2 Lista de Exercícios

2° Lista de Exercicios (a) Convolugao Digital Problema 1 Obtenha a convolugao entre dois degraus digitais (o * 7). Plote o grafico do resultado. Problema 2 Considere os sinais digitais u e h e seja [h],, definido como [h]x, (Kk) = h(k — ko). Mostre que u * [h],, = [wu * h],,. Explique em palavras o resultado. Quem seria [u],, * [R]kg? Problema 3 Sejam os sinais digitais u e h e considere h um sinal periddico, i-e., [h],, = h para um certo inteiro positivo ko. Mostre que u * h também sera um sinal periddico, ou seja [u * h]z, = u* h. Problema 4 Considere os sinais u e h e sejam os sinais f e g tais que f(k) = u(nk) e g(k) = h(k/n), com n £0 € Z. Mostre que: (f * h)(k) = (w* g)(nk) Problema 5 Sejam os sinais f (qualquer) e h(k) = z*, com z € C. Verifique o seguinte: (a) (f «h)(k) = F(2)-h(k), onde F(z) = SD f(ne7” ; . ; dF (2) (b) Considere o sinal g(k) = kf(k) e verifique que (g * h)(k) = G(z).h(k), onde G(z) = 2 z Problema 6 Considere os sinais ue h e sejam os sinais f eg tais que f(k) = a*u(k) e g(k) = a-*h(k), coma 40 EC. Mostre que: (f *h)(k) = a* x (ux g)(k) Problema 7 Considere a convolugcao entre os sinais digitais abaixo: -1<k<2 2, l<k< n(k)= 4 SE u(k)= fo SS" 0, para outros k 0, para outros k Se y = uxh, entao: (a) Encontre o valor de y(5). (b) Encontre o valor maximo de y e o valor correspondente de k. Problema 8 Considere os sinais f(k) = a*o(k) e g(k) = b*a(k). Obtenha a convolucao f * g nos seguintes casos: (a) a # b, ambos reais. (b) a=b, real. (c) a=a+ ju = Rel? eb =a — jw = Re~J®, ou seja, um par complexo conjugado. Em todos os casos apresente o valor de (f * g)(0) Problema 9 Repita o Problema 8 considerando f(k) = a*~ta(k —1) e g(k) = b*-1o(k — 1). Apresente os valores de (f « g)(0), (f * g)(1) e (f * g)(2) em todos os casos. Problema 10 Considere os sinais h(k) = o(k) — o(k — 3) e u(k) = 6(k +1) + 3(0.6)*[o(k) — o(k — 3)], onde o 6 0 degrau unitario. Responda as questoes abaixo: 1 (a) Plote he wu. (b) Calcule y = u * h. Problema 11 Obtenha a convolucao entre os pares de sinais h e u mostrados abaixo: h(k) u(k) 3 (a) 2 10 1 2 3 4°55 k 10 1 2 3 4°55 k ulk h(k) ule) 15 (6) ! 1 0.5 1 3 l 2 4 k; 10 1 2 3 4 k 1 h(k) u(k) 1 1 (¢) 2.3 1 l I 4 k -l 2 3 4 k -] -1 Problema 12 Obtenha a convolugao entre o degrau unitdrio “o”e os sinais abaixo: (a) h(k) = (1.2)*o(k) (b) h(k) = (1.2)*o(-k) (c) h(k) = (0.9)*o(-k) (b) Convolugao Analégica Problema 13 Obtenha a convolugéo analdégica aproximada entre dois degraus (o*o) considerando um deles discreti- zado com um intervalo de amostragem T = 1. Plote o grafico do resultado. Problema 14 Obtenha a convolugao do degrau unitario o com os sinais abaixo: (a) u(t) =to(t) (b) u(t) =o(t) (c) u(t) =e-*o(t) (a) u(t) =o(t +2) Problema 15 Considere os sinais u e he seja [h],, definido como [h],, (t) = h(t — to). Mostre que wu [A]z, = [u* Ale,- Explique em palavras o resultado. Quem seria [w];, * [A]:,? Problema 16 Sejam os sinais u e h e considere h um sinal periddico, i.e., [h],, = h para um certo ntimero real positivo to. Mostre que u * h também seré um sinal periddico, ou seja [u * h]y, = u* h. Problema 17 Considere os sinais u e h e sejam os sinais f e g tais que f(t) = u(at) e g(t) = h(t/a), oma #O0ER. Mostre que: 1 (f *h)(t) = ja“ * g)(at) Problema 18 Sejam os sinais f (qualquer) e h(t) = e*, com s € C. Verifique o seguinte: (a) (f *h)(t) = F(s).h(t), onde F(s) = / f(r)e *" dr 2 dF (b) Considere o sinal g(t) = tf(t) e verifique que (g * h)(t) = G(s).h(t), onde G(s) = eo) S Problema 19 Considere os sinais u e h e sejam os sinais f e g tais que f(t) = e*u(t) e g(t) =e “*h(t), coma EC. Mostre que: (f *h)(t) =e" x (ux g)(t) Problema 20 Mostre que a convolucao de um sinal u com a rampa unitadria é dada por: t T / / u(a)daxdr. Problema 21 Considere a convolucao entre um sinal (desconhecido) u e um sinal h definido por h(t) = e~?. Mostre que conhecendo-se o valor da convolugéo para um certo instante to, isto é (u * h)(t9), o valor da convolugéo para qualquer instante t sera dado por (u * h)(t) = e- 2-0) (u * h)(to). Considere por exemplo (u * h)(0) = 2 e obtenha (u * h)(t) para todo t. Problema 22 Seja um sinal h tal que f° h(t)eI*'dt = sinw/w. Obtenha a convolugao de h com o sinal u(t) = 2 cos 3t. Problema 23 Considere os sinais f(t) = e%a(t) e g(t) = e’o(t). Obtenha a convolucao f * g nos seguintes casos: (a) a 4 b, ambos reais. (b) a=b, real. (c) a=a+jweb=a— jw, ou seja, um par complexo conjugado. Problema 24 No Problema 23 obtenha (f « g)(0*) e (f *g)(0*) Problema 25 Obtenha graficamente a convolugao entre os pares de sinais apresentados abaixo: u(t) h(t) 0 I 2 3 t 0 4 t u(t) h(t) KO A. 0 2 t 0 2 4 t u(t) A(t) 0 1 t 0 1 2 t 3