Exercícios G a Resolvidos-2023 1

Sejam \( A = (1, 2, 3) \), \( B = (2, 4, 3) \), \( C = (1, 5, 4) \) e \( D = (2, 2, 7) \) vértices de um paralelepípedo no espaço e suponha que os vértices \( A, B \) e \( D \) são adjacentes ao vértice \( C \). Sendo o segmento \( CH \) uma diagonal do paralelepípedo, assinale a alternativa que corresponde às coordenadas do ponto \( H \). Seja \( \triangle ABC \) um triângulo retângulo, com ângulo reto no vértice \( A \). Sabe-se que o lado \( AB \) é paralelo ao eixo \( x \) e que as coordenadas do vértice \( B \) e do centroide \( G \) são, respectivamente, \((16, 1)\) e \((8, 2)\). Assinale a alternativa que contém as componentes do vetor \( \vec{AG} \). Quais das seguintes condições os números reais não nulos \( x \) e \( y \) devem satisfazer para que os vetores \((x+4, y+4)\) e \((4, 4)\) sejam paralelos? Considere o triângulo \( \triangle ABC \) no plano, onde \( A = (6, 7) \), \( B = (x, 7) \) e \( C = (6, 14) \). Seja \( P \) um ponto no lado \( AB \) tal que \( \overrightarrow{AP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \). Assinale a alternativa que contém o valor de \( x \), de modo que a distância do ponto \( C \) ao ponto \( P \) seja \( \sqrt{53} \) unidades. Considere o triângulo \( \triangle OAB \) de vértices \( O = (0, 0) \), \( A = (18, 0) \) e \( B = (6, 2) \), conforme a figura (fora de escala). Seja \( P \) um ponto no lado \( OA \) tal que \( \overrightarrow{PA} = 5\vec{v} \) onde \( \vec{v} = \overrightarrow{OP} \). Assinale a alternativa que contém as coordenadas do vetor \( \vec{b} \). 1\) \( A : \space (1,2,3) \hspace{20pt} B : \space (2,4,3) \hspace{20pt} C : \space (1,5,4) \hspace{20pt} D : \space (2,2,7) \) \[ \quad \quad (1,1,2,3) \] \[ P(2,2,p) \] \[ G(2,i,k,7) \] \[ H(x,4,y,z) \] \[ d_{CB}^2 = \{3^2 + (-1)^{2} + (-1)^{2}\} \] \[ d_{CB} = \sqrt{13} \] \[ d_{CA}^2 = \{3^{2} + (-1)^{2} \} \] \[ d_{CA} = \sqrt{10} \] \[ d_{CD}^{2} = \{(-1)^{2} + (3)^{2} + (-3)^{2} \} \] \[ d_{CD} = \sqrt{19} \] \[ \Rightarrow (k-2)^{2} = 19 \Rightarrow k = 2 \pm \sqrt{19} \] \[ \Rightarrow (z-7)^{2} = 10 \Rightarrow z = 7\pm \sqrt{10} \] \[ Portanto, \space H = (2, 2 + \sqrt{19}, 2 \pm \sqrt{10}) \]