Resumo Equacao de Bernoulli Estendida Mecanica dos Fluidos e Fenomenos de Transporte

TH047 Elementos de Mecânica dos Fluidos II TH064 Fenômenos de Transporte na Eng de Produção Segundo Semestre de 2024 Resumo número 3 O resumo apresentado foi preparado com base no livro texto adotado na disciplina Incropera FP Dewitt DP Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa LTC 1998 Os tópicos apresentados também podem ser encontrados na bibliografia básica listada no texto que descreve as instruções gerais sobre a disciplina Um resumo ampliado também pode ser obtido no seguinte artigo Pellegrini CC A busca pelo copo ideal um estudo de otimização em transferência de calor Revista Brasileira de Ensino de Física vol 41 nº 3 wwwsbfisicaorgbr 2019 1 INTRODUÇÃO Complementase a apresentação do item 13 13 Conservação de Energia Complementase a apresentação do subitem 134 134 Conservação de energia nos escoamentos de fluidos Apresentase o subitem 1343 1343 Equação de Bernoulli Estendida Em 1738 o físico suíço e geômetra Daniel Bernoulli 17001782 publicou um tratado sobre hidrodinâmica Hydrodynamica sive de viribus et motibus fluidorum commentarii onde apresentou o enunciado para a lei da conservação de energia aplicada para escoamentos de fluidos perfeitos não viscosos incompressíveis e em regime permanente Darrigol O Worlds of Flow Oxford 2009 A equação de Bernoulli estendida também conhecida como equação da energia mecânica é uma equação da conservação de energia que pode ser aplicada para escoamentos de fluidos viscosos incompressíveis e em regime permanente em média Na seguinte figura representase um tubo de corrente Um tubo de corrente é um tubo imaginário limitado por um grupo de linhas de corrente A variação da seção transversal ao longo do tubo de corrente é pequena Nas fronteiras do tubo de corrente não existem componentes normais de velocidade tal como se tais fronteiras formassem um tubo sólido A linha de corrente é a linha contínua que é sempre tangente ao campo de velocidade Se o regime de escoamento é permanente não existem mudanças num ponto fixo e as linhas de corrente são linhas fixas no espaço Nos escoamentos em regime não permanente os formatos das linhas de corrente podem variar com o tempo Para tubos de corrente com área da seção transversal infinitesimal o escoamento é unidimensional com velocidade uniforme O tubo de corrente tem uma seção de alimentação e e uma seção de descarga s Quando todo o escoamento é permanente no volume de controle não existe trabalho retirado ou inserido no escoamento 𝑊 𝑙𝑖𝑞 𝑒 0 O escoamento em máquinas que operam com fluidos apresentam regiões onde o escoamento é transitório é permanente em média cíclico Nestas condições a equação 55 tem a seguinte forma 𝑢 𝑉22 𝑔𝑧 𝑝𝜌 𝑚 𝑠 𝑢 𝑉22 𝑔𝑧 𝑝𝜌 𝑚 𝑒 𝑄 𝑙𝑖𝑞 𝑒 59 Se o escoamento é incompressível 𝑚 𝑒 𝑚 𝑠 𝑚 resulta 𝑝𝑠𝜌 𝑉𝑠 22 𝑔𝑧𝑠 𝑝𝑒𝜌 𝑉𝑒 22 𝑔𝑧𝑒 𝑢 𝑠 𝑢 𝑒 𝑞𝑙𝑖𝑞 𝑒 60 sendo 𝑞𝑙𝑖𝑞 𝑒 𝑄 𝑙𝑖𝑞 𝑒𝑚 Nos escoamentos reais viscosos experimentalmente comprovase que existem perdas de energia 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑢 𝑠 𝑢 𝑒 𝑞𝑙𝑖𝑞𝑒 0 61 A equação 60 pode ser apresentada como 𝑝𝑠𝜌 𝑉𝑠 22 𝑔𝑧𝑠 𝑝𝑒𝜌 𝑉𝑒 22 𝑔𝑧𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎s 62 A expressão 62 representa a forma da equação da energia para escoamentos incompressíveis viscosos e permanentes em média É