 LTC1999 a difusão mássica mistura espontânea de uma espécie química com outra b condução térmica processo de transferência de calor de moléculas energizadas com movimento de translação rotação ou vibração para regiões menos energizadas c condução elétrica migração de íons sob a influência de um campo elétrico e d quantidade de movimento linear migração de moléculas em regiões do espaço que estão submetidos ao efeito de impulsões provocadas por forças externas Dos exemplos descritos na disciplina de Fenômenos de Transporte na Engenharia Elétrica não são estudados os fenômenos elétricos que são estudados em Eletrodinâmica Neste capítulo são descritas as formas de transferência de calor e apresentados exemplos de aplicação da lei da conservação de energia A seguir apresentamse resumos dos itens 11 e 12 11 Transferência de Calor Calor J representa uma quantidade de energia Temperatura mede a intensidade do calor K São conceitos empíricos Joseph Black 17281799 em 1761 conseguiu distinguir calor de temperatura Existe analogia entre quantidade de energia calor e quantidade de carga elétrica e entre temperatura potencial térmico e tensão elétrica potencial elétrico Ludwig Boltzmann 18441906 descreveu calor como a forma de energia associada com a atividade molecular movimento caótico de uma substância Quanto maior a agitação molecular translação rotação e vibração maior é a quantidade de calor e a temperatura da substância São os seguintes os efeitos do calor sobre uma substância mudança de temperatura calor sensível e mudança de estado calor latente O calor sensível relacionase com a capacidade calorífica da substância A quantidade de calor q em Joule que deve ser adicionada a uma substância para elevar a sua temperatura de 𝑇1 para 𝑇2 𝑇1 𝑇 é definida por 𝑞 𝐶𝑇 𝑚𝑐𝑇 1 sendo C a capacidade calorífica JK m a massa da substância kg e c o calor específico JkgK O calor latente relacionase com o calor latente da substância A quantidade de calor q em Joule que deve ser adicionada a uma substância para mudar o seu estado sólido para líquido ou de líquido para gasoso é definida por 𝑞 𝑚ℎ𝐿 2 sendo ℎ𝐿 o calor latente Exemplo 1 Determinar a quantidade de calor que deve ser fornecido a um cubo de gelo a 0C com 02kg para obter vapor de água a 100C Sendo ℎ𝐿𝑓𝑢𝑠ã𝑜 334kJkg para transformar do estado sólido para líquido necessitase de 𝑞1 02 334 668kJ Para aquecer o líquido de 0C para 100C sendo 𝑐 419kJkgK necessita se de 𝑞2 02 419 100 838kJ Para transformar do estado líquido para gasoso sendo ℎ𝐿𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 2256kJkg necessitase de 𝑞3 02 2256 4512kJ A quantidade de calor total resulta 𝑞 𝑞1 𝑞2 𝑞3 6018kJ Transferência de calor é a energia em trânsito devido a uma diferença de temperatura São as seguintes as formas de transferência de calor Condução convecção e radiação térmica 12 Origens Físicas e Equações das Taxas de Transferência de Calor 121 Condução Pode existir através de sólidos e de fluidos estacionários Governada por processos físicos que ocorrem através da atividade atômica e molecular Nos gases e líquidos a difusão do calor ocorre devido ao movimento molecular de translação e a transferência de calor é função da capacidade de colisão entre moléculas vizinhas Nos sólidos a difusão do calor pode ser atribuída pela vibração da rede