Lista de Estátistica

UFRJ FACC Estatística I Prof Maria Cecília Lista I Uma companhia de seguros tem o objetivo estratégico de reduzir a quantidade de tempo necessário para aprovar propostas de seguro de vida O processo de aprovação consiste na subscrição que inclui a revisão da proposta verificação das informações médicas do segurado possíveis pedidos de outras informações médicas ou exames adicionais e o estágio de compilação da apólice durante o qual as páginas da apólice são geradas e encaminhadas ao banco para que sejam remetidas Você coleta os dados selecionando uma amostra aleatória de 27 apólices aprovadas durante um período de um mês A guia Seguro disponível no arquivo Lista Final fornece o total do tempo de processamento em dias Para analisar os dados você precisa construir uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 para a média aritmética da população correspondente ao tempo de processamento II Existe uma diferença em termos dos rendimentos gerados por diferentes tipos de investimentos A guia TaxaCD fornecida no arquivo Lista Final contém os rendimentos correspondentes a um certificado de depósito CD com vencimento em um ano e a um certificado de depósito CD com vencimento em cinco anos para 24 bancos nos Estados Unidos com posição em 21 de junho de 2021 a Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 para a média aritmética do rendimento gerado por certificados de depósito CD com vencimento em um ano b Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 para a média aritmética do rendimento gerado por certificados de depósito CD com vencimento em cinco anos c Compare os resultados de a e b III Os lucros diários de determinado comerciante com a venda de um de seus produtos podem ser considerados variáveis aleatórias independentes Suponha que o valor médio e o desvio padrão dos lucros diários sejam respectivamente 6000 e 640 Usando a aproximação fornecida pelo Teorema do Limite Central calcule a a probabilidade do lucro trimestral 90 dias ser superior a 550000 b O lucro semestral 180 dias máximo a ser garantido com 98 de probabilidade IV É inegável que o período pandêmico causou diversas transformações na forma como enxergamos o cotidiano corporativo e nos relacionamos com ele Um levantamento realizado pela empresa de consultoria BMI aponta que a experiência com o trabalho remoto foi e deve continuar sendo majoritariamente positiva A pesquisa também mostra que para 53 dos colaboradores entrevistados as preocupações com questões relacionadas à saúde e ao bemestar estão sendo mais priorizadas do que antes da crise sanitária Dentre os resultados obtidos junto a trabalhadoras de uma empresa de varejo com idade entre 22 e 35 anos 46 afirmaram que preferem renunciar a parte de seus salários em favor de mais tempo para sua vida pessoal buscando melhorar sua qualidade de vida Suponha que você selecione uma amostra de 100 trabalhadores com idade entre 22 e 35 anos a Qual é a probabilidade de que na amostra menos de 50 prefiram renunciar a parte de seus salários em favor de mais tempo para sua vida pessoal b Qual é a probabilidade de que na amostra mais de 40 prefiram renunciar a parte de seus salários em favor de mais tempo para sua vida pessoal c Caso seja extraída uma amostra de tamanho 400 como isso modifica as suas respostas de a a b V Você deseja realizar investimentos utilizando a PLR que receberá no início do próximo ano O gerente de investimentos do seu banco lhe apresentou algumas possibilidades e você está considerando duas dentre as opções elencadas Alternativa 1 aplicar em ação Neste caso é preciso considerar que dentro de um certo horizonte de tempo a taxa de retorno desta ação se comporta aproximadamente como uma variável aleatória com distribuição normal e que a taxa média de retorno desta ação seja 18 com desvio padrão de 2 Alternativa 2 título de renda fixa com taxa de retorno de 15 A dualidade entre risco e rentabilidade se impõe e você deve decidir entre as duas aplicações a Calcule a probabilidade de aplicar 5000 nesta ação e resgatar até 6050 b Determine a probabilidade de lucrar menos de 560 ao aplicar 4000 nesta ação c Qual a probabilidade de ao aplicar 5000 resgatar um montante entre 5700 e 6100 d Se um investidor opta pelo risco isto é pela aplicação na ação qual a probabilidade dele obter mais rentabilidade do que outro investidor mais conservador e Determine a rentabilidade mínima para o título de renda fixa de forma que a probabilidade para que este investidor de risco tenha no máximo 5 de chance de obter menor rentabilidade do que o investidor conservador VI Uma pesquisa foi realizada junto a 300 pessoas que fazem compras pela Grande Rede Em resposta à pergunta sobre o que influenciaria o comprador a gastar mais dinheiro na Grande Rede durante 2022 18 indicaram frete