Estatística Aplicada a Negócios: Introdução à Probabilidade

ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS Prof Alexandre Alberto Politi 2 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE PARTE V 3 SUMÁRIO 1 Introdução 2 Variáveis aleatórias discretas e distribuição de probabilidades 21 Distribuição binomial 3 Conclusões 4 1 INTRODUÇÃO Este material avaliará os importantes conceitos de variável aleatória e distribuição de probabilidades Como veremos modelar experimentos aleatórios por meio de variáveis aleatórias é uma maneira bastante poderosa de extrair probabilidades sem a necessidade de explicitar o seu espaço amostral Veremos também um modelo extremamente útil para o cálculo de probabilidades de um tipo específico de experimento aleatório o Modelo Binomial 5 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES Já vimos em materiais anteriores que a descrição explícita do espaço amostral em um experimento aleatório frequentemente auxilia os cálculos de probabilidades de um evento Por exemplo ao avaliar o experimento de lançamento de duas moedas e a observação dos resultados de suas faces é útil descrever o seu espaço amostral da seguinte forma Onde c representa coroa e k representa cara Nesse caso por exemplo o evento coroa na primeira moeda seria representado por Accck No entanto nesse experimento e em muitos outros pode ser muito conveniente representar eventos de espaços amostrais por números reais Esse conceito nos leva à definição de variável aleatória Definição 1 Variável aleatória Processo que atribui a cada evento de um experimento aleatório um número real específico Costumase denotar a variável aleatória por X e cada um de seus valores por x Vejamos dois exemplos de como se utiliza o conceito de variável aleatória para representar experimentos bem como a sua notação Note que ao descrever um experimento a partir de uma variável aleatória estamos nos desvinculando da necessidade de explicitar o seu espaço amostral Exemplo 1 Lançamento de duas moedas São lançadas duas moedas e observadas as suas faces superiores Definindo a variável aleatória X número de coroas c na primeira moeda A partir dessa definição temos que X pode assumir dois valores numéricos X 0 zero coroa na primeira moeda ou X 1 uma coroa na primeira moeda Exemplo 2 Caixas eletrônicos de um banco Uma agência bancária possui 5 caixas eletrônicos Em um dado momento é observado o número de caixas eletrônicos livres 6 Podemos definir a variável aleatória X número de caixas eletrônicos que se encontram livres A partir dessa definição temos que X pode assumir os valores X 0 nenhum caixa livre X 1 um caixa livre X 2 dois caixas livres X 3 três caixas livres X 4 quatro caixas livres X 5 cinco caixas livres De maneira genérica escrevemos as probabilidades de cada valor que uma variável aleatória pode assumir utilizando a notação PX x Dessa maneira para o caso do exemplo 1 representamos como PX 0 a probabilidade de zero coroa na primeira moeda e PX 1 a probabilidade de uma cora na primeira moeda Para o caso do exemplo 2 representamos como PX 0 a probabilidade de nenhum caixa eletrônico estar livre PX 1 a probabilidade de um caixa eletrônico estar livre etc É muito útil representar todas as probabilidades PX x em um gráfico Esse gráfico é chamado de distribuição de probabilidades do experimento Definição 2 Distribuição de probabilidades Gráfico que representa as probabilidades de ocorrência de um evento quando descrito em termos de uma variável aleatória Vejamos a distribuição de probabilidades para o exemplo 1 Figura 1 Distribuição de probabilidades do Exemplo 1 X nº de coroas na primeira moeda 21 Distribuição binomial Há duas grandes vantagens em descrever um experimento aleatório por meio de variáveis aleatórias e suas respectivas distribuições de probabilidades A primeira delas é que geralmente conseguimos calcular probabilidades sem mais precisar explicitar o espaço amostral do experimento A segunda grande vantagem é que com essa técnica conseguimos enquadrar experimentos aparentemente muito diferentes em um mesmo modelo Vejamos exemplos de experimentos aleatórios que aparentemente são totalmente distintos 1 Sabese por meio de um estudo prévio que 20 das ocorrências de emergência em um hospital são devido a problemas cardiológicos Nas próximas 4 ocorrências de 7 emergência do hospital qual é a probabilidade de haverem 3 ocorrências cardiológicas Façamos X número de ocorrências cardiológicas entre as quatro observadas 2 Assumindo que a probabilidade de uma ação na bolsa de valores subir seja de 50 nos próximos 4 movimentos da ação qual é a probabilidade de haverem 3 subidas Façamos X número de subidas da ação nos próximos 4 movimentos 3 Em uma máquina de fabricar tecidos está especificado que a probabilidade de fabricar um tecido com defeito é de 05 Na fabricação de 500 tecidos qual é a probabilidade de 20 tecidos saírem defeituosos Façamos X número de tecidos defeituosos entre os quinhentos observados 4 No lançamento de uma moeda sabese que a probabilidade de sair coroa é 50 Se lançarmos