cristalina Nos sólidos bons condutores de eletricidade materiais metálicos a difusão de calor também ocorre através do movimento dos elétrons livres O fluxo de energia 𝑞𝑥 Wm² é a taxa de transferência de calor na direção x por unidade de área perpendicular à direção da transferência sendo proporcional ao gradiente de temperatura dTdx nesta direção Esta taxa pode ser determinada pela lei de Fourier em homenagem a JeanBaptiste Joseph Fourier 17681830 que em 1822 publicou resultados experimentais sobre a condução de calor 𝑞𝑥 𝑘𝑑𝑇𝑑𝑥 3 sendo k WmK uma propriedade da substância chamada de condutividade térmica A lei de Ohm em homenagem a George Ohm17871854 é análoga a lei de Fourier que é usada para determinar a densidade de corrente elétrica Am² 𝐽 𝜎𝑑𝜙𝑑𝑥 4 sendo 𝜎 AmV1mΩ uma propriedade da substância chamada de condutividade elétrica e ϕ é o potencial elétrico Quando 𝑑𝑡𝑑𝑥 𝑇2 𝑇1𝐿 sendo Lm a espessura da parede 𝑇1K a temperatura na face esquerda da parede e 𝑇2K a temperatura na face da direita da parede resulta 𝑞𝑥 𝑘𝑇1 𝑇2𝐿 5 A taxa de transferência de calor por condução 𝑞𝑥W através de uma parede plana com área A resulta 𝑞𝑥 𝐴𝑞𝑥 Exemplo 2 Uma janela é composta por dois vidros 𝐿𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 5 mm 𝑘𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 14 WmK como esquematizado na figura da próxima página Entre os dois vidros existe uma camada de ar 𝐿𝑎𝑟 10 mm 𝑘𝑎𝑟 0024 WmK estagnado Considerando que o processo de transferência de calor é estacionário determinar a taxa de transferência de calor através da janela para uma janela de 2 m² Aplicandose a lei de Fourier como expresso em 5 e considerandose a lei da conservação de energia em estado estacionário o calor que difunde através do vidro da esquerda é igual ao calor que difunde pelo ar também é igual ao calor que difunde pelo vidro da direita 𝑞 𝑘𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 𝑇1 𝑇2 𝐿𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 𝑘𝑎𝑟 𝑇2 𝑇3 𝐿𝑎𝑟 𝑘𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 𝑇3 𝑇4 𝐿𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 6 Conhecendose as temperaturas das superfícies da esquerda e da direita da janela 𝑇1 15C e 𝑇4 20C e solucionandose o sistema de equações 6 resulta 𝑇2 14705C e 𝑇3 19705C 𝑞 8258Wm² e 𝑞 1652W 122 Convecção Ocorre devido a existência do contato entre um fluido em movimento e uma superfície A transferência de calor é causada por dois mecanismos movimento molecular aleatório difusão e pelo movimento global macroscópico do fluido advecção Os processos de transferência de calor podem ser causados por motivos naturais forçados ou devido a mudança de estado do fluido em movimento Independentemente da forma como ocorre o fluxo de calor pode ser determinado pela lei de resfriamento de Newton 𝑞 ℎ𝑇𝑠𝑢𝑝 𝑇 7 sendo h Wm²K o coeficiente de transferência de calor por convecção 𝑇𝑠𝑢𝑝 K é a temperatura da superfície e 𝑇K é a temperatura do fluido medida num ponto localizado suficientemente distante da superfície para que não seja perturbada pela temperatura da superfície O coeficiente de transferência de calor por convecção depende da condutividade térmica do fluido em movimento das características da superfície em contato com o fluido e da forma que ocorre o contato do fluido com a superfície A transferência