grátis 13 indicaram descontos oferecidos durante a compra e 9 afirmaram ser a avaliação do produto feita por outros compradores Construa uma estimativa de intervalo de confiança de 90 para a proporção da população de pessoas que fazem compras pela Grande Rede que afirmaram que seriam influenciadas a gastar mais dinheiro com compras na Grande Rede em 2022 em razão de a frete grátis b descontos oferecidos durante a compra c avaliação do produto feita por outros compradores Foi solicitado a você que atualizasse os resultados desse estudo Determine o tamanho de amostra necessário para estimar com 90 de confiança as proporções das populações em a a c dentro dos limites de 002 VII Fraudes em pedidos de indenização por sinistros declarações de sinistro ilegítimas assim como supervalorização de indenização quantias exageradas nas declarações de prejuízos continuam a constituir questões de grande preocupação entre as companhias seguradoras de automóveis Definese fraude como uma representação enganosa dos fatos relativos a um determinado dano ou prejuízo supervalorização é definida como a inflação do valor em um pedido de indenização por sinistro supostamente legítimo Um estudo recente examinou pedidos de indenização de seguros por danos em automóveis fechados com pagamento correspondente a coberturas de passageiros pessoas físicas Foram coletados dados detalhados sobre o tipo de dano tratamento médico declaração de perdas e danos e total de pagamentos assim como técnicas para supervalorizar o pedido de indenização Além disso foi solicitado a auditores que examinassem os arquivos correspondentes a pedidos de indenização para indicar se elementos específicos de fraude ou supervalorização apareciam ou não no pedido de indenização e no caso de supervalorização especificassem a quantia correspondente ao pagamento excessivo A guia Indenização dada no arquivo Lista Final contém dados correspondentes a 90 pedidos de indenização de seguro aleatoriamente selecionados Estão incluídas variáveis a seguir PEDIDO DE INDENIZAÇÃO ID do Pedido de Indenização SUPERVALORIZAÇÃO 1 se for constatada uma supervalorização 0 se não for constatada PAGAMENTOEXCESSIVO quantia correspondente ao pagamento excessivo em dólares a Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 referente à proporção da população correspondente a todos os arquivos de pedidos de indenização por perdas e danos causados em automóveis que tiveram quantias excessivas declaradas para fins de indenização b Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 referente à média aritmética da população correspondente às quantias referentes ao pagamento excessivo em dólares I Uma companhia de seguros tem o objetivo estratégico de reduzir a quantidade de tempo necessário para aprovar propostas de seguro de vida O processo de aprovação consiste na subscrição que inclui a revisão da proposta verificação das informações médicas do segurado possíveis pedidos de outras informações médicas ou exames adicionais e o estágio de compilação da apólice durante o qual as páginas da apólice são geradas e encaminhadas ao banco para que sejam remetidas Você coleta os dados selecionando uma amostra aleatória de 27 apólices aprovadas durante um período de um mês A guia Seguro disponível no arquivo Lista Final fornece o total do tempo de processamento em dias Para analisar os dados você precisa construir uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 para a média aritmética da população correspondente ao tempo de processamento Resposta Entre 3389 dias e 5389 dias Resolução Obtemos a média e desvio padrão da amostra no excel da seguinte forma SOMAC4C3027 e DESVPADAC4C30 e chegamos ao valor de 4389 de média e desvio padrão de 2528 Tendo essas informações em mãos podemos calcular o intervalo de confiança pela seguinte fórmula x ts x é a média da amostra 4389 t é o valor crítico da distribuição t de Student para um intervalo de confiança de 95 e n 1 graus de liberdade s é o desvio padrão da amostra 2528 n é o tamanho da amostra n 27 O valor crítico t é aproximadamente 2056 usando uma tabela t de Student conforme mostrado a seguir x ts O intervalo de confiança de 95 para a média do tempo de processamento está no intervalo 3389 5389 dias II Existe uma diferença em termos dos rendimentos gerados por diferentes tipos de investimentos A guia TaxaCD fornecida no arquivo Lista Final contém os rendimentos correspondentes a um certificado de depósito CD com vencimento em um ano e a um certificado de depósito CD com vencimento em cinco anos para 24 bancos nos Estados Unidos com posição em 21 de junho de 2021 a Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 para a média aritmética do rendimento gerado por certificados de depósito CD com vencimento em um ano Resposta Entre 06223 e 09101 Resolução Obtemos