Exercícios G a Resolvidos-2023 1

Considere o triângulo \( \triangle ABC \) e denote por \( P \) ao ponto no segmento \( \overrightarrow{BC} \) tal que \( 4 \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{BC} \). Suponha ainda que \( P \) é o pé da altura relativa ao vértice \( A \). Sabendo que \[ \mathrm{proj}_{\overrightarrow{BC}} \overrightarrow{BA} = (\sqrt{x}, \sqrt{3 - x}, 5\sqrt{2\sqrt{x}}), \] assinale a alternativa que corresponde ao valor de \( x > 0 \) tal que \( \left\|\overrightarrow{PC}\right\| = 1 \). Considere um tetraedro \( ABCD \) cuja base é um triângulo com vértices \( A(1, 4, -4) \), \( B(6, 6, -1) \) e \( C(3, 4, -2) \). Sabe-se que o vértice \( D \) pertence ao eixo \( y \) e que a altura relativa a esse vértice é \( 5\sqrt{3} \). Assinale a alternativa que contém a ordenada (2ª coordenada) do vértice \( D \). Considere um paralelogramo \( ABCD \). Suponha que os vértices \( A = \left(-7, \frac{7}{9}, \frac{1}{2}\right) \) e \( B = \left(-4, 3, \frac{1}{2}\right) \) sejam consecutivos e que \( M = \left(-\frac{9}{2}, 5, \frac{1}{2}\right) \) é o ponto de interseção das diagonais do paralelogramo. Assinale a alternativa que corresponde ao valor da área do paralelogramo \( ABCD \). Um vetor \( \vec{v} \in \mathbb{R}^3 \) forma com os vetores \( \vec{i} \) e \( \vec{j} \) ângulos de 60º e 120º, respectivamente. Determine e preencha abaixo as coordenadas do vetor \( \vec{v} \), sabendo que ele tem norma igual a 2 e coordenada \( z \) (cota) negativa (Use 2 casas decimais): As coordenadas dos pontos \( O, A e B \) do plano são \((0,0), (0,1) \) e \( \left( \frac{3}{4},0 \right) \), respectivamente. Um ponto \( P = (x,y) \) é tal que a área do triângulo \( \triangle POA \) é o dobro da área do triângulo \( \triangle POB \). Podemos afirmar então que as coordenadas de \( P \) satisfazem a relação: Área do paralelogramo: A+C / 2 = M -> C = 2M - A = (-9, 10, 1) - (-7, 7/2, 1/2) = (-2, 13/2, 1/2) -AB = -B + A = (-3, 1/2, 0) BC = C - B = (2, 7/2, 0) BA·BC = -6 + 7/4 + 0 = -17/4 = |BA||BC|cosθ → cosθ = -17/4 * 4/37.65 → θ = 110,28º → A = |BA||BC|sinθ = 37.65/4 * 0.937998 = 11.5 Digitalizado com CamScanner 2 - ||PC|| = 1 A B P C BP = (√x, √3 - x, 5√2√x) 4PC = BC = BP + PC → BP = 3PC → PC = BP/3 → PC = (√x/3, √3 - x/3, 5√2√x/3) → ||PC|| = x/9 + 3 - x/9 + 25.2.x/9 = 1 → 3 + 50x = 9 → x = 6/50 = 3/25 __________________ Digitalizado com CamScanner 3 - 2ª coordenada b D. D = (0, y, 0) __________________ Digitalizado com CamScanner equação do plano que contém (A, B e C), x + ay + bz + c = 0. → {1 + 4a - 4b + c = 0 6 + 6a - b + c = 0 3 + 4a - 2b + c = 0 → 2b + 2 = 0 → b = -1. 3 + 2a + b = 0 → a = 1 - 3/2 → -1 → c = -1 + 4 * 1 = = -1 → x - y - z - 1 = 0 __________________ Digitalizado com CamScanner - \frac{5}{3} = \frac{| 1 - \frac{y}{1} |}{\sqrt{3}} - y -1 = 15 \ e \ -y-1=-15 - y = -16 \ e \ y = 14 duas opções: y = -16 \ e \ y = 14. \matrix{ coordenadas \ esféricas } \cdots\matrix{2cos120=1} c^2 = -2cos60.security60=-0.866 k = -1.5 v = (-0.866, 1, -1.5) usando a fórmula: \begin{matrix} \frac{1}{2} \quad 0 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \quad 0 \\ x \quad y \quad 1 \end{matrix} \begin{matrix} \quad 0 \quad 0 \sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{1}{2} \\ x \quad y \quad 0 \quad \end{matrix} |\cdots| \produzir \áce\triangle \quad x = \frac{3}{2} \over y ou x=-\frac{3}{2} \over y.