de calor por convecção pode ocorrer por meio vários processos como os seguintes a natural contato de superfícies verticais colocadas num escoamento de ar com temperatura diferente das superfícies b forçada contato de superfícies colocadas num escoamento de um fluido provocado por ventiladores ou bombas com temperatura diferentes das superfícies e c com troca de calor latente associado com mudança de fase entre os estados líquido e vapor do fluido líquido em ebulição e vapor em condensação Exemplo 3 Uma janela de vidros 𝐿𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 7mm 𝑘𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 14WmK como esquematizado na seguinte figura no lado direito está em contato com o ar 𝑇 2C em movimento Considerando que o processo de transferência de calor é estacionário determinar a a taxa de transferência de calor através da janela para uma janela com 3m² e b o coeficiente de transferência de calor por convecção da superfície do lado direito da janela e o ar em movimento a Aplicandose a equação 5 através do vidro da janela 𝑞 𝑘𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 𝑇1 𝑇2 𝐿𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 8 Conhecendose as temperaturas das superfícies da esquerda e da direita da janela 𝑇1 20C e 𝑇2 17C resulta 𝑞 600Wm² e 𝑞 1800W b Explicitandose h na equação 7 ℎ 𝑞 𝑇2 𝑇 9 Com a expressão 9 determinase que ℎ 316Wm²K 123 Radiação Térmica Energia emitida por toda matéria que se encontra com temperatura diferente de 0K A radiação térmica produzida pelas substâncias depende basicamente da temperatura e do acabamento da sua superfície Resultam das oscilações das moléculas átomos e elétrons nas superfícies das substâncias Do ponto de vista clássico a energia é transportada pelo campo eletromagnético 𝑢 𝜀𝐸2 𝜇𝐻22 10 sendo u a densidade de energia Jm³ ε é a constante dielétrica Fm μ é a permeabilidade magnética Hm E é o módulo do campo elétrico Vm e H é o módulo do campo magnético Am Do ponto de vista da mecânica quântica a energia é transportada pelos fótons que se movem na velocidade da luz 𝐸𝑓 ℎ𝜈 ℎ𝑐𝜆 11 sendo 𝐸𝑓 a energia do fóton J ℎ 662606876 1034Js é a constnate de Planck ν é a freqüência da onda Hz c é a velocidade da luz no vácuo 𝑐 299792458 ms e 𝜆 é o comprimento de onda m Não existe a necessidade da existência de um meio material para que ocorra a transferência de calor por radiação térmica como nos processos de condução e convecção A energia térmica é produzida em todo o espectro eletromagnético sendo que a maior parte da radiação térmica está na faixa de 107m 𝜆 103m 12 Esta faixa engloba parte da radiação ultravioleta 𝜆 38 107m toda a radiação visível 38 107m 𝜆 76 107m e toda radiação infravermelha 𝜆 76 107m Na transferência de calor por radiação térmica duas propriedades das substâncias são importantes a absortividade 0 𝛼 1 que depende da superfície que recebe a radiação térmica e da natureza da fonte da radiação térmica e a emissividade 0 𝜀 1 que depende do acabamento da superfície Existem corpos com superfícies em que 𝛼 𝜀 1 que são os corpos negros conceito proposto por Gustav Kirchhoff em 1882 Exemplos de corpos negros são as superfícies do Sol e da Terra e tapetes de nano tubos de carbono 𝛼 0999 Corpos negros são superfícies que podem ser consideradas que absorvem toda a radiação