a média e desvio padrão da amostra no excel e chegamos aos seguintes valores para os CD de 1 ano x 07662 s 03407 O valor crítico da distribuição t de Student para um intervalo de confiança de 95 e 23 graus de liberdade é de 2068658 conforme mostrado a seguir Aplicando a fórmula x ts O intervalo de confiança de 95 para a média está no intervalo 06223 09101 b Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 para a média aritmética do rendimento gerado por certificados de depósito CD com vencimento em cinco anos Resposta Entre 15472 e 18384 Resolução Para os CD de 5 anos temos x 16928 s 03445 t 2068658 continua o mesmo Aplicando a fórmula x ts O intervalo de confiança de 95 para a média está no intervalo 15472 18384 c Compare os resultados de a e b Como somente a média foi maior entre os CDs acabou aumentando o valor dos intervalos do investimento de 5 anos comparado ao de 1 ano mas a amplitude deles ficou bem parecida porque o desvio padrão foi parecido entre os CDs Investimento Início Fim Amplitude 1 ano 06223 09101 02878 5 anos 15472 18384 02912 III Os lucros diários de determinado comerciante com a venda de um de seus produtos podem ser considerados variáveis aleatórias independentes Suponha que o valor médio e o desvio padrão dos lucros diários sejam respectivamente 6000 e 640 Usando a aproximação fornecida pelo Teorema do Limite Central calcule a a probabilidade do lucro trimestral 90 dias ser superior a 550000 Resposta 495 Resolução A média trimestral pode ser calculada por onde nNúmerodediasnotrimestre90 μMédiadiária6 40 μT9060540000 O desvio padrão total trimestral pode ser calculado por onde σ TDesvio padrãotrimestral nNúmerodediasnotrimestre90 σdesvio padrãodiário σ T Agora podemos calcular a probabilidade de que o lucro trimestral seja superior a 5500 pela seguinte fórmula Z XμT σ T 55005400 6071 Z165 Consultando o valor de Z chegamos na probabilidade PZ1651PZ16510950500495 A probabilidade do lucro trimestral ser superior a 5500 é de aproximadamente 495 b O lucro semestral 180 dias máximo a ser garantido com 98 de probabilidade Resposta 1097601 Resolução μS180601080000 σ S Agora consultando a tabela normal acumulada à esquerda temos que a probabilidade de 98 corresponde a Z 205 Podemos calcular o valor de X lucro máximo aplicando a equação Z Xμ S σ S 205 X1080 8586 X205858610800 1097601 IV É inegável que o período pandêmico causou diversas transformações na forma como enxergamos o cotidiano corporativo e nos relacionamos com ele Um levantamento realizado pela empresa de consultoria BMI aponta que a experiência com o trabalho remoto foi e deve continuar sendo majoritariamente positivaA pesquisa também mostra que para 53 dos colaboradores entrevistados as preocupações com questões relacionadas à saúde e ao bemestar estão sendo mais priorizadas do que antes da crise sanitária Dentre os resultados obtidos junto a trabalhadoras de uma empresa de varejo com idade entre 22 e 35 anos46 afirmaram que preferem renunciar a parte de seus salários em favor de mais tempo para sua vida pessoal buscando melhorar sua qualidade de vida Suponha que você selecione uma amostra de 100 trabalhadores com idade entre 22 e 35 anos a Qual é a probabilidade de que na amostra menos de 50 prefiram renunciar a parte de seus salários em favor de mais tempo para sua vida pessoal Resposta 7881 Resolução Primeiramente vamos calcular o desvio padrão da proporção onde p 046 n 100 Temos então Para descobrir a probabilidade de p 050 vamos usar o desvio padrão calculados e a média Z Xμ σ 0500 46 00498 080 Usando a tabela Z acumulada à esquerda a probabilidade de Z 080 é aproximadamente 7881 b Qual é a probabilidade de que na amostra mais de 40 prefiram renunciar a parte de seus salários em favor de mais tempo para sua vida pessoal Resposta 8849 Resolução Agora vamos encontrar o valor de p040 Z Xμ σ 040046 00498 120 Podemos usar a tabela Z acumulada à direita a probabilidade de Z 120 é aproximadamente 8849 c Caso seja extraída uma amostra de tamanho 400 como isso modifica as suas respostas de a ab Resposta Aumenta a probabilidade com uma amostra de tamanho 400 temos a probabilidade de 9463 de menos de 50 prefiram renunciar e a probabilidade de 9920 que mais de 40 prefiram renunciar a parte de seus salários Resolução Vamos calcular a probabilidade de menos de 50 prefiram renunciar Z Xμ σ 0500 46 00249 161 Usando a tabela Z à esquerda a probabilidade de Z161 é aproximadamente 9463 Agora vamos calcular a probabilidade de mais de 40 prefiram renunciar a parte de seus salários Z Xμ σ 040046 00249 Z 241 Usando a tabela Z à direita a probabilidade de Z241 é aproximadamente 9920 V Você deseja realizar investimentos utilizando a PLR que receberá no início do próximo ano O gerente de investimentos do seu banco lhe apresentou algumas possibilidades e você