denominada de equação de Bernoulli estendida Exemplo 15 Na seguinte figura apresentase o esquema de um reservatório contendo ar T15C de grandes dimensões que em regime permanente alimenta uma mangueira 𝐷2 30mm e 𝐷3 10mm A pressão do ar no interior do tanque é igual a 𝑝1 3kPa relativa Determinar a vazão de ar escoada e a pressão no ponto 2 O ar pode ser considerado como incompressível e não viscoso Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 3 resulta 𝑉3 2𝑝1𝜌 com 𝜌 𝑝1𝑅𝑎𝑟 𝑇 e 𝑄 𝐴3𝑉3 Da equação 12 resulta 𝑉2 𝑉3𝐷3𝐷22 Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 resulta 𝑝2 𝑝1 𝜌𝑉2 22 Fazendo os cálculos Q542Ls e 𝑝2 2693Pa relativa Exemplo 16 Na seguinte figura esquematizase um dispositivo denominado de sifão que é usado para retirar um líquido de um reservatório Para que o sifão funcione uma das extremidades do tubo deve ser inserida no reservatório com o tubo completamente cheio de líquido e a outra extremidade deve estar fechada Posicionase a extremidade fechada abaixo da superfície livre do reservatório Abrindose a extremidade fechada iniciase o processo de retirada do líquido do reservatório No ponto 3 da figura ocorre a menor pressão no tubo 𝑝3 Para que o sifão permaneça funcionando é necessário que 𝑝3 seja maior que a pressão de vaporização do líquido na temperatura ambiente Se existir a formação de bolsas de vapor no interior de um meio líquido ocorre o fenômeno de cavitação com o escoamento sendo interrompido Para um tubo com seção transversal constante e com a aplicação da equação da conservação de massa e da equação de Bernoulli considerando o termo 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 0 considerandose as variáveis identificadas na figura obtêmse os seguintes resultados 𝑉5 2𝑔 𝑙 63 𝑝3 𝛾𝐻 𝑙 64 Os escoamentos unidimensionais incompressíveis permanentes em média e viscosos em bombas ventiladores e turbinas podem ser avaliados pela equação 𝑝𝑠𝜌 𝑉𝑠 22 𝑔𝑧𝑠 𝑝𝑒𝜌 𝑉𝑒 22 𝑔𝑧𝑒 𝑤𝑙𝑖𝑞 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 65 sendo 𝑤𝑙𝑖𝑞 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑊 𝑙𝑖𝑞 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑚 Dividindose a equação 65 por g obtêmse a equação de Bernoulli estendida em unidade de comprimento 𝑝𝑠𝛾 𝑉𝑠 22𝑔 𝑧𝑠 𝑝𝑒𝛾 𝑉𝑒 22𝑔 𝑧𝑒 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝐿 𝑃 66 sendo 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑤𝑙𝑖𝑞 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑔 a carga da máquina 𝐿 𝑃 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠𝑔 as perdas de carga 𝑃 é a perda de carga contínua e 𝐿 é a perda de carga localizada entre os pontos e e s A carga da máquina é negativa para retiradas de energia do escoamento 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑇 no caso de turbinas e positiva nas inserções de energia ao escoamento 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝐵 no caso de bombas Na perda de carga são incluídas todas as perdas de energia na instalação na tubulação nas transições e nas máquinas hidráulicas As perdas de carga contínua 𝑃 e localizadas 𝐿 entre os pontos e e s 𝐻𝑇 representa uma carga de energia retirada do sistema turbina Para um tubo circular com comprimento L e diâmetro interno D vazão escoada Q a perda de carga contínua 𝑃 pode definida por 𝑝 8𝑓𝑄2𝐿𝜋2𝑔𝐷5 67 sendo f chamado de fator de atrito