incidente irradiação e emitem o máximo de radiação possível Gustav Kirchhoff em 1859 fez as primeiras observações experimentais em barras de ferro aquecidas da emissão de radiação térmica associada a corpos aquecidos Analisando o espectro da radiação em função da temperatura e concluiu que para todos os corpos é função da temperatura e do comprimento de onda A função 𝐸𝑏𝑇𝜆 em Wm³ é definida como o poder emissivo do corpo negro Para corpos negros com a temperatura da superfície mantida constante depende somente do comprimento da onda eletromagnética Wilhelm Wien em 1893 definiu uma equação que estabelece o valor do comprimento de onda 𝜆𝑀 em metros onde 𝐸𝑏𝑇𝜆 é máximo 𝜆𝑀 00028977686𝑇 13 sendo T a temperatura em Kelvin Na seguinte tabela apresentamse os valores de 𝜆𝑀 para algumas superfícies Corpo T K 𝜆𝑀 m Radiação Sol 5777 05 106 Luz visível Terra 293 99 106 Infravermelho Filamento de tungstênio 3000 966 107 Infravermelho Radiação cósmica de fundo 2725 106 103 Microonda O poder emissivo total de um corpo negro 𝐸𝑏𝑇Wm² depende basicamente da temperatura de sua superfície 𝐸𝑏𝑇 é determinada pela lei de StefanBoltzmann estabelecida empiricamente em 1878 por Joseph Stefan 𝐸𝑏𝑇 𝐸𝑏𝑇𝜆 0 𝑑𝜆 𝜎𝑇4 14 sendo 𝜎 567 108Wm2K4 a constante de StefanBoltzmann e TK é a temperatura da superfície A expressão 14 foi demonstrada por Ludwig Boltzmann em 1890 usando termodinâmica Fleming H Max Planck e a idéia do Quantum In 100 anos de física quântica Livraria da Física 2001 Para explicar a radiação térmica Max Planck em 1900 propôs que a energia radiante existe em termos de uma quantidade discreta h a ser determinada experimentalmente que representa uma quantidade mínima de ação energia de um fóton Desta forma Planck estabeleceu a seguinte expressão conhecida como distribuição de Planck para descrever o poder emissivo de um corpo negro 𝐸𝑏𝑇 𝜆 2𝜋ℎ𝑐2𝜆5exp ℎ𝑐 𝑘𝑏𝜆𝑇 11 15 sendo 𝑘𝑏 13806503 1023JK a constante de Boltzmann Integrandose numericamente a equação 15 desde zero até mais infinito obtêmse o resultado apresentado na expressão 14 Integrandose a distribuição de Planck obtêmse a seguinte expressão 2𝜋ℎ𝑐2𝑥5exp ℎ𝑐 𝑘𝑏𝑥𝑇 11𝑑𝑥 𝜆 0 16 Considerandose 𝑥 𝑢𝑇 na expressão 16 definese a função de radiação acumulada de um corpo negro 𝑓𝜆𝑇 𝐹𝜆𝑇𝑇4 2𝜋ℎ𝑐2𝑢5exp ℎ𝑐 𝑘𝑏𝑢 11𝑑𝑢 𝜆𝑇 0 17 A integral da expressão 17 não tem solução analítica Nas tabelas a seguir apresentadas estão listados os valores de 𝜆𝑇 em função da radiação acumulada do Corpo Negro 𝑓𝜆𝑇 Valores de 𝜆𝑇 001 mK em função da radiação acumulada do Corpo Negro 𝑓𝜆𝑇 0000 0005 0010 0015 0020 0000 0000000 0132325 0144783 0153434 0160352 0025 0166251 0171468 0176196 0180551 0184616 0050 0188443 0192077 0195545 0198875 0202084 0075 0205188 0208200 0211130 0213989 0216782 0100 0219517 0222201 0224837 0227429 0229984 0125 0232502 0234989 0237445 0239875 0242280 0150 0244662 0247024 0249367 0251692 0254003 0175 0256298 0258581 0260852 0263112 0265363 0200 0267605 0269840 0272068 0274291 0276508 0225 0278722 0280932 0283140 0285345 0287549 0250 0289753 0291956 0294161 0296366 0298573 0275 0300783 0302995 0305211 0307430 0309654 0300 0311883 0314118 0316358 0318605 0320858 0325 0323119 0325388 0327666 0329951 0332247 0350 0334552 0336867 0339193 0341530 0343879 0375 0346240 0348613 0351000 0353400 0355814 0400 0358243 0360687 0363146 0365622 0368114 0425 0370623 