está considerando duas dentre as opções elencadas Alternativa 1 aplicar em ação Neste caso é preciso considerar que dentro de um certo horizonte de tempo a taxa de retorno desta ação se comporta aproximadamente como uma variável aleatória com distribuição normal e que a taxa média de retorno desta ação seja 18 com desvio padrão de 2 Alternativa 2 título de renda fixa com taxa de retorno de 15 A dualidade entre risco e rentabilidade se impõe e você deve decidir entre as duas aplicações a Calcule a probabilidade de aplicar 5000 nesta ação e resgatar até 6050 Resposta 9332 Resolução Vamos primeiramente calcular o retorno necessário para resgatar 6050 X60505000 5000 021 Agora queremos encontrar a probabilidade de a taxa de retorno ser menor ou igual a 021 Z Xμ σ 021018 002 Z 150 Usando a tabela Z à esquerda a probabilidade correspondente a Z 15 é de 9332 b Determine a probabilidade de lucrar menos de 560 ao aplicar 4000 nesta ação Resposta 228 Resolução Vamos primeiramente calcular o retorno necessário para resgatar 560 de lucro dos 4000 X45604000 4000 014 Agora queremos encontrar a probabilidade de a taxa de retorno ser menor ou igual a 014 Z Xμ σ 014018 002 Z200 Usando a tabela Z à esquerda a probabilidade correspondente a Z 200 é de 9332 c Qual a probabilidade de ao aplicar 5000 resgatar um montante entre 5700 e 6100 Resposta 9544 Resolução Vamos calcular o retorno necessário para resgatar mais de 5700 e menos de 6100 X 157005000 5000 014 X 261005000 5000 022 Agora queremos encontrar a probabilidade de a taxa de retorno ser maior ou igual a 014 e menor ou igual a 022 Z1 X 1μ σ 014018 002 Z1200 Z2 X 2μ σ 022018 002 Z 2200 Usando a tabela Z à direita a probabilidade correspondente a Z 2 é 09772 Já usando a tabela Z à direita a probabilidade correspondente a Z 2 é 00228 valor ser maior que 6100 conforme pode ser visto abaixo Agora basta retirarmos o 00228 dos 09772 para obter a probabilidade entre os valores 5700 e 6100 P 09772 00228 09544 d Se um investidor opta pelo risco isto é pela aplicação na ação qual a probabilidade dele obter mais rentabilidade do que outro investidor mais conservador Resposta 9332 Resolução A renda fixa tem retorno de 15 vamos calcular Z Z Xμ σ 015018 002 Z 150 Usando a tabela Z à direita a probabilidade correspondente a Z 15 é aproximadamente 09332 ou seja a probabilidade de render mais que a ação do que o investimento conservador é de 9332 e Determine a rentabilidade mínima para o título de renda fixa de forma que a probabilidade para que este investidor de risco tenha no máximo 5 de chance de obter menor rentabilidade do que o investidor conservador Resposta 1471 Resolução Usando a tabela Z à esquerda o valor Z correspondente a 005 é aproximadamente 1645 Queremos encontrar o retorno desejado Z Xμ σ 1645 X018 002 X1645002018 X01471 A rentabilidade mínima do título de renda fixa deve ser de 1471 para garantir que o investidor de risco tenha no máximo 5 de chance de obter menor rentabilidade VI Uma pesquisa foi realizada junto a 300 pessoas que fazem compras pela Grande Rede Em resposta à pergunta sobre o que influenciaria o comprador a gastar mais dinheiro na Grande Rede durante 2022 18 indicaram frete grátis 13 indicaram descontos oferecidos durante a compra e 9 afirmaram ser a avaliação do produto feita por outros compradores Construa uma estimativa de intervalo de confiança de 90 para a proporção da população de pessoas que fazem compras pela Grande Rede que afirmaram que seriam influenciadas a gastar mais dinheiro com compras na Grande Rede em 2022 em razão de a frete grátis Resposta Entre 01435 e 02165 Resolução Utilizamos a fórmula para o intervalo de confiança para proporções onde p é a proporção amostral 018 Z é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado n é o tamanho da amostra 300 Para um nível de confiança de 90 o valor crítico Z é aproximadamente 1645 como podemos ver abaixo nesta tabela multiplicamos o 04495 por 2 porque ela é unicaudal Agora podemos aplicar a fórmula b descontos oferecidos durante a compra Resposta Entre 00981 e 01619 Resolução Temos aqui p 013 Z 1645 n 300 Aplicando a fórmula Descontos oferecidos durante a compra estão no intervalo 00981 01619 c avaliação do produto feita por outros compradores Resposta Entre 00629 e 01171 Resolução Temos aqui p 009 Z 1645 n 300 Aplicando a fórmula A avaliação do produto feita por outros compradores está no intervalo 0062901171 Foi solicitado a você que atualizasse os resultados desse estudo Determine o tamanho de amostra necessário para estimar com 90 de confiança as proporções das populações em a a c dentro dos limites de 002 a frete grátis Resposta 999 pessoas na amostra Resolução Utilizamos a fórmula para o tamanho da amostra para proporções onde Z é o valor crítico para um intervalo de confiança de 90 1645 p é