Sinais Funções Singulares-2021 2

PSMP - DCA - UFRN PAULO S. MOTTA PIRES ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS Notas de Aula - versão 0.2 Sinais - Funções Singulares Departamento de Engenharia de Computação e Automação Universidade Federal do Rio Grande do Norte Natal-RN PSMP - DCA - UFRN Definições Sinais são representados por funções de uma ou mais variáveis indepen- dentes. Trazem informação sobre o comportamento ou as características de determinado fenômeno físico. Classificação dos Sinais 1. Sinais de tempo contínuo - são definidos para valores contínuos de tempo t ∈ R. t x(t) 2. Sinais de tempo discreto - são definidos para valores discretos de tempo n ∈ N x(n) n -2 -1 3 1 2 3. Sinais analógicos (ou sinais de amplitude contínua) - a amplitude do sinal tem um número infinito de valores 4. Sinais digitais (ou sinais de amplitude discreta) - a amplitude do sinal tem um número finito de valores. Um sinal digital cuja amplitude tem M valores versão 0.2- documento gerado em 24/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br PSMP - DCA - UFRN é chamado de sinal M-ário (lê-se ”eme ário”). Se M = 2, o sinal digital é binário. Observe que a denominação sinal de tempo contínuo e sinal de tempo discreto refere-se ao comportamento do sinal no eixo horizontal, eixo dos tempos t ou n, enquanto que a denominação de sinal analógico e sinal digital refere-se ao comportamento do sinal no eixo vertical, eixo das amplitudes. Então, podemos ter sinais de tempo contínuo analógicos ou digitais, como mostrado na Figura Y. Tsividis, Continuous-time digital signal processing, Elec- tronics Letters, Vol. 39, No. 21,pp. 1551-1552, Oct., 2003. x(t) d(t) tempo contínuo t analógico digital Um sinal analógico de tempo discreto é obtido através de um processo, cha- mado amostragem, aplicado a um sinal analógico de tempo contínuo. For- malmente, amostragem é o processo de obtenção de uma lista, ou sequência, Amostragem de valores de um sinal analógico em instantes de tempo discretos regular- mente espaçado. Cada valor obtido é chamado de amostra. A sequência não representa um sinal digital porque as amostras podem ter qualquer valor em um intervalo contínuo de amplitudes. A Figura mostra um sinal analógico de tempo contínuo, y(t), ao qual foi aplicado o processo de amostragem. versão 0.2- documento gerado em 24/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br PSMP - DCA - UFRN y(t) n x(n) continuo Podemos verificar que o sinal gerado pelo processo de amostragem é um sinal analógico de tempo discreto. Quantização - é o processo pelo qual o valor de cada amostra é mapeado em Quantização amplitudes discretas com valores pré-estabelecidos. A Figura mostra um sinal de tempo discreto digital. Esse sinal foi obtido a partir da amostragem e quantização de um sinal de tempo contínuo analógico. n x(n) discreto versão 0.2- documento gerado em 24/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br 5. Sinais reais e sinais complexos - Se os valores de x(t) € R, 0 sinal de tempo continuo € real. Se os valores de x(t) € C é complexo. Essas definicgdes também sao validas para sinais de tempo discreto. 6. Sinais deterministicos - ndo existe incerteza sobre valor do sinal para qual- quer valor do tempo. Esses sinais sao descritos exatamente por uma funcgao matemiatica. 