de Moody ou Darcy Exemplo 17 Na figura da próxima página representase o escoamento num sifão Considerandose que as áreas das superfícies dos reservatórios são iguais e que a diferença de nível entre as superfícies dos reservatórios é igual a H determinar a expressão para calcular o tempo necessário para que os níveis nos reservatórios se igualem Aplicandose a equação 66 entre os pontos 𝑒 1 e 𝑠 2 num determinado instante t com 𝑉1 𝑉2 e 𝑝1 𝑝2 considerandose que existem somente perdas de carga contínuas 𝑧1 𝑡 𝑧2 𝑡 𝑡 8𝑓𝑄2𝐿𝜋2𝑔𝐷5 68 Da interpretação geométrica da diferença de níveis entre os pontos 1 e 2 concluise que 𝑑𝑑𝑡 2𝑉 8𝑄𝜋𝐷2 69 sendo D o diâmetro do tubo que conecta os reservatórios Derivandose a expressão 68 e substituindose na equação 69 resulta 𝑑𝑄𝑑𝑡 𝜋𝑔𝐷32𝑓𝐿 70 Integrandose a expressão 70 e considerandose que 𝑄0 𝜋𝐷2 𝑔𝐻8 resulta 𝑄 𝑡 𝜋𝐷2 𝑔𝐻8 𝑔𝐷𝑡 2𝑓𝐿 71 Quando 𝑄𝑡 0 os níveis nos reservatórios se igualem sendo 𝑡 o tempo de operação do sifão 𝑡 𝑓𝐿 𝐻2𝑔𝐷 72 Quando o fluido é considerado ideal não viscoso 𝑓 0 resultando 𝑡 0 No caso de fluidos ideais os níveis dos reservatórios se igualam instantaneamente No caso de um fluido ideal as perdas são nulas e a única solução possível para o problema analisado é 𝑧1 𝑡 𝑧2𝑡 Na literatura existem inúmeras equações que podem ser usadas para a determinação do fator de atrito Para escoamentos laminares completamente desenvolvidos 𝑓 64𝑅𝑒𝐷 73 𝑅𝑒𝐷 é um número adimensional chamado de número de Reynolds Para o escoamento em um tubo circular é definido por 𝑅𝑒𝐷 𝜌𝑉𝐷𝜇 74 Num escoamento completamente desenvolvido o número de Reynolds crítico que corresponde ao surgimento da turbulência é 𝑅𝑒𝐷𝑐𝑑 2300 75 Para escoamentos turbulentos em tubos lisos 𝑓 0316𝑅𝑒𝐷 14 𝑅𝑒𝐷 20000 76 𝑓 0184𝑅𝑒𝐷 15 𝑅𝑒𝐷 20000 77 𝑓 0790 ln𝑅𝑒𝐷 1642 3000 𝑅𝑒𝐷 5 106 78 Para escoamentos turbulentos em tubos rugosos 1 𝑓 2 log 251𝑅𝑒𝐷 𝑓 𝜖𝐷 37 2300 𝑅𝑒𝐷 𝑅𝑒𝑙𝑖𝑚 79 𝑓 2log37 𝜖𝐷 2 𝑅𝑒𝐷 𝑅𝑒𝑙𝑖𝑚 80 Sendo 𝑅𝑒𝑙𝑖𝑚 2176 3822 log 𝜖𝐷 𝜖𝐷 81 e 𝜖𝐷 é a rugosidade relativa da superfície das paredes do tubo As perdas de carga localizadas ocorrem quando existem modificações nas tubulações do sistema conexões e válvulas Num ponto do sistema com velocidade média V a perda de carga localizada 𝐿 pode estimada por 𝐿 𝑘𝑉22𝑔 82 sendo k um coeficiente determinado em função do tipo de modificação existente na tubulação do sistema Numa tubulação com vazão Q a potência P retirada com uma carga 𝐻 𝐻𝑇 ou inserida de uma carga 𝐻 𝐻𝐵 na instalação é calculada com seguinte expressão 𝑃 𝛾𝑄𝐻 83 Exemplo 18 Na seguinte figura esquematizase a interligação de dois reservatórios com grande superfície por meio de uma bomba que recalca 56Ls de água Sabendose que a potência do motor da bomba tem 746kW de potência e que 𝑧𝐵𝑧𝐴 91m determinar as perdas de carga e a perda de potência no escoamento Aplicase a equação 66 do ponto A ao ponto B considerandose que 𝑝𝐴 𝑝𝐵 𝑝𝑎𝑡𝑚 as superfícies dos reservatórios estão em contato com o ar atmosférico e 𝑉𝐴 𝑉𝐵 0 os reservatórios são de grandes superfícies 𝑧𝐵 𝑧𝐴 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝐿 84 Sendo 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑊 𝑙𝑖𝑞 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝜌𝑄𝑔 resulta 𝑒𝑖𝑥𝑜 136m Com a equação 84 determinase que 𝐿 45m A perda de potência no escoamento é provocada pela resistência ao escoamento da água na instalação 𝑊 