a proporção amostral 019 E é a margem de erro desejada 002 Aplicando a fórmula temos Arredondando para cima precisamos de uma amostra de 999 pessoas b descontos oferecidos durante a compra Resposta 766 pessoas na amostra Resolução Temos Z 1645 p 013 E 002 Aplicando na fórmula mostrada no item a Arredondando para o próximo número inteiro precisamos de uma amostra de aproximadamente 766 pessoas c avaliação do produto feita por outros compradores Resposta 554 pessoas na amostra Resolução Temos Z 1645 p 009 E 002 Aplicando na fórmula mostrada no item a Arredondando para cima precisamos de uma amostra de 554 pessoas VII Fraudes em pedidos de indenização por sinistros declarações de sinistro ilegítimas assim como supervalorização de indenização quantias exageradas nas declarações de prejuízos continuam a constituir questões de grande preocupação entre as companhias seguradoras de automóveis Definese fraude como uma representação enganosa dos fatos relativos a um determinado dano ou prejuízo supervalorização é definida como a inflação do valor em um pedido de indenização por sinistro supostamente legítimo Um estudo recente examinou pedidos de indenização de seguros por danos em automóveis fechados com pagamento correspondente a coberturas de passageiros pessoas físicas Foram coletados dados detalhados sobre o tipo de dano tratamento médico declaração de perdas e danos e total de pagamentos assim como técnicas para supervalorizar o pedido de indenização Além disso foi solicitado a auditores que examinassem os arquivos correspondentes a pedidos de indenização para indicar se elementos específicos de fraude ou supervalorização apareciam ou não no pedido de indenização e no caso de supervalorização especificassem a quantia correspondente ao pagamento excessivo A guia Indenização dada no arquivo Lista Final contém dados correspondentes a 90 pedidos de indenização de seguro aleatoriamente selecionados Estão incluídas variáveis a seguir PEDIDO DE INDENIZAÇÃO ID do Pedido de Indenização SUPERVALORIZAÇÃO 1 se for constatada uma supervalorização 0 se não for constatada PAGAMENTO EXCESSIVO quantia correspondente ao pagamento excessivo em dólares a Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 referente à proporção da população correspondente a todos os arquivos de pedidos de indenização por perdas e danos causados em automóveis que tiveram quantias excessivas declaradas para fins de indenização Resposta Entre 4642 e 6690 Resolução Obtemos a média e desvio padrão da amostra no excel e chegamos ao valor de 05666 de média Agora vamos encontrar o valor crítico Z para o valor de confiança de 95 que é de 196 como podemos ver na tabela abaixo 047502 095 Podemos agora usar a fórmula onde p 05666 Z 196 n 90 Aplicando a fórmula Portanto estamos 95 confiantes de que a verdadeira proporção de pedidos de indenização com supervalorização está entre 4642 e 6690 b Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 referente à média aritmética da população correspondente às quantias referentes ao pagamento excessivo em dólares Resposta Entre 13865 a 49983 Resolução Obtemos a média e desvio padrão da amostra no excel e chegamos ao valor de 31924 de média e desvio padrão de 87356 Sabemos que o valor de Z para um intervalo de confiança de 95 é de 196 conforme mostrado no item a Podemos agora aplicar a fórmula Portanto o intervalo de confiança de 95 para a média populacional das quantias de pagamento excessivo em dólares para os pedidos de indenização de seguro é aproximadamente de 13865 a 49983 dólares I Uma companhia de seguros tem o objetivo estratégico de reduzir a quantidade de tempo necessário para aprovar propostas de seguro de vida O processo de aprovação consiste na subscrição que inclui a revisão da proposta verificação das informações médicas do segurado possíveis pedidos de outras informações médicas ou exames adicionais e o estágio de compilação da apólice durante o qual as páginas da apólice são geradas e encaminhadas ao banco para que sejam remetidas Você coleta os dados selecionando uma amostra aleatória de 27 apólices aprovadas durante um período de um mês A guia Seguro disponível no arquivo Lista Final fornece o total do tempo de processamento em dias Para analisar os dados você precisa construir uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 para a média aritmética da população correspondente ao tempo de processamento Resposta Entre 3389 dias e 5389 dias Resolução Obtemos a média e desvio padrão da amostra no excel da seguinte forma SOMAC4C3027 e DESVPADAC4C30 e chegamos ao valor de 4389 de média e desvio padrão de 2528 Tendo essas informações em mãos podemos calcular o intervalo de confiança pela seguinte fórmula 𝑥 𝑡 𝑠 𝑛 𝑥 é a média da amostra 4389 t é o valor crítico da distribuição t de Student para um intervalo de