7. Sinais ndo-deterministicos - nado existe certeza sobre o valor do sinal em qual- quer valor do tempo. Esses sinais sao descritos por funcgdes probabilisticas. _ cati ~ _ ) oo 8. Sinais periddicos - satisfazem a relagdo x(t) = x(t + kTo), Vt para sinais de tempo continuo e x(n) = x(n + kKNo), Vn para sinais de tempo discreto. Isso significa que a forma dos sinais x(t) ou x(n) se repete a cada periodo Tp ou No, respectivamente. Funcao Degrau Unitario ou Funcdo de Heaviside Otiver HEAvIsEDE, +18 de maio . Lo. . . de 1850, Middlesex, Inglaterra; to3 A funcado degrau unitario, u(t), é definida por de fevereiro de 1925, Devon, Ingla- terra. Heaviside inventou a funcao 1 t>0 degrau, H(t), para indicar abertura u(t) _ , — ou fechamento de chaves em cir- 0, t<O cuitos elétricos. Nessas Notas DE ’ AULA, usaremos u(t) para indicar a fungdo degrau unitario. u(t) 1 t Observe que u(t) vale 0 de —co até 0" e vale 1 de 0 até +00. Na origem do sistema de coordenadas, aparece a singularidade da fungao singular u(t). Outra observacao: A fungdo u(t) chama-se degrau unitério porque a sua amplitude é igual a 1. VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 24/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR ‘Exemplo1 Obtenha o grafico da funcao u(t — a), considerando a > 0. Usando a definicdo de u(t), com a varidvel t enfatizada, 1, t>0 u(t) = a 0, t<0O temos Funcdo degrau unitario des- 1, t-a>Ostea locada. u(t — a) = 0, t-a<0>t<a A fungao u(t — a) € uma fungao degrau unitario deslocada em relacao a funcao u(t). ConsideracGes: 1. Observe que 0 argumento da funcao deslocada, f — a, deve ter a mesma variagéo do argumento da fungao referéncia, t. Em outras palavras, para o argumento f > 0, o argumento t—a > 0 e para o argumentot < 0,0 argumento da funcao deslocada deve ser t — a < 0. Assim, a fungao u(t — a), coma > 0, vale 0 para t < aevale1 parat > a, conforme a Figura u(t-a) 1 wee a t 2. A fungdo degrau deslocada, u(t — a), esta atrasada de a unidades de tempo Deslocamento de fungGes em relacdo a fungao u(t), j4 que u(t) vale 1 em t = 0. Ja a fungdo u(t — a) s6 ao longo do eixo do tempo, vai valer 1 em a unidades de tempo depois. Se u(t — a), a > 0, est4 atrasada_ +: atraso ou adiantamento em relacdo a u(t), a funcao u(t + a), a > 0 esta adiantada em relacdo afuncdo ©™ relagao a fungao origi- u(t). Uma observacao relevante: no deslocamento (atraso ou adiantamento), nal. a fungdo preserva a mesma forma da fungao original. VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 24/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR PSMP - DCA - UFRN Exemplo 2 Obter x(t − 1) considerando x(t) dada na Figura 1 x(t) t 1 2 Usando as considerações do exemplo anterior, temos Argumento da Valor da Argumento da Valor da Função função x(t) função x(t) função x(t − 1) x(t − 1) t = 1 1 t − 1 = 1 ⇒ t = 2 1 t = 2 1 t − 1 = 2 ⇒ t = 3 1 O gráfico da função deslocada, x(t − 1), é mostrado na Figura 1 x(t-1) t 1 2 3 Como observado anteriormente, a função deslocada preserva a mesma forma da função original. versão 0.2- documento gerado em 24/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br PSMP - DCA - UFRN Além de deslocamentos, uma função pode ser comprimida ou expandida. Compressão e expansão de funções. Exemplo 3 Obter x(2t) considerando x(t) mostrada na Figura 1 x(t) t 1 2 Argumento da Valor da Argumento da Valor da Função