0373150 0375696 0378260 0380843 0450 0383447 0386071 0388717 0391384 0394074 Valores de 𝜆𝑇 001 mK em função da radiação acumulada do Corpo Negro 𝑓𝜆𝑇 0000 0005 0010 0015 0020 0475 0396787 0399524 0402286 0405072 0407885 0500 0410725 0413592 0416488 0419412 0422366 0525 0425352 0428369 0431418 0434502 0437620 0550 0440773 0443963 0447191 0450458 0453764 0575 0457112 0460503 0463937 0467417 0470942 0600 0474517 0478140 0481815 0485542 0489324 0625 0493162 0497058 0501014 0505032 0509114 0650 0513263 0517481 0521770 0526132 0530571 0675 0535088 0539689 0544374 0549148 0554013 0700 0558975 0564036 0569201 0574473 0579857 0725 0585359 0590982 0596734 0602619 0608643 0750 0614813 0621136 0627620 0634272 0641101 0775 0648116 0655327 0662744 0670379 0678244 0800 0686353 0694720 0703360 0712292 0721532 0825 0731103 0741026 0751327 0762031 0773170 0850 0784776 0796887 0809544 0822794 0836689 0875 0851289 0866660 0882880 0900037 0918234 0900 0937590 0958243 0980359 1004134 1029805 0925 1057660 1088052 1121426 1158344 1199535 0950 1245963 1298937 1360288 1432684 1520201 0975 1629478 1772301 1972417 2288438 2936626 𝑓𝜆𝑇 00000 00005 00010 00015 00020 00000 0000000 0103986 0110994 0115603 0119156 00025 0122085 0124597 0126821 0128820 0130642 00050 0132325 0133894 0135358 0136741 0138054 00075 0139296 0140484 0141622 0142716 0143768 09900 2288438 2331497 2377678 2427402 2481174 09925 2539610 2603469 2673702 2751513 2838466 09950 2936626 3048798 3178914 3332696 3518896 09975 3751768 4056635 4484533 5161508 6552922 Exemplo 4 Determinar a fração de luz visível emitida a pelo sol 5800K e b por uma lâmpada incandescente com filamento de tungstênio 3000K A luz visível é emitida no seguinte intervalo de comprimento de onda 38 107m 𝜆 76 107m 18 a Para o sol multiplicandose o intervalo de comprimentos de onda definido em 18 por 5800K resulta 02204 5800𝜆 001mK 04408 19 Entrandose na tabela com o valor 02204 interpolandose linearmente obtêmse 𝑓0002204 0101635 da mesma forma obtêmse que 𝑓0004408 0550043 A fração de luz visível emitida pelo Sol é igual a 𝑓 0004408 𝑓0002204 0448408 O Sol emite 1016 de radiação ultravioleta 4484 de luz visível e 45 de radiação na faixa do infravermelho b Para a lâmpada multiplicandose o intervalo de comprimentos de onda definido em 18 por 3000K resulta 01140 3000𝜆 001mK 02280 19 Entrandose na tabela com o valor 01140 interpolandose linearmente obtêmse 𝑓0001140 000130755 da mesma forma obtêmse que 𝑓0002280 011610952 A fração de luz visível emitida pela lâmpada é igual a 𝑓 0002280 𝑓0001140 011480197 A lâmpada incandescente emite a maior parte da radiação na faixa do infravermelho 8839 Somente 1148 de luz visível A radiação solar extraterrestre que atinge um plano horizontal no topo da atmosfera pode ser determinada com a expressão 𝐺𝜃 𝑆𝑐𝑓 cos𝜃 20 Sendo 𝑆𝑐 1367 Wm² denominado de constante solar representa a radiação térmica emitida pelo Sol que atinge uma superfície normal aos raios solares no topo da atmosfera θ é o ângulo de inclinação dos raios solares em relação à normal ao plano horizontal e f é um fator de correção devido a excentricidade da órbita da Terra ao redor do Sol depende da latitude geográfica da hora no dia e do dia no ano O fator f pode ser calculado aproximadamente com a seguinte expressão Baehr HD Stephan K Heat and Mass Transfer