confiança de 95 e n1 graus de liberdade s é o desvio padrão da amostra 2528 n é o tamanho da amostra n 27 O valor crítico t é aproximadamente 2056 usando uma tabela t de Student conforme mostrado a seguir 𝑥 𝑡 𝑠 𝑛 43 89 2 056 2528 27 43 89 10 002 O intervalo de confiança de 95 para a média do tempo de processamento está no intervalo 3389 5389 dias II Existe uma diferença em termos dos rendimentos gerados por diferentes tipos de investimentos A guia TaxaCD fornecida no arquivo Lista Final contém os rendimentos correspondentes a um certificado de depósito CD com vencimento em um ano e a um certificado de depósito CD com vencimento em cinco anos para 24 bancos nos Estados Unidos com posição em 21 de junho de 2021 a Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 para a média aritmética do rendimento gerado por certificados de depósito CD com vencimento em um ano Resposta Entre 06223 e 09101 Resolução Obtemos a média e desvio padrão da amostra no excel e chegamos aos seguintes valores para os CD de 1 ano 𝑥 07662 s 03407 O valor crítico da distribuição t de Student para um intervalo de confiança de 95 e 23 graus de liberdade é de 2068658 conforme mostrado a seguir Aplicando a fórmula 𝑥 𝑡 𝑠 𝑛 0 7662 2 07 03407 24 0 7662 0 1439 O intervalo de confiança de 95 para a média está no intervalo 06223 09101 b Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 para a média aritmética do rendimento gerado por certificados de depósito CD com vencimento em cinco anos Resposta Entre 15472 e 18384 Resolução Para os CD de 5 anos temos 𝑥 16928 s 03445 t 2068658 continua o mesmo Aplicando a fórmula 𝑥 𝑡 𝑠 𝑛 1 6928 2 07 03445 24 1 6928 0 1456 O intervalo de confiança de 95 para a média está no intervalo 15472 18384 c Compare os resultados de a e b Como somente a média foi maior entre os CDs acabou aumentando o valor dos intervalos do investimento de 5 anos comparado ao de 1 ano mas a amplitude deles ficou bem parecida porque o desvio padrão foi parecido entre os CDs Investimento Início Fim Amplitude 1 ano 06223 09101 02878 5 anos 15472 18384 02912 III Os lucros diários de determinado comerciante com a venda de um de seus produtos podem ser considerados variáveis aleatórias independentes Suponha que o valor médio e o desvio padrão dos lucros diários sejam respectivamente 6000 e 640 Usando a aproximação fornecida pelo Teorema do Limite Central calcule a a probabilidade do lucro trimestral 90 dias ser superior a 550000 Resposta 495 Resolução A média trimestral pode ser calculada por onde 𝑛 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 90 µ 𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎 6 40 µ𝑇 90 60 5400 00 O desvio padrão total trimestral pode ser calculado por onde σ𝑇 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑛 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 90 σ 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑜 σ𝑇 90 6 40 60 71 Agora podemos calcular a probabilidade de que o lucro trimestral seja superior a 5500 pela seguinte fórmula 𝑍 𝑋 µ𝑇 σ𝑇 55005400 6071 𝑍 1 65 Consultando o valor de Z chegamos na probabilidade 𝑃𝑍 1 65 1 𝑃𝑍 1 65 1 0 9505 0 0495 A probabilidade do lucro trimestral ser superior a 5500 é de aproximadamente 495 b O lucro semestral 180 dias máximo a ser garantido com 98 de probabilidade Resposta 1097601 Resolução µ𝑆 180 60 10800 00 σ𝑆 180 6 40 85 86 Agora consultando a tabela normal acumulada à esquerda temos que a probabilidade de 98 corresponde a Z 205 Podemos calcular o valor de X lucro máximo aplicando a equação 𝑍 𝑋 µ𝑆 σ𝑆 2 05 𝑋1080 8586 𝑋 2 05 85 86 10800 10 976 01 IV É inegável que o período pandêmico causou diversas transformações na forma como enxergamos o cotidiano corporativo e nos relacionamos com ele Um levantamento realizado pela empresa de consultoria BMI aponta que a experiência com o trabalho remoto foi e deve continuar sendo majoritariamente positivaA pesquisa também mostra que para 53 dos colaboradores entrevistados as preocupações com questões relacionadas à saúde e ao bemestar estão sendo mais priorizadas do que antes da crise sanitária Dentre os resultados obtidos junto a trabalhadoras de uma empresa de varejo com idade entre 22 e 35 anos46 afirmaram que preferem renunciar a parte de seus salários em favor de mais tempo para sua vida pessoal buscando melhorar sua qualidade de vida Suponha que você selecione uma amostra de 100 trabalhadores com idade entre 22 e 35 anos a Qual é a probabilidade de que na amostra menos de 50 prefiram renunciar a parte de seus salários em favor de mais tempo para sua vida pessoal Resposta 7881 Resolução Primeiramente vamos calcular o desvio padrão da proporção onde p 046 n 100 Temos então Para descobrir a probabilidade de p 050 vamos usar o desvio padrão calculados e a média 𝑍 𝑋 µ σ 050 046 00498 0 80 Usando a tabela Z acumulada à