função x(t) função x(t) função x(2t) x(2t) t = 0 0 2t = 0 ⇒ t = 0 0 t = 1 1 2t = 1 ⇒ t = 1/2 1 t = 2 0 2t = 2 ⇒ t = 1 0 Então, 1 x(2t) t 1 2 Observe que a função foi comprimida em relação à função original. Considerando α > 0, a função x(αt) é comprimida e a função x(t/α) é expan- dida em relação à função original, x(t). versão 0.2- documento gerado em 24/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br PSMP - DCA - UFRN Exemplo 4 Obter x(t/2 + 1) considerando x(t) mostrada na Figura 3 2 2 1 t x(t) 1 1/2 5/2 Argumento da Valor da Argumento da Valor da Função função x(t) função x(t) função x(t/2 + 1) x(t/2 + 1) t = 0 0 t/2 + 1 = 0 ⇒ t = −2 0 t = 1/2 1 t/2 + 1 = 1/2 ⇒ t = −1 1 t = 11 2 t/2 + 1 = 1 ⇒ t = 0 2 t = 2 2 t/2 + 1 = 3 ⇒ t = 2 2 t = 5/2 1 t/2 + 1 = 5/2 ⇒ t = 3 1 t = 3 2 t/2 + 1 = 3 ⇒ t = 4 0 Entao, x(t/2+1) t 1 2 2 3 -2 4 -1 1 versão 0.2- documento gerado em 24/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br PSMP - DCA - UFRN Exemplo 5 Obter o gráfico da função 2u(t − 1) + 2u(t + 1) 1 2u(t-1) t 2 1 u(t) t 2 1 t 2 -1 -1 -1 2u(t+1) 4 2u(t-1) + 2u(t+1) versão 0.2- documento gerado em 24/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br ‘Exemplo 6 Obter o grafico da funcado u(sen @) Fazendo t = sené 1, senéd>0 u(t) = u(sen@) = ~ 0, senéd <0 Pela expressdo anterior, podemos verificar que, enquanto o sen @ for maior ou igual a zero, o valor de u(t) sera igual a 1 e que, enquanto o valor de sené for menor que zero, 0 valor de u(t) sera igual a o. Esse comportamento da funcao u(t) = u(sen @) é mostrado na Figura sen(6@) 1 I 16 I I ! I I I 1 | | I I | I I I | I u(t) l | I I I I 1 | ~ I I I I I I I 1 ft =“ -1 —EE I I I l VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 24/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Funcao Sinal A fungao sinal, sgn(t) é definida por 1, t>0 sgn(t) = ~ —1, t<0 sgn(t) 1 t -1 Usando esta definigao para a fungao sgn(t), podemos verificar que sgn(t) = 2u(t) — 1 como mostrado na Figura 2 2u(t) t -1 f(t) = -1 sgn(t) 1 t -1 VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 24/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Funcgao Rampa Unitdaria A funcaéo rampa unitaria, o(t), 6 definida por E importante notar que, ape- sar de ser evidente, nao ha, na definicdo de p, a indica- ) = t, £20 cao explicita do Angulo en- p(t) = 0, t<0 tre o eixo t e a reta que de- fine a funcado. p(t) 1 t Podemos observar que 0 coeficiente angular, m, da funcdo rampa unitaria é iguala 1, sen(45°) m = ———— = tan(45°) =1 cos(45°) (5°) O coeficiente angular indica a amplitude da funcdo rampa. Pela Figura, podemos observar que a funcdo rampa unitaria pode ser repre- sentada pelo produto p(t) = tu(t) ja que a funcao f(t) = t éa bissetriz do primeiro do terceiro quadrantes. VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 24/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR PSMP - DCA - UFRN 1 1 t ρ(t) t f(t) 1 1 1 1 t u(t) Observe que a função degrau unitário foi utilizada para eliminar a parte negativa da função f(t) = t. Uma relação importante: ρ′(t) = u(t) versão 0.2- documento gerado em 24/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br Funcao Rampa Unitaria Deslocada A funcao rampa unitdria deslocada, p(t — a), a > 0, é definida por t, toa p(t — a) = 0, t<0 p(t — a) a at+1 t Observe que 0 coeficiente angular da funcdo rampa unitaria deslocada perma- nece sendo igual a 1. O coeficiente angular de Exemplo 7 Obter a equacao, em termos de funcées singulares, da funcao p(t — 4) € 1 ja que a tan- x(t) mostrada na Figura gente do angulo entre 0 eixo te reta que define a fungao rampa é dada pela relacado x(t) entre 1/(a + 1 — a) (cateto oposto/cateto adjacente). 