Springer 2006 𝑓 1 cos2𝜋𝑑𝑛365 sendo 𝑑𝑛 o número do ano com 𝑑𝑛 1 em 1 de janeiro e 𝑑𝑛 365 em 31 de dezembro Exemplo 5 Determinar a temperatura do Sol Considerar o raio do Sol 𝑅𝑆 692260km e a distância do centro do Sol até o centro da Terra 𝑑 149597870km No topo da atmosfera terrestre podese considerar que a radiação térmica emitida pelo Sol calculada com a equação 14 na temperatura de sua superfície 𝑇𝑆 está distribuída na superfície de uma esfera com raio d 4𝜋𝑑2𝑆𝑐 4𝜋𝑅𝑆 2𝜎𝑇𝑆 4 Simplificandose e usandose os dados do problema determinase que 𝑇𝑆 5776K A troca de radiação térmica entre uma pequena superfície com temperatura 𝑇𝑠𝑢𝑝K e uma superfície muito maior com temperatura 𝑇𝑣𝑖𝑧K que envolve a menor por exemplo a superfície de uma mesa dentro de uma sala pode ser determinada com a equação 𝑞 𝜎𝜀𝑇𝑠𝑢𝑝 4 𝛼𝑇𝑣𝑖𝑧 4 21 sendo ε a emissividade e α a absortividade da superfície menor Em geral podese considerar que a superfície menor é cinza difusa quando então 𝜀 𝛼 Uma superfície é difusa quando emite radiação uniformemente em todas as direções e cinza quando as propriedades da radiação térmica independem do comprimento de onda da radiação térmica Exemplo 6 Uma esfera metálica diâmetro de 50cm e εα07 encontrase na temperatura de 350C A esfera está suspensa num ar em movimento com h30Wm²K e temperatura de 25C A temperatura das paredes do local onde este processo está ocorrendo é igual a 30C Determinar a taxa de transferência de calor que está saindo pela superfície da esfera Usandose a equação 7 calculase o fluxo de calor por convecção na superfície da esfera 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 30 350 25 9750Wm² Usandose a equação 21 calculase o fluxo de calor por radiação térmica na superfície da esfera 𝑞𝑟𝑎𝑑 07 5670 108623154 303154 5649Wm² A taxa de transferência de calor que está saindo pela superfície da esfera é calculada multiplicandose 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑞𝑟𝑎𝑑 pela área da superfície da esfera 𝑞 4𝜋05229750 5649 15400W Constantes e Propriedades físicas g981ms² σ 5670 108Wm2K4 𝑇K 𝑇C 273 𝑇 C 𝑇 F 32 18 hp746W bar100kPa atm101325Pa mmHg1333224Pa lbfin²6894757Pa 83145JmolK0082058atmLmolK Rar2869JkgK kar14 Rvapor água4610JkgK kvapor água133 Rhélio2077JkgK khélio166 NA602214210²³mol Evágua216 109Pa in254cm ft3048cm lbm04535924kg slug1459390kg lbf4448222N Massa molar M Substância Al Ar ar B C Ca Cl H Mgmol 2698 3995 2897 1081 1201 4008 3545 1008 Substância K N Na O S Zn Mgmol 3910 1401 2299 1599 3206 6538 Propriedade Substância ρ kgm³ k WmK cp kJkgK µ Pas hlf kJkg hlv kJkg pv Pa Acetona l 791 0180 2151 0000337 962 521 Aço s 7800 43 0473 Água l 1000 0628 4178 0000891 334 2257 2340 Água g 00195 1868 0000009 2257 Alumínio s 2700 237 0903 85 Amônia l 612 0521 4798 00002196 322 1357 910000 ar g 1269 00240 10065 00000175 Benzeno l 883 0161 1675 00006850 126 394 10100 Cobre s 8933 401 0385 209 Concreto 2400 14 0950 Chumbo s 11340 353 0130 234 Etanol l 789 0167 2840 0001060 108 855 5700 Etileno glycol l 1096 0258 2505 00007570 181 800 12 Ferro s 7272 52 420 Gasolina l 680 000031 55100 Glicerina l 1264 0286 2386 1519 201 974 0014 Hélio g 0152 5193 00000199 Mercúrio l 13560 8515 0139 01534 114 295 00011 Metanol l 779 0198 2577 00005088 992 1100 13400 Óleo de motor 878 0145 1950 0253 Querosene l 820 20 00017 251 3110 l Líquido g Gás