esquerda a probabilidade de Z 080 é aproximadamente 7881 b Qual é a probabilidade de que na amostra mais de 40 prefiram renunciar a parte de seus salários em favor de mais tempo para sua vida pessoal Resposta 8849 Resolução Agora vamos encontrar o valor de p040 𝑍 𝑋 µ σ 040 046 00498 1 20 Podemos usar a tabela Z acumulada à direita a probabilidade de Z 120 é aproximadamente 8849 c Caso seja extraída uma amostra de tamanho 400 como isso modifica as suas respostas de a ab Resposta Aumenta a probabilidade com uma amostra de tamanho 400 temos a probabilidade de 9463 de menos de 50 prefiram renunciar e a probabilidade de 9920 que mais de 40 prefiram renunciar a parte de seus salários Resolução Vamos calcular a probabilidade de menos de 50 prefiram renunciar 𝑍 𝑋 µ σ 050 046 00249 1 61 Usando a tabela Z à esquerda a probabilidade de Z161 é aproximadamente 9463 Agora vamos calcular a probabilidade de mais de 40 prefiram renunciar a parte de seus salários 𝑍 𝑋 µ σ 040 046 00249 𝑍 2 41 Usando a tabela Z à direita a probabilidade de Z241 é aproximadamente 9920 V Você deseja realizar investimentos utilizando a PLR que receberá no início do próximo ano O gerente de investimentos do seu banco lhe apresentou algumas possibilidades e você está considerando duas dentre as opções elencadas Alternativa 1 aplicar em ação Neste caso é preciso considerar que dentro de um certo horizonte de tempo a taxa de retorno desta ação se comporta aproximadamente como uma variável aleatória com distribuição normal e que a taxa média de retorno desta ação seja 18 com desvio padrão de 2 Alternativa 2 título de renda fixa com taxa de retorno de 15 A dualidade entre risco e rentabilidade se impõe e você deve decidir entre as duas aplicações a Calcule a probabilidade de aplicar 5000 nesta ação e resgatar até 6050 Resposta 9332 Resolução Vamos primeiramente calcular o retorno necessário para resgatar 6050 𝑋 60505000 5000 0 21 Agora queremos encontrar a probabilidade de a taxa de retorno ser menor ou igual a 021 𝑍 𝑋 µ σ 021 018 002 𝑍 1 50 Usando a tabela Z à esquerda a probabilidade correspondente a Z 15 é de 9332 b Determine a probabilidade de lucrar menos de 560 ao aplicar 4000 nesta ação Resposta 228 Resolução Vamos primeiramente calcular o retorno necessário para resgatar 560 de lucro dos 4000 𝑋 45604000 4000 0 14 Agora queremos encontrar a probabilidade de a taxa de retorno ser menor ou igual a 014 𝑍 𝑋 µ σ 014 018 002 𝑍 2 00 Usando a tabela Z à esquerda a probabilidade correspondente a Z 200 é de 9332 c Qual a probabilidade de ao aplicar 5000 resgatar um montante entre 5700 e 6100 Resposta 9544 Resolução Vamos calcular o retorno necessário para resgatar mais de 5700 e menos de 6100 𝑋1 57005000 5000 0 14 𝑋2 61005000 5000 0 22 Agora queremos encontrar a probabilidade de a taxa de retorno ser maior ou igual a 014 e menor ou igual a 022 𝑍1 𝑋1 µ σ 014 018 002 𝑍1 2 00 𝑍2 𝑋2 µ σ 022 018 002 𝑍2 2 00 Usando a tabela Z à direita a probabilidade correspondente a Z 2 é 09772 Já usando a tabela Z à direita a probabilidade correspondente a Z 2 é 00228 valor ser maior que 6100 conforme pode ser visto abaixo Agora basta retirarmos o 00228 dos 09772 para obter a probabilidade entre os valores 5700 e 6100 P 09772 00228 09544 d Se um investidor opta pelo risco isto é pela aplicação na ação qual a probabilidade dele obter mais rentabilidade do que outro investidor mais conservador Resposta 9332 Resolução A renda fixa tem retorno de 15 vamos calcular Z 𝑍 𝑋 µ σ 015 018 002 𝑍 1 50 Usando a tabela Z à direita a probabilidade correspondente a Z 15 é aproximadamente 09332 ou seja a probabilidade de render mais que a ação do que o investimento conservador é de 9332 e Determine a rentabilidade mínima para o título de renda fixa de forma que a probabilidade para que este investidor de risco tenha no máximo 5 de chance de obter menor rentabilidade do que o investidor conservador Resposta 1471 Resolução Usando a tabela Z à esquerda o valor Z correspondente a 005 é aproximadamente 1645 Queremos encontrar o retorno desejado 𝑍 𝑋 µ σ 1 645 𝑋 018 002 𝑋 1 645 0 02 0 18 𝑋 0 1471 A rentabilidade mínima do título de renda fixa deve ser de 1471 para garantir que o investidor de risco tenha no máximo 5 de chance de obter menor rentabilidade VI Uma pesquisa foi realizada junto a 300 pessoas que fazem compras pela Grande Rede Em resposta à pergunta sobre o que influenciaria o comprador a gastar mais dinheiro na Grande Rede durante 2022 18 indicaram frete grátis 13 indicaram descontos oferecidos durante a compra e 9 afirmaram ser a avaliação do produto feita por outros compradores Construa uma estimativa de intervalo de confiança de 90 para a proporção da população de pessoas que fazem compras pela Grande Rede que afirmaram que seriam influenciadas a gastar mais dinheiro com compras na Grande Rede em 