1 2 t A reta vertical em 2 representa a descontinuidade da fungao naquele ponto. VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 24/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR PSMP - DCA - UFRN 2 1 x(t) t 2 2 t x(t) 1 2 -2 3 2ρ(t-1) - 2ρ(t-2) 2ρ(t − 1) -2ρ(t - 2) -2u(t - 2) Pela Figura, observamos que x(t) é formada por uma rampa deslocada de amplitude 2 deslocada de 1, portanto 2ρ(t − 1), somada a uma rampa de mesma amplitude mas de sinal trocado deslocada de 2, −2ρ(t − 2). Essa soma de funções rampas deslocadas gera a função degrau deslocada, 2ρ(t − 1)− 2ρ(t − 2), que precisa ser eliminada para resultar na função x(t). Para eliminar a função 2ρ(t − 1) − 2ρ(t − 2), basta somar a esta a função degrau deslocada de 2 com amplitude −2, −2u(t − 2). O resultado dessas operações é a função x(t. x(t) = 2ρ(t − 1) − 2ρ(t − 2) − 2u(t − 2) versão 0.2- documento gerado em 24/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br Funcao Impulso Unitario A fungao impulso unitario, 6(f) €é conhecida , também, como fungao delta de : 4 ls Paut ADRIEN MauRIcE DIRAC, Dirac e € definida por x8 de agosto de 1902 em Bristol, In- co glaterra; t20 de outubro de 1984, / o(t)dt =] Florida, Estados Unidos. Ganhou o —oo prémio Nobel de Fisica em 1933 pe- (ft) — 0 ; 0 los trabalhos que desenvolveu em ( ) — # Mec4nica Quantica. Dirac foi 0 res- ponsavel pela introducao da fun- A fungao 6(t) é uma fungao real de variavel real, t, endo tem um valor defi- _¢40 4 na publicagao The Principles ; . ~ . ; ; . . tum Mechanics , Fourth Edi- nido. A integral da funcao delta 6 que possui um valor conhecido. A integral é A Revine d), Oxford University igual a 1 no dominio [—ov, 0] e a fungao d(t) sd existe em t = 0. A fungdo delta Press, 1967, §15, pp 58-61. é uma fungao impropria. Nao possui, como as fungdes matematicas regulares, um valor definido para cada ponto de seu dominio. Propriedades da Funcao Impulso Unitdrio a) oo 0+ / 5(t)dt = | 5(t)dt =1 —oo 0O- Dai, —oo +=00 | 5(t)dt = Ys 5(dt = 0 0- ot b) Se f(t) 6 uma fungao continua de t, cC J FOSUat = £80) = FO|,-0 = FO) —oo e, por consequéncia, © | f(t)o(t — a)dt = f(t — a)d(t — a) = f(t)|,_, = f(a) —wo VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 24/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Algumas igualdades decorrentes da definigado de 6(t) e das propriedades a) eb), 6(—t) = o(f) td(t) = £6(0) = t|,_5 =0 d(at) = “ dK), a>0O / 5(a — t)6(t — b)dt = 5(a — b) f(j=e", obter co / f(B)d(E — a)dt Temos, / f(t)d(t — a)dt = / elt6(t—a)dt = elt| = olen —oo —oo =a Exemplo 9 Obter o valor da integral / F (E(t — 70/4) considerando fit) = sen(t) Temos, / f(f)d(t — 70/4)dt = / sen(t)d(t — 7./4)dt 1 = sen(t)|; 77/4 = sen(77/4) = va Uma relacao importante, u(t) = d(t) VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 24/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR PSMP - DCA - UFRN Exemplo 10 Obter a derivada de x(t), x(t) = Au(t − a) − Au(t − b) Como x′(t) = Au′(t − a) − Au′(t − b) temos x′(t) = Aδ(t − a) − Aδ(t − b) Observe que as funções delta ocorrem, exatamente, nos pontos de descontinui- dade da função x(t). Exemplo 11 Obter a derivada de y(t) y(t) = 2ρ(t − 1) − 2ρ(t − 2) − 2u(t − 2) Como y′(t) = 2ρ′(t − 1) − 2ρ′(t − 2) − 2u′(t − 2) temos y′(t) = 2u(t − 1) − 2u(t − 2) − 2δ(t − 2) Funções Pares e Funções Ímpares Uma função é par quando Funções Pares x(t) = x(−t), ∀t A Figura mostra um exemplo de função par. 1 1 t x(t) -1 versão 0.2- documento gerado em 24/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br PSMP - DCA - UFRN Observe que para x = 1, x(1) = x(−1) = 1 A mesma condição é obedecida para pares de valores simétricos de t. Se o gráfico da função é conhecido, uma maneira prática de verificar se essa função é par é considerar apenas o gráfico da função no semiplano direito (primeiro e quarto quadrantes). Apenas essa parte é girada em torno do eixo vertical. Se a figura gerada coincide com a figura original, a função é par. Esse procedimento é mostrado na Figura Uma função é ímpar quando Funções Ímpares x(t) = −x(−t), ∀t A Figura mostra um exemplo de função ímpar x(t) t -1 1 1 -1 versão 0.2- documento gerado em 24/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br Observe que para x = 1, x(1) = x(—1) = -1 A mesma condic¢ao é obedecida para pares de valores simétricos de t. Se o grafico da fungao é conhecido, uma maneira pratica de verificar se essa funcdo é impar é considerar apenas o grafico da funcao no semiplano direito (primeiro e quarto quadrantes). Apenas essa parte é girada em torno do eixo vertical. Em seguida, a parte girada é rebatida em torno do eixo horizontal. Se a figura gerada coincide com a figura original, a fungado é impar 6 SS I x \ I s SS I s (— 3 > 7 7 I ¢ I aa l o” 1 .¢ 7 a Qualquer fungado pode ser decomposta em uma parte par e uma parte impar, x(t) = xp(t) + xi(#) onde a parte par é obtida por 1 xp(t) = 5 [x(t) + x(—2)] e a parte impar é obtida por 1 xi() = 5 [+() — (1) A decomposicgao de uma fungdo em suas partes par e impar facilita, como veremos, no calculo da série de Fourier para a fungao. VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 24/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Exemplo 12 Obter as partes par e impar para a funcao mostrada na Figura x(t) -1 1 t A parte par da fungao é dada pela média aritmética da soma da funcao dada, x(t) e a fungado x(—t), como mostrado na equacao 1 xp(t) = 5 [x(t) + x(—2)] Entao VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 24/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR x(t) -1 1 t x(—t) 1 1 t Xp(t) 1/2 1 1 t A parte par da fungao é dada pela média aritmética da soma da funcao dada, x(t) e a fungcao —x(—t), como mostrado na equacgao 1 1 xi() = 5 [x = x(-8)] = 5 [x)+(-x(-1)] Entao VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 24/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR PSMP - DCA - UFRN x(t) t 1 1 -1 -x(-t) t 1 -1 -1 t xi(t) 1 1 LEITURA COMPLEMENTAR Leitura Complementar Hwei P. Hsu, Theory and Problems of Signals and Systems, Schaum’s Outline Series, McGraw -Hill, 1995. B. P. Lathi, Linear Systems and Signals, Second Edition, Oxford University Press, 2005. A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems, Second Edition, Pearson Education,1996. versão 0.2- documento gerado em 24/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br