uma moeda 10 vezes qual é a probabilidade de obtermos 6 coroas Façamos X número de coroas após dez lançamentos A despeito da aparente diferença entre os exemplos citados acima todos eles guardam entre si uma mesma natureza Em outras palavras todos esses exemplos se enquadram em um mesmo modelo denominado Modelo Binomial Vamos utilizar o exemplo do item 1 emergência de um hospital para desenvolver esse importante modelo Exemplo 3 Na emergência de um hospital a probabilidade de haver uma ocorrência cardiológica é de 20 ou 02 Consequentemente a probabilidade de ocorrência para qualquer outro problema não cardiológico é de 80 ou 08 Chamemos de p a probabilidade de ocorrência cardiológica também chamada de probabilidade de sucesso Nas próximas 4 ocorrências de emergência do hospital qual é a probabilidade de haverem 3 ocorrências cardiológicas 3 sucessos Vamos fazer X número de ocorrências cardiológicas nas próximas quatro ocorrências Queremos determinar a probabilidade de haverem exatamente três ocorrências cardiológicas ou seja PX 3 Apenas para melhor visualização do experimento vamos construir o seu espaço amostral No entanto quando o Modelo Binomial for desenvolvido nas próximas páginas veremos que explicitar o seu espaço amostral não é mais necessário Se denotarmos c como ocorrência cardiológica e n como ocorrência não cardiológica temos 8 Tabela 1 Ocorrências cardiológicas e não cardiológicas em quatro atendimentos Ocorrências Valor de x Ocorrências Valor de x nnnn 0 cnnn 1 nnnc 1 cnnc 2 nncn 1 cncn 2 nncc 2 cncc 3 ncnn 1 ccnn 2 ncnc 2 ccnc 3 nccn 2 cccn 3 nccc 3 cccc 4 Vejamos que para X 3 ou seja três ocorrências cardiológicas três sucessos temos quatro possibilidades nccc cncc ccnc cccn Para encontrar a probabilidade PX 3 devemos calcular a probabilidade de ocorrência de cada uma das quatro possibilidades e somálas Notando que as ocorrências cardiológicas sucesso ou não cardiológicas fracasso são independentes podemos calcular cada situação da seguinte maneira Pnccc PnPcPcPc 08020202 023 081 00064 Pcncc PcPnPcPc 02080202 023 081 00064 Pccnc PcPcPnPc 02020802 023 081 00064 Pcccn PcPcPcPn 02020208 023 081 00064 Como é evidente que cada uma das situações são mutuamente excludentes a probabilidade PX 3 é dada pelas soma simples de cada uma delas Pnccc Pcncc Pccnc Pcccn 00064 00064 00064 00064 400064 00256 Se notarmos com atenção como foi calculada a probabilidade PX 3 chegamos à seguinte equação PX 3 nº de resultados que possuem 3 ocorrências cardiológicas023081 Ou de maneira mais geral PX x nº de resultados que possuem x ocorrências cardiológicas02x084x 9 Ora mas o número de resultados que possuem x ocorrências cardiológicas entre as quatro ocorrências possíveis é exatamente a combinação Dessa forma podemos calcular qualquer probabilidade PX x utilizando a seguinte expressão Onde é a combinação Como foi dito se utilizarmos o resultado anterior não precisamos mais explicitar o espaço amostral do experimento para calcular as probabilidades desejadas Basta utilizar a expressão de PX x Por exemplo vamos calcular as outras probabilidades PX 0 PX 1 e PX 2 e PX 4 A Figura 2 mostra a distribuição de probabilidades do Exemplo 3 calculadas pela expressão do Modelo Binomial Figura 2 Distribuição de probabilidades do Exemplo 3 X nº de ocorrências cardiológicas A partir do Exemplo 3 podese generalizar o seguinte modelo conhecido como Distribuição Binomial 1 Dado um experimento aleatório com n repetições quatro ocorrências no hospital 2 Cada uma das repetições é independente as ocorrências são independentes 3 Cada repetição possui apenas dois resultados possíveis chamados de sucesso ou fracasso ocorrência cardiológica ou não cardiológica 10 4 A probabilidade p de sucesso em cada repetição permanece constante a probabilidade de ocorrência cardiológica no hospital é sempre 02 5 Uma variável aleatória que é igual ao número de sucessos desse experimento aleatório é chamada de Variável aleatória binomial e sua probabilidade é dada por 11 3 CONCLUSÕES Como foi proposto este material se ocupou de estudar conceitos importantes do cálculo de probabilidades tais como o conceito de variável aleatória e distribuição de probabilidades Foi avaliado também o chamado Modelo Binomial que se mostrou extremamente útil no cálculo de probabilidades dos mais variados experimentos aleatórios INDICAÇÃO DE LEITURA OBRIGATÓRIA SWEENEY D J WILLIAMS T A ANDERSON D R Estatística aplicada à administração e economia 3a ed São Paulo Cengage 2013 Capítulo 5 Introdução e Tópicos 51 52 e 54 12 FIPECAFI Todos os direitos reservados A FIPECAFI assegura a proteção das informações contidas nesse material pelas leis e normas que regulamentam os direitos autorais marcas registradas e patentes Todos os textos imagens sons vídeos eou aplicativos exibidos nesse volume são protegidos pelos direitos autorais não sendo permitidas modificações reproduções transmissões cópias distribuições ou quaisquer outras formas de utilização para fins comerciais ou educacionais sem o 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