2022 em razão de a frete grátis Resposta Entre 01435 e 02165 Resolução Utilizamos a fórmula para o intervalo de confiança para proporções onde 𝑝 é a proporção amostral 018 Z é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado n é o tamanho da amostra 300 Para um nível de confiança de 90 o valor crítico Z é aproximadamente 1645 como podemos ver abaixo nesta tabela multiplicamos o 04495 por 2 porque ela é unicaudal Agora podemos aplicar a fórmula b descontos oferecidos durante a compra Resposta Entre 00981 e 01619 Resolução Temos aqui 𝑝 013 Z 1645 n 300 Aplicando a fórmula Descontos oferecidos durante a compra estão no intervalo 00981 01619 c avaliação do produto feita por outros compradores Resposta Entre 00629 e 01171 Resolução Temos aqui 𝑝 009 Z 1645 n 300 Aplicando a fórmula A avaliação do produto feita por outros compradores está no intervalo 0062901171 Foi solicitado a você que atualizasse os resultados desse estudo Determine o tamanho de amostra necessário para estimar com 90 de confiança as proporções das populações em a a c dentro dos limites de 002 a frete grátis Resposta 999 pessoas na amostra Resolução Utilizamos a fórmula para o tamanho da amostra para proporções onde Z é o valor crítico para um intervalo de confiança de 90 1645 𝑝 é a proporção amostral 019 E é a margem de erro desejada 002 Aplicando a fórmula temos Arredondando para cima precisamos de uma amostra de 999 pessoas b descontos oferecidos durante a compra Resposta 766 pessoas na amostra Resolução Temos Z 1645 𝑝 013 E 002 Aplicando na fórmula mostrada no item a Arredondando para o próximo número inteiro precisamos de uma amostra de aproximadamente 766 pessoas c avaliação do produto feita por outros compradores Resposta 554 pessoas na amostra Resolução Temos Z 1645 𝑝 009 E 002 Aplicando na fórmula mostrada no item a Arredondando para cima precisamos de uma amostra de 554 pessoas VII Fraudes em pedidos de indenização por sinistros declarações de sinistro ilegítimas assim como supervalorização de indenização quantias exageradas nas declarações de prejuízos continuam a constituir questões de grande preocupação entre as companhias seguradoras de automóveis Definese fraude como uma representação enganosa dos fatos relativos a um determinado dano ou prejuízo supervalorização é definida como a inflação do valor em um pedido de indenização por sinistro supostamente legítimo Um estudo recente examinou pedidos de indenização de seguros por danos em automóveis fechados com pagamento correspondente a coberturas de passageiros pessoas físicas Foram coletados dados detalhados sobre o tipo de dano tratamento médico declaração de perdas e danos e total de pagamentos assim como técnicas para supervalorizar o pedido de indenização Além disso foi solicitado a auditores que examinassem os arquivos correspondentes a pedidos de indenização para indicar se elementos específicos de fraude ou supervalorização apareciam ou não no pedido de indenização e no caso de supervalorização especificassem a quantia correspondente ao pagamento excessivo A guia Indenização dada no arquivo Lista Final contém dados correspondentes a 90 pedidos de indenização de seguro aleatoriamente selecionados Estão incluídas variáveis a seguir PEDIDO DE INDENIZAÇÃO ID do Pedido de Indenização SUPERVALORIZAÇÃO 1 se for constatada uma supervalorização 0 se não for constatada PAGAMENTO EXCESSIVO quantia correspondente ao pagamento excessivo em dólares a Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 referente à proporção da população correspondente a todos os arquivos de pedidos de indenização por perdas e danos causados em automóveis que tiveram quantias excessivas declaradas para fins de indenização Resposta Entre 4642 e 6690 Resolução Obtemos a média e desvio padrão da amostra no excel e chegamos ao valor de 05666 de média Agora vamos encontrar o valor crítico Z para o valor de confiança de 95 que é de 196 como podemos ver na tabela abaixo 047502 095 Podemos agora usar a fórmula onde 𝑝 05666 Z 196 n 90 Aplicando a fórmula Portanto estamos 95 confiantes de que a verdadeira proporção de pedidos de indenização com supervalorização está entre 4642 e 6690 b Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 referente à média aritmética da população correspondente às quantias referentes ao pagamento excessivo em dólares Resposta Entre 13865 a 49983 Resolução Obtemos a média e desvio padrão da amostra no excel e chegamos ao valor de 31924 de média e desvio padrão de 87356 Sabemos que o valor de Z para um intervalo de confiança de 95 é de 196 conforme mostrado no item a Podemos agora aplicar a fórmula Portanto o intervalo de confiança de 95 para a média populacional das quantias de pagamento excessivo em dólares para os pedidos de indenização de seguro é aproximadamente de 13865 a 49983 dólares