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑜 𝜌𝑄𝑔𝐿 resultando 𝑊 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑜 247kW Exemplo 19 Na seguinte figura esquematizase a instalação de recalque de água com uma bomba São conhecidos os seguintes dados 𝑝1 1379kPa 𝑧1 2438m 𝑧3 6096m diâmetro dos tubos 𝐷 305mm e carga da bomba 𝐵 4285m As perdas de carga a entre os pontos 1 e 2 são desprezíveis e b entre os pontos 2 e 3 são calculadas com a equação 𝐿23 8𝑉22𝑔 com 𝑉22𝑔 e 𝐿 em metros Determinar a vazão recalcada pela bomba Considerandose 𝑝3 0 e 𝑉1 𝑉3 𝑉 com a aplicação a equação 26 do ponto 1 ao ponto 3 resulta 𝑧3 𝑝1𝛾 𝑧1 𝑏 8𝑉22𝑔 85 Usandose os dados do problema na equação 85 resulta 𝑉 345ms Com 𝑄 𝜋𝐷2𝑉4 determinase 𝑄 2523Ls Exemplo 20 Na seguinte figura apresentase o esquema de uma bomba centrífuga com entrada axial e saída radial São conhecidos os seguintes dados vazão bombeada 𝑄 35Ls frequencia de rotação do rotor 𝑓𝑟 1000rpm diâmetro da entrada no rotor 𝐷1 5in diâmetro externo do rotor 𝐷2 10in largura das pás do rotor 𝑏 1in 𝑝1 15kPa e 𝑝2 155kPa Calcular a eficiência do rotor da bomba centrífuga Considerandose a conservação da quantidade de movimento angular podese demonstrar que a potência do rotor pode ser calculada com a seguinte expressão 𝑃 𝑊 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑒 𝜋𝑓𝑟𝐷22𝜌𝑄 86 Substituindose na expressão 86 os dados do problema obtêmse 𝑊 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑒 6191W Dividindose pelo fluxo de massa 𝑚 35kgs determinase 𝑤𝑙𝑖𝑞 𝑒𝑖𝑥𝑜 1769Jkg Supondose que 𝑧1 𝑧2 e aplicandose a equação 65 podese obter a expressão para calcular o efeito útil no rotor da bomba efeito útil 𝑤𝑙𝑖𝑞 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑝2𝜌 𝑉 2 22 𝑝1𝜌 𝑉 1 22 87 A eficiência pode ser estimada com a relação 𝜂 efeito útil𝑤𝑙𝑖𝑞 𝑒𝑖𝑥𝑜 88 As velocidades médias podem ser calculadas com as seguintes expressões 𝑉 1 4𝑄𝜋𝐷1 2 e 𝑉 2 𝑄𝜋𝑏𝐷2 Substituindose nas expressões 87 e 88 os dados do problema obtêmse efeito útil 16916Jkg e 𝜂 0956 Constantes e Propriedades físicas g981ms² σ 5670 108Wm2K4 𝑇K 𝑇C 273 𝑇 C 𝑇 F 32 18 hp746W bar100kPa atm101325Pa mmHg1333224Pa lbfin²6894757Pa 83145JmolK0082058atmLmolK Rar2869JkgK kar14 Rvapor água4610JkgK kvapor água133 Rhélio2077JkgK khélio166 NA602214210²³mol Evágua216 109Pa in254cm ft3048cm lbm04535924kg slug1459390kg lbf4448222N Massa molar M Substância Al Ar ar B C Ca Cl H Mgmol 2698 3995 2897 1081 1201 4008 3545 1008 Substância K N Na O S Zn Mgmol 3910 1401 2299 1599 3206 6538 Propriedade Substância Ρ kgm³ k WmK cp kJkgK µ Pas hlf kJkg hlv kJkg pv Pa Acetona l 791 0180 2151 0000337 962 521 Aço s 7800 43 0473 Água l 1000 0628 4178 0000891 334 2257 2340 Água g 00195 1868 0000009 2257 Alumínio s 2700 237 0903 85 Amônia l 612 0521 4798 00002196 322 1357 910000 ar g 1269 00240 10065 00000175 Benzeno l 883 0161 1675 00006850 126 394 10100 Cobre s 8933 401 0385 209 Concreto 2400 14 0950 Chumbo s 11340 353 0130 234 Etanol l 789 0167 2840 0001060 108 855 5700 Etileno glycol l 1096 0258 2505 00007570 181 800 12 Ferro s 7272 52 420 Gasolina l 680 000031 55100 Glicerina l 1264 0286 2386 1519 201 974 0014 Hélio g 0152 5193 00000199 Mercúrio l 13560 8515 0139 01534 114 295 00011 Metanol l 779 0198 2577 00005088 992 1100 13400 Óleo de motor 878 0145 1950 0253 Querosene l 820 20 00017 251 3110 l Líquido g Gás